JEUX EN STRAT GIES MIXTES

1. JEUX EN STRATÉGIES MIXTES G. Belzile HEC Montréal Mai 2004

2. Plan de la présentation Le problème… La notion d’équilibre en stratégies mixtes Des applications Conclusions

3. Le problème... La vacuité des commentateurs sportifs Even/odd L’opération Overlord Le tennis Le but de chaque agent/joueur est de déjouer l’anniversaire

4. Even and Odd

5. La notion d’équilibre en stratégies mixtes Il n’existe pas toujours d’équilibre de Nash en stratégies pures Mais il existe un couple de probabilités (p,q) correspondant à une probabilité choisie par chacun des joueurs telles que chacun « mixera » sa réponse optimalement On verra comment

6. Un deuxième exemple: l’opération Overlord Les Alliés considéraient deux options: Normandie Pas de Calais Le Pas-de-Calais présentait des avantages stratégiques, mais cela était connu des Allemands. Sauf que cette perception était connue des Alliés et...

7. Opération Overlord

8. Overlord (suite)... Aucun équilibre de Nash en stratégie pure La seule stratégie possible consiste à « randomiser » son comportement: à choisir une probabilité à laquelle obéira son comportement IDÉE: il faut garder son adversaire sur la corde raide, rendre NOTRE action imprévisible

9. Comment choisir le « mix » Comment randomiser son choix ? Choisir une probabilité pour chaque choix telle que le gain attendu de chacun soit égal Ainsi, mon choix est imprévisible

10. Overlord (suite)... Posons que les ALLIÉS choisissent la Normandie avec probabilité « p » et les ALLEMANDS la Normandie avec probabilité « q» (p,q) doivent être telles que les ALLEMANDS seront incertains de quel côté viendra le débarquement...

11. Overlord (suite)... Ainsi, on peut écrire les gains espérés (EG) des ALLIÉS ainsi: EGa(N)= q 60 + (1-q) 80 EGa (C)=q 100 + (1-q) 20

12. Overlord (suite)... Similairement, les ALLEMANDS font face à: EGg(N)= p (-60) + (1-p) (-100) EGg (C)=p (-80) + (1-p) (-20)

13. Overlord (suite)... On pourra vérifier que seul le couple (p,q) = (0,80; 0,60) a la propriété que EGa(N) = EGa(C) et EGg(N) = EGg(C)

14. Le tennis Evert joue contre Navratilova DL (down the line) ou CC (crosscourt) p : prob que Evert choisisse DL q : prob que Navratilova choisisse DL

15. Fig. 7.1

16. Fig. 7.2

17. Fig. 7.3

18. Fig. 7.4

19. Un exemple économique:la guerre d’attrition… Concurrence entre Nintendo et PlayStation

20. La guerre d’attrition... Ce jeu présente deux équilibres en stratégies pures (IN,OUT) et (OUT,IN)… et un équilibre en stratégie mixte: (IN,IN): qui donne une guerre d’usure ou d’attrition Jeu de type « Winner-take-all »

21. La guerre d’attrition... À chaque période, les deux concurrents se disputent le « Prix »: P$ Leurs efforts de pénétration et la guerre d’imposition des normes coûtent L$ par période aux deux concurrents La durée de la guerre d’attrition dépend, entre autres, de l’importance du prix P, de l’impatience des joueurs et de leurs liquidités…; si entrée simultanée, profit ind. = w = {(P/2)-L}

22. La guerre d’attrition... Posons que le marché a un potentiel de profit de 300 (P=300) Posons des coûts fixes de 200 (L=200)

23. Recherche de l’équilibre en stratégies mixtes Nintendo entre avec probabilité p PlayStation entre avec probabilité q Nintendo: E1(in) = -50q + 100(1-q) = 100 - 150q E1(out) = 0q + 0(1-q) = 0 Pour q<2/3 : in 100 - 150q>0 Pour q>2/3 : out 100 - 150q<0 Pour q=2/3 : indifferent 100 - 150q=0

24. Fonctions de réaction(Best Response Fonctions)

25. La morale de l’histoire… Il y a trois possibilités: Aucune entreprise n’entre: Prob = (1/3) ? (1/3) = 1/9 Nintendo et PlayStation entrent simultanément: Prob = (2/3) ? (2/3) = (4/9) Nintendo OU PlayStation “capture” le marché: Prob = (2/9) + (2/9) = 4/9 Prob (Nintendo capture le marché) = 2/9 Prob (PlayStation capture le marché) = 2/9

26. La morale de l’histoire… La coordination est parfois difficile Possibilité de la concurrence destructrice Dans un contexte séquentiel: Annoncer ses intentions Menacer, créer un risque délibéré de (p,q) Exploiter l’avantage du premier acteur Attention: si engagement simultané, on obtient un “Chicken Game” !

27. Conclusions Dans les jeux à somme constante: Bataille de parts de marché « Even and odd » Opération Overlord Inexistence d’un éq. de Nash en stratégies pures: cherchez les équilibres en stratégies mixtes

28. Conclusions (suite)... Nombreuses applications Stratégies de promotion : pourcentage des articles en vente / coupons, etc. Stratégies de contrôle: qualité, inspection, fraude, ... Stratégies de localisation Stratégies de R&D: portefeuille de projets