1-3 纠缠态（ Entangled state ）

1. 1-3 纠缠态（Entangled state） 《我侬词》 你侬我侬，忒煞情多； 情多处，热如火： 把一块泥，捻一个你，塑一个我。 将咱两个一齐打破，用水调和； 再捻一个你，再塑一个我。 我泥中有你，你泥中有我： 我与你生同一个衾，死同一个椁。 元初的中国书画大家赵孟頫的妻子管道升做词 --纠缠的强烈关联性

2. 《卜算子》 李之仪 （北宋） 我住长江头， 君住长江尾。日日思君不见君， 共饮长江水。此水几时休， 此恨何时已。只愿君心似我心， 定不负思量意。 --纠缠的非定域性

3. 1-3 纠缠态（entangled state） 纠缠态是近几年来在量子力学文献中经常出现的一 个词汇，是比较热门的课题。量子纠缠是存在于多粒 子系量子系统的一种奇妙现象，即对一个子系统的 测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。 在量子信息学中，量子纠缠态扮演着极为重要的作用。

4. 一、纠缠态与EPR佯谬 • 1.1935年Schrodinger在“薛定谔猫态”一文中最先给出纠缠态的概念。 • 2.1935 年爱因斯坦(Einstein),波多尔斯基(Podolsky)，罗森(Rosen)为了说明量子力学波函数描述物理现象时的不完备性提出了著名爱因斯坦－波多尔斯基－罗森佯谬，即EPR 佯谬。

5. 薛定谔猫态：

6. EPR 佯谬： 爱因斯坦等人在论文中提出如下一个量子态： 其中x1, x2分别表示2 个粒子的坐标，这样一个量子态 基本特征是它不可以写成两个子系统量子态的直积形式： 薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提 出纠缠态的目的意在说明在承认定域性和实在性的前 体下，量子力学的描述是不完备的。

7. 3.1951年Bohm将爱因斯坦等人的EPR问题简化，研究了自旋S=1/2的两粒子之间的自旋纠缠态：3.1951年Bohm将爱因斯坦等人的EPR问题简化，研究了自旋S=1/2的两粒子之间的自旋纠缠态： 指出：当两个粒子无限远离时，对其中一个粒子的 测量结果，不会影响到对另一个粒子的测量。而量 子理论表明二者之间存在着非定域的纠缠关联，从 而证明量子力学理论是不完备的。

8. 的纠缠 • 4. 1964年Bell用基于EPR观点而发展的定域 隐变量理论研究了S=1/2二粒子系的自旋沿空间任意两个方向a和b 的投影 关联，提出了著名的Bell不等式： 其中： P是交换算符：

9. Bell不等式并不是对所有的方向都是成立的， • 这说明量子力学结果与隐变量理论是不相容的。哪种理论正确呢？ • 1982年阿斯普克特（Aspect)通过对两光子 • 偏振态的实验测量证实了它们的相关程度，确实超出了贝尔不等式容许的范围，表明量子非局域纠缠确实是存在的。

10. 5. 1993年Bernett等人提出了利用纠缠态远程传送一个量子信息的方案； • 6.1996年物理学家在介观尺度上成功实现了Schrödinger猫态；不久奥地利的Zeilinger研究组和意大利的一个研究组分别在实验上利用孪生光子，对偏振纠缠态成功的实现了一个光子纠缠态的远程传送。 • 7.在1999 年，Aspect 在著名杂志《Nature》上发表文章，对近几十年的实验进展专门做了回顾，奥地利的Zeilinger 小组以及旅美华人科学家史砚华、区哲宇等人，在Bell 不等式的实验检测方面都开展了卓有成效的工作。

11. 8.近年来，我国科学家潘建伟教授领导的实验小组成功实现了三光子，四光子纠缠态，并利用多粒子纠缠态成功实现了GHZ定理的实验验证，短短几年间该实验小组取得了六个世界首次，为我国在量子信息研究方面做出了杰出的贡献。8.近年来，我国科学家潘建伟教授领导的实验小组成功实现了三光子，四光子纠缠态，并利用多粒子纠缠态成功实现了GHZ定理的实验验证，短短几年间该实验小组取得了六个世界首次，为我国在量子信息研究方面做出了杰出的贡献。

12. 纠缠态的成功应用不仅仅在于检测基本理论的完备纠缠态的成功应用不仅仅在于检测基本理论的完备 性。以后的科学家围绕EPR佯谬做出了许多工作，将 它推广为说明客观事物同时既在此又在彼，或者你中 有我，我中有你的纠缠性，从而提出量子纠缠是量子 力学现象所特有的特性之一，将其发展成为量子信息、 量子计算等学科建立和发展的最基本的概念。

13. （ ）来标记。 二、可分离态、纠缠态、Bell基 以两个自旋为1/2的粒子组成的体系为例进行讨论 自旋为1/2的粒子，它的两个自旋态可用Sz的本征值表示： 两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述：

14. 两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述： 非耦合表象： A粒子的本征态 B粒子的本征态 A+B体系的本征态

15. 或形象的表示为： 以上四个本征态都是两个单粒子自旋态的直积形式， 是可分离态，不是纠缠态。 1.分离态：能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。

16. 用非耦合表象的基矢做展开 将 耦合表象：A,B耦合的角动量 本征态取 为基矢的表象,用 表示 ――自旋单态 ――自旋三重态 （表示成非耦合表象基矢的线性组合）

17. 1． 2. 用非耦合表象的基矢做展开 将 S=0 S=1 3. S=1 S=1 4.

18. 1． S=0 2. S=1 3. S=1 从波函数的直观形式上看， 可以看作是两个单粒 子自旋态直积形式的线性组合，纠缠态； 可以看作 S=1 4. 是两个单粒子自旋态的直积形式，非纠缠态。 2.纠缠态：不能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。

19. 若 ，则该体系对应的态是纯态； 若 ，则该体系对应的态是混和态（纠缠态）。 因此，角动量耦合并不等同于纠缠，这只是从形式上看出 的，并没有给出纠缠态的严格定义。下面，利用约化密度 矩阵的性质给出纠缠态的定义。 对于(A+B)组成的复合体系，与子体系A对应的约化密度矩阵：

20. ( 是粒子B的本征态， ) 以自旋单态 为例，相应的密度算符为 对于A+B体系，是一个纯态的密度矩阵。对于复合体系的 子体系（A体系），其约化密度矩阵为： 混和态的密度矩阵

21. 同理， 混和态的密度矩阵 纯态的密度矩阵 纯态的密度矩阵

22. 对一个多粒子体系的量子态，若它的子体系相应的约化密对一个多粒子体系的量子态，若它的子体系相应的约化密 1． 度矩阵是混和态密度矩阵，则为纠缠态；若它的子体系相 应的约化密度矩阵是纯态密度矩阵，则为非纠缠态。 2. 纠缠态 纠缠态 纠缠态的定义P37 纯态 3. 纯态 4.

23. 若把 线性叠加，可以构成两粒子体系的另外的两个 纠缠态: 1． 2. 纠缠态 纠缠态 3，4 四个纠缠态: 这四个纠缠态，叫做Bell基，和耦合表象 的基矢不完全相同。P37

24. 把 ， 两个态用 表示，则4个Bell基可以表示为： 4个Bell基都是纠缠态，如果让两个粒子分离，分别处于 空间不同地点，并对其中一个粒子进行局域性测量自旋， 则是一个非完备测量，对其测量的结果应该用约化矩阵， ，这是一个混和态。测量该粒子的自旋沿任何方向 分量时， 值均可出现，而且概率相同（均为1/2）。 因此可以用来解释EPR佯（yang）谬。

25. 三、纠缠态的本质、特征与重要性 • 1.本质： 对量子纠缠本质的理解，可以从以下几个方面综合考虑： 1）从量子信息的角度：纠缠的本质是关联的量子信息。 2）从实验观测角度：纠缠的本质是超空间的关联塌缩。 3）从理论分析的角度：纠缠的精髓是和关联空间非定域性的 等价性。 4）从隐变数角度：两体存在纠缠的充要条件是两个粒子之间 不容许存在任意的相对位相差而不改变系统的状态。 －－纠缠关联的存在使隐变量理论不能成立。

26. 三、纠缠态的本质、特征与重要性 • 2.特征： 关联塌缩，对各个粒子分别做测量时表现为各个粒子状态塌缩结果存在关联。 • 3.重要性： 1）在测量塌缩中，它们表现出一种非定域的超空间的关联，并且成为调控和传递量子信息的重要手段。 2）量子系统和环境之间发生的难以避免的量子纠缠造成量子态的退想干，这是量子信息丧失的主要方式。

27. 四、纠缠态的应用 • 1量子纠缠态在量子通信中的应用 • 纠缠态不仅对了解量子力学的基本概念有重要的意义，近年来已在一些前沿领域中得到广泛的应用。 • (1) 纠缠态作为量子密码的传输载体可以实现不可破译，不可窃听的保密通讯，其安全性是其物理定律本身决定的。 • (2) 应用EPR态可用来传送未知的量子态，其原理是通过有经典通道传送到接收者，后者根据这个经典信息，对另一个有量子通道传送来的EPR粒子进行幺正变换,这个粒子便可被制备到待传送的未知态上，原始粒子的量子态则被破坏掉，这就是所谓的量子远距传输。

28. 四、纠缠态的应用 • 2 极化电子束双缝干涉的纠缠态分析 • 量子双缝干涉实验直观表现了电子的波动性，我们虽然明确了电子是一个实物粒子，但是在此实验中，我们却不能确定电子所经过的路线，即不可能知道电子是穿过哪一条缝而到屏上的，因此这让我们很难用经典物理的思维去理解，这恰恰显示出纠缠态在其中不可替代的作用。

29. §1-4 量子态的测量Wigner函数 在经典力学中，一个粒子运动状态可以用相空间中的一个点描述，即用它在任一时刻的坐标和动量来确定。在量子力学中，粒子具有波、粒二象性，一个体系的量子态，是用Hilbert空间中的一个波函数描述的。若选取一个具体的表象，则用态矢沿基矢方向的分量来描述。例如：取x表象，波函数 在x表象中的分量为： 量子态包含了体系的全部信息。那么，量子态能否进行测量呢？ 在量子力学中，单个的量子态是不能进行测量的。但是，对于在相同实验条件下制备出来的粒子组成的一个系综而言，量子态是可以测量的。

30. 近年来，量子态测量的实验工作，已取得一些重要进展。现在，对量子态的测量，主要是测量与波函数或密度矩阵等价的Wigner函数。Wigner函数是相空间中的一个实函数，具有准概率分布函数的性质。近年来，量子态测量的实验工作，已取得一些重要进展。现在，对量子态的测量，主要是测量与波函数或密度矩阵等价的Wigner函数。Wigner函数是相空间中的一个实函数，具有准概率分布函数的性质。

31. 与量子态 或密度算符 等价的Wigner函数定义如下（以一维粒子为例分析）：

32. 用动量空间的波函数表示

33. Wigner函数的性质： 1. 是相空间的一个实函数 2 .具有准概率分布的含义 粒子在坐标空间的概率分布密度 粒子在动量空间的概率分布密度 P67 3 力学量的平均值可用Wigner函数计算

34. 与直接用坐标表象中的波函数计算 的平均值的 公式一致。 4. 可取正值，也可取负值，对于准经典态

35. Wigner函数随时间的演化： （V—势能，当V很小时，可以忽略高阶项）P71

36. 练习：画出一维谐振子的wigner函数图像 基态 第一激发态

37. 第二激发态 第三激发态