Lezione n° 20: 19-20 Maggio 2009 Problema del Massimo Flusso: Formulazione Matematica Algoritmo del grafo ausiliario

1. Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 20: 19-20 Maggio 2009 Problema del Massimo Flusso: • Formulazione Matematica • Algoritmo del grafo ausiliario Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

2. Il Problema del Massimo Flusso Capacità: uij 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Nodo sorgente: s Nodo destinazione: t

3. Il Problema del Massimo Flusso Nodo sorgente fornisce flusso f Nodo destinazione assorbe flusso -f Tutti gli altri nodi sono nodi di transito Voglio spedire dalla sorgente la massima quantità di flusso fino al pozzo senza violare i vincoli di capacità

4. Il Problema del Massimo Flusso: esempio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10

5. Il Problema del Massimo Flusso: esempio 3,15 2 3 3,10 3,4 12 5 6 6 1 8 1,15 1,6 4 5 1,10

6. Il Problema del Massimo Flusso: Formulazione Parametri di input: - Grafo orientato G=(V,A) - Nodo sorgente s - Nodo destinazione t Variabili decisionali

7. Problema del Massimo Flusso FORMULAZIONE

8. s t 10 8 9 6 Il Problema del massimo flusso: concetti fondamentali s t 10 8 9 6 flusso massimo su questo grafo è pari a 6 corrispondente all’arco del cammino con capacità minima Riesco ad individuare un taglio sul grafo

9. Il Problema del massimo flusso: concetti fondamentali 10 8 9 6 ho individuato un taglio: cioè una partizione dei nodi in due insiemi tali V1 e V2 tali che: - Il nodo sorgente appartiene a V1 - Il nodo pozzo appartiene a V2 - V1  V2 = V - V1  V2 = Ø estendiamo questo concetto di taglio ad un grafo più complesso

10. Taglio e archi di un taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)}

11. Capacità di un Taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Dato il taglio (V1, V2) la capacità del taglio è la somma delle capacità degli archi del taglio

12. Capacità di un Taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Capacità = 6 + 5 + 12 + 4 =27 Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Capacità = 10 + 6 + 4 + 15 = 35 Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)} Capacità = 10 + 8 + 6 + 15 = 39

13. Relazione tra il massimo flusso e la capacità di un taglio La capacità di un taglio mi fornisce un limite superiore al valore di flusso che posso spedire dalla sorgente al pozzo Mi interessa il taglio di capacità minima se riuscissi ad individuare tutti i tagli del grafo quello di capacità minima mi individuerebbe la strozzatura della rete la capacità del taglio minimo mi individua il massimo flusso (relazione di dualità) metodo per testare l’ottimalità di una soluzione

14. 2 2 3 2;5 2;4 2 t t s s 1 1 3 3 2 3 1;4 2 2 1;3 3 2 Grafo ausiliario 1 3 2 1 1 Grafo ausiliario e Capacità residua

15. Grafo ausiliario e Capacità residua Dato un grafo G=(V,A) ed un flusso ammissibile X, il grafo ausiliario G’=(V,A’) è tale che: 1. se xij<uij esiste in G’ l’arco (i,j) con capacità pari a uij-xij 2. Se xij>0 esiste in G’ l’arco (j,i) con capacità pari a xij Tutti gli algoritmi risolutivi del problema utilizzano il grafo ausiliario (o rete residua) per decidere come spedire il flusso sulla rete

16. 2 1 4 4 t s 1 3 3 1 3 Grafo ausiliario e Cammino aumentante Potrei spedire flusso da s a t tramite cammini 2 5 4 Spedisco 1 unità di flusso tramite il cammino P1 : s – 2 – 3 – t f = 1 t s 1 4 3 3 Spedisco 4 unità di flusso tramite il cammino P2 : s – 2 – t f = 1 +4 =5

17. 2 5 4 t s 1 4 3 3 Grafo ausiliario e Cammino aumentante 2 5 4 Spedisco 3 unità di flusso tramite il cammino P3 : s – 3 – t f = 5 +3 =8 t s 1 3 3 1 3 Il flusso che ho individuato è ottimo?

18. 2 5 4 t s 1 4 3 3 2 5 4 t s 1 4 3 3 Grafo ausiliario e Cammino aumentante Il flusso che ho individuato è ottimo? Se riuscissi ad individuare un taglio con capacità uguale al flusso che ho individuato potrei dire che è ottimo V1= {s} V2= {2,3,t} Archi del taglio: (s,2) (s,3) Capacità = 5 + 3= 8

19. Cammino aumentante 2 5 4 Cammino : s – 3 – t Individuato sul grafo ausiliario t s 1 3 3 1 Cammino aumentante 3 Capacità del Cammino aumentante:  = min{u’ij : (i,j) appartiene al cammino }

20. L’algoritmo del grafo ausiliario (1/3) • Dato un grafo G=(V,A,u): 1.1 definisci un flusso iniziale X ammissibile, in particolare il flusso nullo: xij=0 per ogni i e per ogni j 1.2 f=0 • Costruisci il grafo ausiliario G(X) 3. Cerca in G(X) un cammino aumentante p dalla sorgente al pozzo 3.1 Se non esiste alcun cammino allora STOP: il flusso corrente è massimo 4. Sia =min{u’ij: (i,j) appartiene a p } 5. Aggiorna il flusso: 5.1 f=f+  5.2 xij= xij +  se (i,j) appartiene ad A 5.3 xij= xij -  se (j,i) non appartiene ad A 6. Torna al passo 2

21. L’algoritmo del grafo ausiliario (2/3) Nota: Questo algoritmo è generico: c’e’ almeno un passo che non è univocamente interpretabile Il passo 3: Cerca in G(X) un qualsiasi cammino orientato p dalla sorgente al pozzo Può essere realizzato in diversi modi che influenzano la complessità computazionale dell’algoritmo: - posso cercare un cammino a caso - posso cercare un cammino con il numero minimo di archi (shortest augmenting path algorithm ) - posso cercare un cammino con una capacità almeno pari ad una quantità  fissata di volta in volta (capacity scaling algorithm)

22. L’algoritmo del grafo ausiliario (3/3) 21000 21000 1 21000 21000