Conceitos de sinais e sistemas mestrado em ci ncias da fala e da audi o
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Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição. António Teixeira. Resposta em Frequência conceito base filtros passa-baixo passa-alto passa e rejeita banda MATLAB freqz() butter(). Aula 9 a.

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Conceitos de sinais e sistemas mestrado em ci ncias da fala e da audi o

Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição

António Teixeira


Resposta em Frequência

conceito base

filtros

passa-baixo

passa-alto

passa e rejeita banda

MATLAB

freqz()

butter()

Aula 9a


  • Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides

  • Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides

  • Esta caracterização é conhecida como função de transferência

    • porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao serem transferidos através do sistema

  • Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes

    • resposta em amplitude e resposta de fase


O conceito base
O conceito base sistemas a sinusóides

  • Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides de várias frequências

    • para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa

    • considerando a resposta em amplitude só temos de medir a amplitude na saída

  • Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)

    Frequência Amplitude da sáida

    125 Hz 2 V

    250 Hz 2 V

    500 Hz 1.98 V

    1000 Hz 1.42 V

    1500 Hz 0.50 V

    2000 Hz 0.18 V

    3000 Hz 0.02 V


Problema
Problema sistemas a sinusóides

  • E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide de 400 Hz ou 1733 Hz ?

  • Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências

    • ou seja um número infinito de entradas !!!

  • A solução passa pela utilização de um gráfico,

    • com frequência no eixo horizontal

    • e amplitude no eixo vertical


400 Hz sistemas a sinusóides 2 V

1733 Hz  0.3 V


Passa baixo
Passa-baixo sistemas a sinusóides

  • Vantagem importante:

    • o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta

  • No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada

  • Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada

  • Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo

    • devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo sistema sem alteração

    • enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas


Respostas como quocientes
Respostas como quocientes sistemas a sinusóides

  • No primeiro exemplo todas as medições usaram a mesma amplitude (2V)

  • No entanto nem sempre é possível ou desejável essa situação

  • Generaliza-se o conceito fazendo com que a resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência

    Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)


Aplicando ao exemplo anterior
Aplicando ao exemplo anterior sistemas a sinusóides

  • Tabela:

    Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada

    125 Hz 2 V 2 1

    250 Hz 2 V 2 1

    500 Hz 1.98 V 2 0.99

    1000 Hz 1.42 V 2 0.70

    1500 Hz 0.50 V 2 0.25

    2000 Hz 0.18 V 2 0.09

    3000 Hz 0.02 V 2 0.01


Filtros
Filtros sistemas a sinusóides

  • Sistemas que deixam passar uma gama de frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros

  • Existem dois tipos principais de filtros

    • passa-baixo

    • passa-alto


Comando matlab freqz
Comando MATLAB freqz sistemas a sinusóides

  • Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência

    • freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1

    • freqz(b,a,N,freq_amostragem);

      • N = número de pontos para calcular

    • [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);

      • h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores

      • f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta


Passa baixo1
Passa-baixo sistemas a sinusóides

  • idealmente não afecta as sinusóides abaixo de uma determinada frequência, designada por frequência de corte

amplitude

1

0

fc

“pass band”

banda de passagem

“stop band”

banda de corte


transição não instantânea

em dB

frequência de corte definida pela frequência

onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo


Passa alto
Passa-alto sistemas a sinusóides

  • Deixam passar sinusóides acima de um certa frequência

  • Idealmente

amplitude

1

0

fc

“pass band”

banda de passagem

“stop band”

banda de corte


Filtros em paralelo

1 sistemas a sinusóides

0

fc2

1

0

fc1

Filtros em paralelo

1

+

0

Rejeita banda


Filtros em cascata
Filtros em cascata sistemas a sinusóides

1

1

1

0

0

fc2

fc1

0

Passa banda


Comando matlab butter
Comando MATLAB butter sistemas a sinusóides

  • BUTTER Butterworth digital and analog filter design.

  • [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digitalButterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator).

    • The coefficients are listed in descending powers of z.

    • The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate.



Resposta de fase
Resposta de fase an

  • Geralmente muito menos relevante que a resposta em amplitude

    • motivações perceptuais

  • Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída

    Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)

  • Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides


TPC an 

  • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell


Análise em frequência de sinais an

Síntese

Análise

Conceito de espectro

Análise espectral de sinais digitais

a DFT e FFT

Análise em frequência de sinais reais

analógicos

digitais

MATLAB

fft

Aula 9b


An lise de fourier

Análise de Fourier an

Para sinais analógicos periódicos


Fourier
Fourier an

  • Joseph Fourier foi um matemático Francês

    • do sec XIX

  • Descoberta importante:

    • Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto num conjunto de sinusóides com frequências múltiplas da frequência do sinal


Exemplo
Exemplo an

  • Frequência fundamental = 2.5 Hz

    • Cada período dura 0.4 segundos

T


Espectro
Espectro an

  • Representando as amplitudes das várias sinusóides

  • obtém-se o espectro de riscas (line spectrum)

1/T


Harm nicos
Harmónicos an

  • Sons periódicos apenas podem ter sinusóides que sejam múltiplas da sua frequência fundamental

    • Ex:

      • frequência fundamental: 100 Hz

      • Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz

  • As componentes de sons periódicos chamam-se harmónicos



Espectro1
Espectro an

Representação das amplitudes (fases) dos harmónicos


Que acontece se reduzir a freq fundamental

Os harmónicos ficam mais próximos an

No primeiro estão espaçados de 100 Hz

No segundo caso espaçados de 50 Hz

...

Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ?


E se os sinais n o forem peri dicos
E se os sinais não forem periódicos ? an

  • O período de repetição será infinito

  • As riscas do espectro ficam separadas de 1/T que neste caso será zero

    • Tem-se assim neste caso um número infinito de riscas

    • O sinal pode conter todas as frequências desde 0 até infinito

    • Trata-se da chamada Transformada de Fourier


An lise de fourier1
Análise de Fourier an

  • Normalmente não sabemos quais as sinusóides e amplitudes que devemos somar

  • Temos de obter com base no sinal

    • o Teorema de Fourier diz como se faz

      • um sinal periódico apenas contem frequências que são múltiplos inteiros de uma frequência base ou “fundamental”

        • conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais)

      • Esta sequência de termos relacionados é conhecida por série

        • Sendo o processo conhecido por Série de Fourier




Dtf e fft
DTF e FFT an

  • Vimos que a série de Fourier converte uma onda num conjunto de sinusóides, tal que quando somadas, se obtém o sinal original

  • A operação que converte uma onda digital em sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier Transform (DFT)

    • A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT


Exemplo1
Exemplo an

  • Considere-se o sinal

    • x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9]

  • Aplicando a DFT

    • Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de amostras do sinal – de 0, 1, 2 ... 7 ciclos




Aplica o de an lise de fourier ao sinal de voz

Aplicação de análise de Fourier ao sinal de voz an

cujas características variam no tempo


Segmentos frames
Segmentos an (Frames)

  • A análise pela DFT assume que o sinal mantém as suas características a seguir ao bloco analisado

    • O que não se verifica no sinal de voz

  • A análise é efectuada em pequenos segmentos em que o sinal tem características estáveis

    • Cerca de 10 a 20 ms

  • Cada segmento é designado em Inglês por frame


Janelas
Janelas an

  • Ao obter-se um segmento está implícito que se colocam a zero todos os valores fora do segmento

    • Isto corresponde à aplicação do que se chama janela rectangular

      • Problema: o que se vê na FFT não são apenas as componentes devidas ao sinal mas também componentes devidas à janela

      • Para evitar parcialmente este problema utilizam-se outras janelas, como as de Hamming e Hann


Janelas1
Janelas an

  • Hamming

  • Aplicada ao sinal



Tamanho das janelas
Tamanho das janelas an

  • Para se usar DFT deve ser potência de 2

    • 32, 64, 128, 256, 512, 1024

  • Resolução na frequência pretendida

    • N amostras resultam em N pontos na frequência entre 0 e a freq. Amostragem

      • Intervalo entre frequências= fa/N

        • N=fa/intervalo

        • Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras

        • Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras



O problema base
O problema base an

  • Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a sinais com uma representação matemática “simples”

  • Mas o que acontece quando pretendemos o espectro de sinais do mundo real, não definidos por uma fórmula matemática?

    • a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais abstractos “no papel”


Uma solu o
Uma solução an

  • Até recentemente, apenas existia uma forma prática de determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passa-banda

    • este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis

  • para saber a energia que existe numa gama de frequência apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda ajustado para essa gama

  • Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo

    • o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS

    • Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável


Exemplo an lise da onda triangular
Exemplo: an análise da onda triangular

  • O sinal

    • período = 5 ms


Filtro para frequ ncia central 200
filtro para frequência central=200 an

  • filtro e saída

Max=0.3748


Filtro para frequ ncia central 300
filtro para frequência central=300 an

  • filtro e saída

Max aprox 0



O caso digital
o caso digital an

  • aplica-se a DFT/FFT

tantos pontos como os do sinal



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