第五章线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法 5.1 频率特性的基本概念 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性曲线的绘制 5.4频率域稳定判据 5.5系统的相对稳定性 5.6 系统的闭环频率特性

5.1 频率特性的基本概念 5.1.1频率特性的定义 1、引例设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。建立系统仿真模型如下：

给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， ω=1 Ar=1 ω=0.5 ω=2 ω=2.5 ω=4 结论：给线性系统一个正弦输入信号时，输出信号相对于输入信号幅值和相位都发生了变化，输入信号频率不同时，改变程度亦不同

2、频率特性定义 频率响应稳定的线性定常系统，其对正弦函数输入下的稳态响应。幅频特性输出与输入的振幅比。它描述了系统对不同频率的正弦函数输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；相频特性输入与输出的相位差。相频特性描述了系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角迟后或相角超前的特性；幅频特性和相频特性，称为系统或环节的频率特性。

5.1.2频率特性和传递函数之间的关系

稳态时

其中：

频率特性与传递函数之间的关系：

5.1.3 频率特性的几何表示方法 1、极坐标图（幅相频率特性图或奈奎斯特图）随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。通常这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画有这种曲线的图形称为极坐标图。

2、波特图（对数频率特性图） 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20，即表示，均匀分度，单位为db。对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单位为“度”。对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线，对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。

5.2 典型环节的频率特性 1、比例环节 1）代数表达式传递函数频率特性幅频特性相频特性 2）频率特性图（1）极坐标图

（2）伯德图 对数幅频图对数相频图 2、积分环节的频率特性 1）代数表达式传递函数频率特性幅频特性相频特性

2）频率特性图 （1）极坐标图（2）波特图对数幅频特性斜率 -20/十倍频程对数相频特性图

如果有ν个积分环节串联，则有 若ν=2时，

3、惯性环节 1）代数表达式传递函数频率特性幅频特性相频特性 2）图形表达式（1）极坐标图

（2）波特图

4、振荡环节 1)代数表达式传递函数频率特性幅频特性相频特性

ξ越小，Mp越大 2)频率特性图 (1)极坐标图重要性质：当0<ξ<0.707时，幅频特性出现峰值。谐振频率ωp: 谐振峰值Mp:

(2)波特图 分析：a.当Tω<1（ω<1/T）时，系统处于低频段 b.当Tω>1（ω>1/T）时，系统处于高频段

5、微分环节 1）代数表达式传递函数频率特性 2）频率特性图（1）极坐标图

（2）波特图 在半对数坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；一阶微分环节和惯性环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相。

5.3 系统开环频率特性曲线的绘制 5.3.1系统开环幅相曲线的绘制 1、起点（ ω =0） 2、终点（ ω =∞）：在原点，且当n-m=1时，沿负虚轴趋于原点当n-m=2时，沿负实轴趋于原点当n-m=3时，沿正虚轴趋于原点

10 10 3、与虚轴的交点： 4、与实轴的交点：例

5.3.2对数频率特性曲线的绘制 1、典型环节对数幅频渐近特性曲线的绘制 1）惯性环节 2）一阶微分环节

3）振荡环节 4）二阶微分环节

2、系统对数幅频渐近特性曲线的绘制 步骤如下：（1）在半对数坐标纸上标出横轴及纵轴的刻度。（2）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率，标在频率轴上。（3）计算20lgK，K为系统开环放大系数。（4）在ω=1处找出纵坐标等于20lgK的点“A”；过该点作一直线，其斜率等于-20ν(db/dec)，当ν取正号时为积分环节的个数，当ν取负号时为纯微分环节的个数；该直线直到第一个交接频率ω1对应的地方。若ω1<1，则该直线的延长线以过“A”点。

（5）以后每遇到一个交接频率，改变一次渐近线的斜率：（5）以后每遇到一个交接频率，改变一次渐近线的斜率：遇到惯性环节的交接频率，斜率增加-20db/dec；遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加+20db/dec；遇到振荡环节的交接频率，斜率增加-40db/dec；遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加+40db/dec；直至经过所有各环节的交接频率，便得系统的开环对数幅频渐近特性。若要得到较精确的频率特性曲线，可在振荡环节和二阶微分环节的交接频率附近进行修正。

例已知某系统的开环传递函数为 试绘出系统的开环对数幅频特性。解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是

绘出该系统的开环对数幅频特性。

5.4 频率域稳定判据 5.4.1极坐标图中的奈氏判据 1、内容若开环传递函数有正极点，且个数为P。闭环系统稳定的充要条件是，开环幅相特性曲线，当ω从-∞变化到+∞时，逆时针包围（-1，j0）点的圈数N=P。否则系统不稳。即，用式子表示要闭环系统稳定，必须Z=0。注：顺时针时圈数取“正”，逆时针时圈数取“负”。

例某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。解：由开环传递函数可知，有一个正极点，即P=1； ω：0→∞时，逆时针包围（-1，j0）点一圈，即N=1。 Z=P-N=0 所以系统稳定。

2、对奈氏判据的两点说明 1）含有积分环节时奈氏判据的使用当含有积分环节时，曲线将不封闭，这时需要作增补特性，即从0-按顺时针方向，半径为∞，作圆弧连接0+。得到封闭曲线后再使用奈氏判据。增补特性： 2）实际的应用方法只需用ω：0→∞时的开环频率特性曲线。这时，奈氏判据的数学表达式变为：其中N’表示当ω：0→∞时的开环频率特性曲线围绕（-1，j0）点的圈数。

例某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。解：考虑积分环节的增补频率特性，开环系统幅相频率特性表示如下：由系统开环传递函数表达式中可知 P=0 从图中可知 N’=-1 Z=p-2N=2，系统不稳定

5.4.2在伯德图中使用奈氏判据 若系统有P个开环极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是，在对数幅频特性为正的所有频段内，对数相频特性与-180°相位线的正负穿越次数之差为P/2。

例若系统开环传递函数为 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解：由图可知，对数相频特性对-180°的正、负穿越各一次。又由于开环传递函数无正极点，即P=0。根据奈氏判据，闭环系统是稳定的。

5.5控制系统的频率域性能指标 5.5.1开环频域性能指标 1、截止频率ωc 对数幅频特性等于0分贝时的ω值，即截止频率ωc表征响应的快速性能， ωc越大，系统的快速性能越好。 2、幅值裕度相角为-180°这一频率值ωg所对应的幅值倒数的分贝数。

增益裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。对于最小相位系统，增益裕度与系统的稳定性有如下关系：增益裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。对于最小相位系统，增益裕度与系统的稳定性有如下关系：

3、相位裕度γ(ωc) 相频特性曲线在ω= ωc时的相角值φ(ωc)与-180°之差。相位裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环频率特性在ω= ωc时所允许增加的最大相位滞后量。对于最小相位系统，相位裕度与系统的稳定性有如下关系：

1、频带宽度 为闭环频率特性，当时对应的频率为带宽频率，记为，当时，称为系统带宽。一阶系统二阶系统 2、谐振频率，谐振峰值闭环幅频特性，，对应的信号角频率为谐振频率，称为谐振峰值 5.5.2闭环频率域性能指标

5.5.3闭环频率域性能指标和开环频率域性能指标之间的关系5.5.3闭环频率域性能指标和开环频率域性能指标之间的关系一般有

5.6 系统的闭环频率特性 5.6.1闭环频率特性典型的闭环频率特性曲线（1）零度幅值M(0) 频率为0（或低频）时的幅值。（2）谐振峰值Mp 闭环幅频特性的最大值。（3）谐振频率ωp 出现谐振峰值时的频率值。（4）频带宽度0~ωb 从0频到ωb称为频带宽度。 ωb是闭环频率特性幅值减小到0.707M(0)时的频率，称为截止频率。

5.6.2闭环频率特性和系统过渡过程的关系 1）闭环幅频特性的低频区闭环幅频特性M(ω)中靠近零频的低频区特性即M(0)附近，反映了控制系统的稳态性能，即控制精度。结论：若M(0)<1，说明系统是0型系统，单位阶跃下无稳态误差；若M(0)=1，说明系统是1型或2型系统，单位阶跃下无稳态误差； 2）闭环幅频特性的中频区闭环幅频特性的谐振峰值Mp反映控制系统的平稳性，谐振频率ωp 反映控制系统的快速性。对于二阶系统有如下关系：结论：Mp的值越小，则超调量超小，系统的动态过程的平稳性越好。 ωp（或ωb）越大，频带就越宽，系统的快速性能越好。

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