FUNCIÓN CUADRÁTICA

2. FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma: Donde a, b, c son números reales y a≠0 Función cuadrática simple En particular, si se toma a=1, b=0, c=0 0 0 f 1/2 1/4 Representación gráfica -1/2 1/4 1 1 -1 1 2 4 -2 4

3. Función cuadrática simple Análisis de la gráfica de Dominio: Rango: • La gráfica es simétrica • con respecto al eje y • Función par • Ecuación del eje de • simetría Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola

4. Función cuadrática simple Continuación análisis de la gráfica de • La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) • Creciente: • Decreciente:

5. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

6. Función cuadrática simple Contracción Vertical

7. Función cuadrática simple Dilatación Vertical

8. Función cuadrática simple Reflexión sobre el eje x: La gráfica es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) Rango: Dominio: La gráfica es simétrica con respecto al ejey Ecuación del eje de simetría: Creciente: Vértice ( 0, 0 ) Decreciente: Punto máximo ( 0, 0 )

9. Función cuadrática simple Traslación horizontal: Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha. Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) • Creciente: (2,∞) • Decreciente: (-∞, 2) Si h = -1, el vértice se traslada 1 unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1,∞) Decreciente: (-∞, -1) Vértice (2,0) Vértice (-1,0)

10. Función cuadrática simple Traslación Vertical: Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba. Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajo 2 El rango y el punto mínimo cambian 4 Vértice (0, 2) Rango: Vértice (0, -4) Rango:

11. Otras expresiones para la función cuadrática • Forma estándar ó canónica

12. FUNCIÓN CUADRÁTICA Resumiendo: A partir de la transformación de la función simple: se obtienen parábolas de la forma: En donde: Dominio: (-∞, ∞) a<0 Rango: Si a>0 Vértice: Desplazamiento horizontal: h Desplazamiento vertical: k Contracción o dilatación vertical: a

13. Ejemplo 1: Trazar la función a partir de la función

14. Ejemplo 1:continuación

15. Ejemplo 1:continuación Dominio: Rango: Ecuación eje de simetría: Punto mínimo: (1, -8) Creciente: ( 1, ∞ ) Decreciente: ( -∞, 1 ) Eje de simetría Vértice (1, -8) h k

16. Ejemplo 1:continuación Intersección y C(3,0) B(-1,0) (0,-6) Intersecciones x A(0, -6) (-1, 0) y (3, 0)

17. Ejemplo 1:continuación

18. Ejemplo 2: Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es: Vértice (2,3) Intersectoejey (0, -5) Ecuación eje de simetría Con esta información se encuentra el valor dea

19. es otra expresión algebraica de una ecuación cuadrática-Parábola_ Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma: Vértice:

20. Resumiendo: Dada la función:

21. Ejemplo 3:

22. Ejemplo 3: (continuación) Intersecciones con el eje x : Se hacef (x) = 0, esto es:

23. Ejemplo 3: (continuación) Ecuación eje simetría

24. Ejemplo 4: Solución En la ecuación:

25. Ejemplo 4 (continuación) ( 6, 14 ) Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de US$14

26. Producto de factores lineales Los ceros de la función cuadrática, llamados también raíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valor cero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x1 y x2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales.

27. Ceros de la función cuadrática Se dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo af (x) igual a cero.

29. Ejemplo 5: Encontrar gráficamente el conjunto solución de: Solución vamos a resolverf (x) > g(x) f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 ) g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3)

30. Ejemplo 5: (continuación) Su representación gráfica es: (0, 3) Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos: (-2, -1) y ( 0, 3). -2 También vemos quef (x) > g (x) en los siguientes intervalos: (-2, -1)

31. Ejemplo 5: Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua? x = cantidad de pulgadas dobladas A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del rectángulo sea máxima.

32. Ejemplo 5:(continuación) Revisemos la función: x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor. Parábola El área máxima se encuentra en el vértice. El área máxima son 32 pul²

33. Ejemplo 6

34. Ejemplo 6: (Continuación) Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene: ó Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa.

35. Ejemplo 6: (Continuación) El valor paraxlo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor dey(altura del impacto) Interpretación: El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1.3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura aproximada de 1.8 kilómetros.

37. Dominio: Rango: Es creciente en todo su dominio No es función par ni función impar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna de las dos definiciones Intersecto x: (0,0) Intersecto y: (0,0)

38. Transformación de funciones Generalidades: Si se tiene una función f , la función: Expresada como transformación de f(x): Se tiene: Dilatación, contracción horizontal y reflexióncon eje y= b Desplazamiento horizontal: c/b a Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x= Desplazamiento vertical: d

39. Función Raíz Cuadrada Pasos a seguir:

40. Función Raíz Cuadrada

41. Función Raíz Cuadrada