Функция нескольких переменных.

1. Функция нескольких переменных.

2. Основные понятия. уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0, С ≠0. , z-есть функция 2-х переменных x и y ; x,y

3. Геометрическая плоскость. Если в общем случае z = f(x,y)- определяет уравнение поверхности. Каждой паре x и y (из области D)- ставится в соответствии z. P-поверхность есть крыша, построенная над областью D Закон, по которому каждой паре чисел x и y из области D, ставиться в соответствии одно значение z из E , называется функцией 2-х переменных z = f(x,y).

4. D- область определения функции, E- область значений функции z = f(x,y) D- область определения функции 2-х переменных представляет собой некоторое множество точек плоскости Графиком функции f(x,y) называется множество точек (x,y,f(x,y)) пространства, т.е. поверхность.

5. Полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) определяется формулами:

6. Число A называется пределом функции z = f(x,y), при M(x,y) стремящимся к точке , если для всех ξ >0 существует такое δ >0, что при всех M, расстояние которых до точки меньше f, т.е. <f; выполняется неравенство < ξ Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполняется условие .

7. Частные производные функции нескольких переменных. Полные дифференциалы. Для функции z = f(x,y) частные производные в точке M(x,y) по x и по y соответственно определяются формулами

8. При нахождении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования. Если полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y) представлено в виде ξ( ) , где P и Q постоянные в точке M(x,y), то выражение называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в этой точке и обозначается через ;

9. Теорема: Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет полный дифференциал, причем Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

10. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям. Формула для приближенных вычислений.

11. Частные производные и полный дифференциал высших порядков

12. Смешанные производные:

13. Теорема: Если функция z = f(x,y) и её смешанные производные определенны в некоторой окрестности точки M(x,y) и непрерывны в этой точке, то .

14. Понятие о производной функции по данному направлению. Под производной функции z в данном направлении понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии , что , т.е.

15. Формула для вычисления Для функции u = f(x, y, z) по аналогии получаем, что , где - углы, образованные направлением и осями координат.

16. Градиент. Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции, т.е.: аналогично: если u = f(x, y, z), то: Теорема. Вектор-градиент указывает на направление наискорейшего возрастания функции.

17. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то уравнением касательной плоскости к поверхности в её точке , где служит уравнение - нормаль плоскости

18. Если , где - направляющий векторпрямой, касательной плоскости. проходящий через точку Такая прямая называется нормалью к поверхности в этой точке: из геометрии получим уравнение нормали:

19. Экстремум функции нескольких переменных. Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки Заметим, что (области определения)

20. Теорема. Необходимый признак экстремума: Если точке функция имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.

21. Теорема. Достаточное условие экстремума для функции Пусть в точке и Вычислим

22. Если , то в точке экстремума нет 2)Если , то заключение о существовании экстремума сделать нельзя 3)Если , то экстремум функции в точке есть и , при или , при .

23. Абсолютный экстремум функции. Теорема 1. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в этой области своих наименьшего и наибольшего значений.

24. Теорема 2. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

25. Условный экстремум. Дано: и линия на плоскости: Задача: Найти на такую точку , в которой значение функции наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции , находящихся вблизи точки в точках линии Такие точки называются точками условного экстремума функции на линии Ясно, что точка обычного экстремума является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. (обратное может и не быть) Уравнение линии называется уравнением связи.

26. Правило нахождения условного экстремума. • Если , то - получаем функцию одной переменной. Находим ,

27. 2)Метод множителей Лагранжа. • Если уравнение связи : , то составляем функцию Значение и координаты точки находятся из условий

28. Решая систему, получим значения , Надо исследовать функцию , с помощью достаточного условия экстремума в точке