Bayes
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 21

Bayes PowerPoint PPT Presentation


  • 86 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Bayes. Voor psychologen. Recap Bayes’ Rule. Pierre Simon Laplace. Als een test .99 van de patienten detecteert die aan ziekte Z lijden (dit is erg hoog voor een medische test!) …,. en mijn testresultaat blijkt positief…. …hoe waarschijnlijk is het dan dat ik Z heb?.

Download Presentation

Bayes

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Bayes

Bayes

Voor psychologen


Bayes

Recap Bayes’ Rule

Pierre Simon Laplace


Bayes

Als een test .99 van de patienten detecteert die aan ziekte Z lijden

(dit is erg hoog voor een medische test!)…,

en mijn testresultaat blijkt positief…

…hoe waarschijnlijk is het dan dat ik Z heb?


Bayes

Vraag1 1: hoe prevalent is Z? Stel: 1 patient op de 1000

Vraag 2: Hoe veel false alarms? . Stel: 2 op de 100 gezonde mensen die worden getest.

(Heel goede test! Veel beter dan PSA- niveau voor prostaatkanker en mammogram voor borstkanker!!!)

Kans is .047


Bayes

Lijkt .047 erg laag? Probeer een ruwe benadering:

Test een groep van 1000 mensen

Daarbij kun je redelijkerwijze 1 zieke verwachten

die hoogstwaarschijnlijk een positieve uitslag krijgt

Van de bijna 1000 gezonden zullen er ongeveer 20 ten onrechte een positieve uitslag krijgen.

Van de 21 positieven is er dus ongeveer 1 ziek, dat is dus een kans van ongeveer .048


Bayes

Preciezer:100000

100

99900

99 -+

1 --

1998…+

97902….-

.1%

1%

2%

99 ziek op 1998+ 99 = 2097 positieven:.04721


Bayes

Zo’n redenering helpt voor intuitief begrip, maar is niet werkelijk valide: ook bij een steekproef van 10000 weet je niet zeker dat er precies 100 mensen ziek zijn!

Voor een formele behandeling van dit soort vragen moet men meer weten.

Vooral kansen en voorwaardelijke kansen

De kans op A: p(A)

De kans op A gegeven B:p(A|B)

Eerst een voorbeeld, dan een definitie.


Bayes

De kans op A gegeven B:p(A|B)

een voorbeeld,

p(even) = 5/10 =1/2

  • 4 7

  • 10 3

  • 1 8 5

  • 9 2


Bayes

De kans op A gegeven B:p(A|B)

een voorbeeld,

p(even) = 5/10 = 1/2

p(deel3) = 3/10

4 7

6 10 3

1 8 5

9 2


Bayes

De kans op A gegeven B:p(A|B)

een voorbeeld,

p(even) = 5/10 = 1/2

p(deel3) = 3/10

p(even) = 5/10 = 1/2

p(deel3) = 3/10

p( even ^ deel3) = 1/10

4 7

6 10 3

1 8 5

92


Bayes

De kans op A gegeven B:p(A|B)

een voorbeeld,

p(even) = 1/5 = ½

p(deel3) = 3/10

p(even ^ deel3) = 1/10

Kans op even gegeven deel3:

p(even|deel3) = 1/3

p(even^deel3) 1/10 =----------------------- = ------ p(deel3) 3/10

4 7

610 3

185

92


Bayes

De kans op A gegeven B:p(A|B)

een voorbeeld,

p(even) = 1/5 = ½ p(deel3) = 3/10 p(even ^ deel3) = 1/10 p(even|deel3) = 1/3 =

p(even^deel3) 1/10 -------------------- = ------p(deel3) 3/10

47

6 10 3

18 5

92

Kans op deel3 gegeven even:

p(deel3|even) =

p(even^deel3) 1/10 1

---------------------- = -------- = ---

p(even) 5/10 5


Bayes

Een regel die verband legt tussen p(A|B) en p(B|A)is heel belangrijk voor psychologen!

Onderzoeker weet(?) p(gedrag|proces)

Maar wil weten p(proces|gedrag)

Diagnost weet p(testuitslag|stoornis)

Maar wil weten p(stoornis|testuitslag)

Statisticus weet p(steekproef|populatie)

Maar wil weten p(populatie|steekproef)

Waarnemer “weet” p(stimuli|wereld)

Maar “concludeert” p(wereld|stimuli)


Bayes

p(A^B)

p(A|B) = ----------

p(B)

p(A^B) en p(B|A) = ------------ p(A)

p(B|A)•p(A) p(A|B)= -------------- p(B)

[basisvorm]

p(B|A)•p(A) = p(A^B)

p(B) = p(B^A) + p(B^¬A)

=p(B|A)•p(A)+p(B|¬A)•p(¬A)

p(B|A)•p(A) p(A|B)= ------------------------------------------ p(B|A)•p(A) + p(B|¬A)•p(¬A)

[standaardvorm]


Bayes

p(B|A)p(A) p(A|B)= ------------------ p(B)

p(B|A)•p(A) p(A|B)= --------------- p(B)

[basisvorm]

p(B|A)•p(A) p(A|B)= ------------------------------------------- p(B|A)•p(A) + p(B|¬A)•p(¬A)

[standaardvorm]

Odds i.p.v. waarschijnlijkheid: Ω(A) = p(A)/p(¬A)

p(A|B) p(B|A) p(A) ------------- = ------------- • -------- p(¬A|B) p(B|¬A) p(¬A)

posterior odds = likelihood ratio • prior odds


Bayes

De odds vorm is heel aardig om te laten zien wat er gebeurt als je nieuwe informatie krijgt:

p(A|B) p(B|A) p(A) ------------- = ------------- • -------- p(¬A|B) p(B|¬A) p(¬A)

De diagnostische “kwaliteit” van nieuwe informatie B

(likelihood ratio)

Je oorspronkelijke geloof in A (prior odds)

Je nieuwe geloof in A, nu je B weet (posterior odds)


Bayes

Niet vergeten:

p(B|A)•p(A) p(A|B)= -------------------- [basis] p(B)

p(B|A)•p(A) p(A|B)= ------------------------------------- p(B|A)•p(A) + p(B|¬A)•p(¬A)

p(B|Ai)•p(Ai) p(Ai|B) = ------------------ [gegeneraliseerde jp(B|Aj)•p(Aj) standaardvorm]

p(A|B) p(B|A) p(A) ------------- = --------- • ----------- [‘odds’]

p(¬A|B) p(B|¬A) p(¬A)


Bayes

Opnieuw het ziektevoorbeeld:

99% van zieken positief [p(Pos|Z)] 2% van gezonden positief [p(Pos|¬Z)] 0.1% zieken [p(Z)]

p(Pos|Z)•p(Z) p(Z|Pos)= ----------------------------------------- p(Pos|Z)•p(Z) + p(Pos|¬Z)•p(¬Z)

.99 • .001 .00099 = ------------------------ = ------------ = .047 .99 •.001 + .02 •.999 .020079


Bayes

In de odds vorm:

p(A|B) p(B|A) p(A) ------------- = ------------- • -------- p(¬A|B) p(B|¬A) p(¬A)

.001 ------ .999

(lage) prior odds

.99 -----.02

(hoge) diagnostische waarde (49.5)

.0495

(nog steeds lage) posterior odds


Bayes

Problemen:

Wat is kans?

(verschillende antwoorden:

- (limiet van) relatieve frequentie

- maat voor sterkte van geloof

- mate waarin hypothese wordt ondersteund door evidentie)

Kun je zeggen dat een unieke gebeurtenis of de toestand op dit moment (de kans dat ik nu Z heb) een kans p heeft?


Graf van bayes

Graf van Bayes


  • Login