LOGISTICKÉ SYSTÉMY 10/14

1. LOGISTICKÉ SYSTÉMY10/14

2. Osnova přednášky Fraktální logistické sítě • Úvod do fraktálů • Základy fraktální geometrie • Stavba fraktálu • IFS fraktály • TEA fraktály • L-systémy • Logistické fraktály

3. Úvod do fraktálů • Konec 19. století - zvláštní matematické konstrukce, které se značně lišily od ideálních matematických objektů: podivné matematické výjimky. • Později se ukázalo, že mnohem přesněji popisují objekty reálného světa. • Cantorova množina, neobsahující žádný izolovaný bod, ale ani žádnou úsečku, Kochova křivka nekonečné délky, ohraničující konečnou plochu, Peanova křivka, vyplňující celou rovinu a mnoho dalších. • Roku 1918 popsali Gaston Julia a Pierre Fatou konstrukci tzv. Juliových množin, konstruovaných iterací polynomů. • 60. léta Benoit B. Mandelbrot představil Mandelbrotovu množinu. • Tyto matematické objekty dostali své jméno když v roce 1975 publikoval Mandelbrot revoluční knihu Fraktály.

4. Úvod do fraktálů • Přesná matematická definice fraktálu dosud není známa, ale charakteristickou vlastností fraktálů je soběpodobnost, nebo soběpříbuznost. • Pokud se podíváte na objekt klasické euklidovské geometrie jste schopni určit měřítko ve kterém objekt vidíte u fraktálů to není možné, této vlastnosti se říká invariace vzhledem ke změně měřítka. • S tím souvisí soběpodobnost (resp.. soběpříbuznost) fraktálů, kdy objekt vypadá stejně (příp. podobně) jako jeho zvětšená část. • má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. • Uplatnění: počítačová grafika, předpovídání počasí, mechanika tekutin, předpovídání cen akcií, logistické fraktální sítě • Krása statisticky soběpodobných fraktálů spočívá v křehké harmonii mezi pravidelností a nahodilostí. Stejně jako krása přírody. V lese nepanuje chaos, přestože je každý strom jedinečný. Proto se nám les zdá krásnější než sídliště se svojí umělou pravidelností i než smetiště, které je úplně chaotické“

5. Základy fraktální geometrie • Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975. • Pochází z latinského fractus – rozbitý. • Kořeny fraktální geometrie: • 1872 K. Weierstrass - spojitá funkce, která nemá v žádném bodě derivaci. • B. Mandelbrot (70. léta 20.stol) ukázal, že se jedná o “špičku ledovce” teorie, pomocí které lze popsat jak geometrický vzhled našeho světa ale i dynamické sytémy • Fraktály jsou nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá.

6. Základy fraktální geometrie • Euklidovská geometrie, není schopna popsat jednoduše takové struktury jako kapradí nebo džungle. • Euklidovská geometrie dokáže jednoduše pospat základní útvary jako je kruh, čtverec, koule, trojúhelník a další. Např. pravoúhlý trojúhelník je úplně popsán pomocí Pythagorovy věty.

7. Základy fraktální geometrie Jak ale popsat tzv. Pythagorův strom? V Euklidovské geometrii nesmírně složité U fraktální geometrie problém odpadá. Pythagorův strom

8. Základy fraktální geometrie Benoit B. Mandelbrott (*1924 Varšava) • analytik IBM • Netradiční matematické přístupy • Analýza pohybu cen bavlny. • Cena se nedala předpovědět, ale objevovala se zde stejná posloupnost změn v různých měřítkách zobrazení. • Telekomunikační vedení. • Tisícileté záznamy o stavu vody v Nilu.

9. Základy fraktální geometrie • V roce 1975 kdy se začaly objevovat podobné úvahy i ve fyzice konečně vydal knihu, kterou označil za manifest a soubor kauzistik. • Fraktálům dal jméno vybrané z latinského slovníku svého syna, kde narazil na slovo fractus, odvozené od slovesa zlomit. V angličtině i ve francouzštině toto slovo zní fractal. • Fraktály jsou množiny, jejichž geometrický motiv se opakuje v základním tělese až do nekonečna. Nekonečno je nutné chápat jen matematicky, jelikož ve fyzikálním světě vždy existují hranice, za kterými opakování končí.

10. Stavba fraktálu Fraktály dělíme na: • Soběpodobné– většinou jen čisté matematické struktury, se kterými se lze setkat jen při matematických konstrukcích. Jejich charakteristickým znakem je, že se v nich opakuje původní originální motiv mateřského tělesa. Kterýkoliv výsek je přesnou kopií původního tělesa. • Soběpříbuzné– útvary, se kterými se setkáváme každý den, aniž bychom si to uvědomovali. Jsou to například mraky, lesy, hory, vodní hladina, obyčejný květák, ale dokonce i takové objekty, jako je obličej ap. Pro ně je charakteristické, že kterýkoliv výsek je sice “blízký”, není ale přesnou kopií původního tělesa. Není tedy sobě “podobný”, ale jen “příbuzný”. • Fraktál má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel

11. Stavba fraktálu • Nezávisle na fraktální geometrii vznikla zhruba v téže době tzv teoriedeterministického chaosu. • Nezávisle na různých místech se vytvořilo nové téma ve vědě: hledání řádu v chaosu. • Efekt motýlích křídel • Fraktální geometrie studuje tvary tak členité jako třeba hory, pobřeží, mraky, elektrické výboje, stromy, špinavé skvrny a podobně. Odtud plyne její praktické využití v počítačové grafice a simulacích ale i logistice!

12. Hausdorffova dimenze • Dimenze vypovídá o struktuře objektu • Základní dvě dimenze: • Topologická a fraktální (Hausdorffova) Topologická dimenze • Topologická dimenze určuje minimální počet parametrů potřebných k přesnému určení polohy v daném prostoru. Říkáme, že dva prostory mají stejnou topologickou dimenzi, existuje-li mezi nimi vzájemně jednoznačné zobrazení. • Bod má topologickou dimenzi 0, přímka 1, rovina 2 atd. • To že má přímka nebo křivka dimenzi 1 neznamená, že je zobrazována v jednorozměrném prostoru. Dimenze přímky nám říká, že polohu bodu na přímce přesně určuje jeden reálný parametr.

13. Hausdorffova dimenze FRAKTÁLNÍ (HAUSDORFFOVA) DIMENZE • Pokud měříme běžné objekty (např. obvod kruhu) měřidlem o délce r, tak zkracováním měřidla (zpřesňováním měřítka) získáváme stále přesnější hodnotu, která se blíží skutečné délce tím více, čím je měřítko menší. Výsledná délka konverguje ke konečné hodnotě. • Existují ale objekty, pro které toto neplatí. • Při měření délky pobřeží Bretaně zjistil L. F. Richardson, že tato délka závisí na délce měřidla. Naměřená délka rostla se zmenšujícím se měřidlem a nekonvergovala ke konečné hodnotě. • Richardson také určil empirický vztah K = CrD kde r>0 je délka měřidla (kroku), C je konstanta úměrnosti a K=Nr je celková délka aproximace pobřeží , kde N je počet kroků. Význam konstanty D si Richardson nedokázal vysvětlit. • Benoit Mandelbrot zjistil že se jedná o novou tzv. hausdorffovu dimenzi. Hodnoty této dimenze určují členitost daného objektu. Pro geometricky hladké je hausdorffova dimenze rovna dimenzi topologické. Dostáváme se tak k přesnější definici fraktálu. Tuto definici formuloval Mandelbrot • Fraktál je množina či geometrický útvar, jehož Hausdorffova dimenze je větší než dimenze topologická. • Rozdíl mezi topologickou a fraktální dimenzí určuje členitost útvaru, čím je rozdíl větší tím je útvar členitější.

14. Hausdorffova dimenze Výpočet Hausdorffovy dimenze • Mějme úsečku délky 1, kterou rozdělíme na N stejných dílků. Délka jednoho dílku bude r = 1/N. Pokud budeme stejným způsobem dělit čtverec rozměry jednoho dílku budou r = (1/N)1/2.Pro krychli dostaneme r = (1/N)1/3. • Obecně: r = (1/N)1/D, resp., N=(1/rD) kde D je fraktální dimenze objektu. • Př: Hausdorfova dimenzi čtverce o straně 1. Pro každou hranu zvolíme r=1/2, je zřejmé, že N=4. Po dosazení do vzorce dostáváme: • Hausdorfova dimenze čtverce je stejná jako dimenze topologická. Podle Mandelbrotovy definice tedy čtverec není fraktál.

15. Hausdorffova dimenze Shrnutí: • K "měření" fraktálů nelze použít prostředky klasické geometrie. • Proto se jako míra členitosti definuje tzv. Hausdorffova dimenze. • Pokud zkoumaný objekt obsahuje n kopií sebe sama zmenšených na jednu k-tinu je Hausdorfova dimenze rovna D = log(n) / log(k)

16. Základní typy fraktálů • Iterační funkční systémy (IFS) • Polynomické fraktály (TEA) • L-systémy • Dynamické fraktály • Náhodné fraktály

17. IFS fraktály Nejjednodušší fraktály Konstrukce pomocí tzv. afinní transformace Po vynásobení matic dostáváme následující vztah. x,y … původní souřadnice, x'‚y' … transformované souřadnice. r1 … zvětšení ve směru osy x, r2 … zvětšení ve směru osy y, j,ϑ … otočení souřadnice x a y, e, f … posun podél os x a y posouvá.

18. IFS fraktály Cantorovo diskontinuum. Začneme s úsečkou libovolně zvolené délky. Tu rozdělíme na třetiny a prostřední část smažeme. Získáme tak dvě úsečky, s nimiž postup opakujeme. Kdybychom totéž opakovali až donekonečna, získali bychom množinu nekonečně mnoha bodů, jejichž celková délka by byla 0. To je Cantorovo diskontinuum. Taková množina obsahuje dvě kopie sebe sama zmenšené na třetinu.

19. IFS fraktály Cantorovo diskontinuum. Začneme s úsečkou libovolně zvolené délky. Tu rozdělíme na třetiny a prostřední část smažeme. Získáme tak dvě úsečky, s nimiž postup opakujeme. Kdybychom totéž opakovali až donekonečna, získali bychom množinu nekonečněmnoha bodů, jejichž celková délka by byla 0. To je Cantorovo diskontinuum. Taková množina obsahuje dvě kopie sebe sama zmenšené na třetinu.

20. IFS fraktály Cantorovo diskontinuum. Prvních šest aproximací Cantorova diskontinua Hausdorffova dimenze Cantorova diskontinua je tedy D = log 2 / log 3 = 0.6309 Topologická dimenze je 0 Cantorovo diskontinuum je tedy fraktál

21. IFS fraktály Sierpinského koberec • Základním objektem je čtverec. Čtverec rozdělíme na 9 menších čtverců, prostřední čtverec odstraníme. Tento postup opakujeme se zbylými osmi čtverci atd. Hausdorffova dimenze Sierpinského koberce je tedy D = log 8 / log 3 = 1.893 Topologická dimenze je 1 Sierpinského koberec je tedy fraktál

22. IFS fraktály Sierpinského trojúhelník • Základním objektem je trojúhelník (nejčastěji rovnoramenný). Sestrojením středních příček rozdělíme trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky, odstraníme prostřední. Totéž opakujeme na zbylé trojúhelníky. Hausdorffova dimenze Sierpinského trojúhelníku je tedy D = log 3 / log 2 = 1.585 Topologická dimenze je 1 Sierpinského trojúhelník je tedy fraktál

23. IFS fraktály Kochova vločka • Základem je Kochova křivka, jež vznikne nekonečným opakováním jednoduchého postupu. Na začátku je prostá úsečka (v případě Kochovy vločky rovnostranný trojúhelník tvořený třemi takovými úsečkami). V každém kroku se pak provede následující: • Úsečka se rozdělí na třetiny. • Nad prostřední třetinou se sestrojí rovnostranný trojúhelník. • Základna trojúhelníka (bývalá prostřední třetina úsečky) se odstraní. • Tím se z původní úsečky stane křivka složená ze čtyř úseček (resp. z trojúhelníka se stane šesticípá hvězda) a postup se rekurzivně opakuje s každou takto vzniklou úsečkou. • Kochova křivka vznikne jako limita při opakování tohoto postupu do nekonečna. Její délka je nekonečná, neboť se v každém kroku prodlouží vždy o třetinu – ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že v kroku n bude délka křivky (4/3)n délky původní úsečky, • Kochova křivka je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu.

24. IFS fraktály První čtyři iterace Kochovy vločky vzniklé ze 3 Kochových křivek Hausdorffova dimenze = log 3/ log 2 = 1,26186

25. IFS fraktály Peanova křivka • Peanova křivka vzniká podobně jako křivka Kochova. Vycházíme z úsečky, kterou rozdělíme na třetiny, Prostřední třetinu nahradíme sedmi shodnými úsečkami o délce 1/3. Hausdorffova dimenze Peanovy křivky je tedy D = log 9 / log 3 = 2 Topologická dimenze je 1 Vzhledem k hodnotě D, Peanova křivka úplně vyplňuje část roviny stejně jako čtverec, má ale také nekonečně mnoho dvojitých bodů. Následující obrázek ukazuje způsob konstrukce Peanovy křivky. Zakroužkované jsou ve skutečnosti totožné (dvojitá body).

26. IFS fraktály Peanova křivka

27. IFS fraktály Mengerova houba • Výchozím objektem fraktálu je krychle, tu rozdělíme na 27 shodných krychliček, odstraníme sedm prostředních krychliček (ty které nesousedí s žádnou stranou). Všimněte si, že z původních stran zbyly Sierpinského koberce, ale i každá další vzniklá strana je Sierpinského kobercem. Hausdorffova dimenze Mengerovy houby je D = log 20 / log 3 = 2,727

28. IFS fraktály Větvička, sněhová vločka • Zadáno tabulkami afinních transformací

29. IFS fraktály Stochastické fraktály • Stochastické prvky v parametrech afinních transformací • U afinní transformace se uvede pravděpodobnost jejího použití. • Tak vznikají soběpříbuzné fraktály, která se více podobají reálným objektům. • V počítačové grafice se využívají například ke generování skalních útesů.

30. Polynomické fraktály (TEA) • Nejvíce podílely na popularizaci fraktálů. • Mají estetický význam a právě proto jsou tak populární. • Polynomické fraktály vznikají v rovině komplexních čísel. • Vznikají opakovaným výpočtem komplexní funkce, kdy za proměnnou dosazujeme výsledek minulého kroku (iterace). • Polynomické fraktály jsou množiny komplexních čísel, pro které hodnoty funkce postupně konvergují ke konečné hodnotě. • Fraktální není celá množina, ale jen její hranice, která má topologiskou dimenzi 1 a fraktální dimenzi 2.

31. Polynomické fraktály (TEA) • Juliovy množiny vznikají tak, že zvolíme komplexní c, která charakterizuje množinu. Pro každé komplexní číslo z zjistíme, zda neustálým přičítáním c hodnota z nediverguje, pokud nediverguje bod patří do Juliovy množiny. V praxi stačí proces opakovat dokud absolutní hodnota z nepřesáhne 2. Pokud se tak nestane ani po několika iteracích bod patří do Juliovy množiny. Čím více iterací provedeme, tím bude zobrazení přesnější.

32. Polynomické fraktály (TEA) Juliovy množiny

33. Polynomické fraktály (TEA) Mandelbrotova množina • Ke každému bodu množiny je přiřazena právě jedna Juliova množina, tedy za c dosadíme z0 (zkoumaný bod). Juliovy množiny jsou přiřazeny tak, že bod Mandelbrotovy množiny je parametrem c pro Juliovu množinu.

34. Polynomické fraktály (TEA) Další TEA Program ChaosPro 3.3

35. L - Systémy • Botanik A. Lindenmayer • Simulaci vývoje mnohobuněčných organismů • Hilbertova křivka • Hilbertovu křivku vytvoříme z neúplného čtverce (má pouze tři strany). Každou tuto stranu si rozdělíme na tři části. Prostřední část modifikujeme tak, že na střední části vykreslíme další čtverec směrem dovnitř původního neúplného čtverce. U bočních stran na nejkrajnějších částech opět vykreslíme čtverce stejným směrem jako u prostřední části. Tato pravidla aplikujeme na každý nově vzniklý neúplný čtverec. • Hausdorffova dimenze Hilbertovy křivky je rovna 2.

36. 1. Iterace Hilbertovy křivky 2. Iterace Hilbertovy křivky 3. Iterace Hilbertovy křivky L - Systémy

37. Logistické fraktály • Přírodní logistické sítě – princip „všechno nebo nic“ – dělení se nevyplácí (složitost v rozvodných uzlech) • Strom – jeden kmen (rozvod mízy) • Savec – jedna aorta (rozvod krve) • Fraktální struktura - soběpříbuzné Zákazník (list) Zdroj (kořen)

38. Logistické fraktály

39. On-line studijní materiály Internet: http://www.fractals.webz.cz http://martin.hinner.info/math/Fraktaly/ http://hyperkrychle.cz/fractals.html