1 / 17

Stereometrie

Stereometrie. Kolmost přímek a rovin. VY_32_INOVACE_M3r0115. Mgr. Jakub Němec. Kolmost přímky a roviny. Kolmost přímky a roviny je důležitá vlastnost pro hledání vzdálenosti bodu a roviny.

rufina
Download Presentation

Stereometrie

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Stereometrie Kolmost přímek a rovin VY_32_INOVACE_M3r0115 Mgr. Jakub Němec

  2. Kolmost přímky a roviny • Kolmost přímky a roviny je důležitá vlastnost pro hledání vzdálenosti bodu a roviny. • Na začátek je důležité si uvědomit, že dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. • Této vlastnosti využijeme k definování kolmosti přímky a roviny: • Přímka a rovina jsou k sobě kolmé v případě, že je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. • Díky definici můžeme uvést také tzv. kritérium kolmosti přímky a roviny: • Je–li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k rovině kolmá.

  3. Přímka p je kolmá k rovině. Protíná rovinu v bodě S, který je zároveň patou kolmice, můžeme najít nekonečně mnoho kolmic, které leží v rovině. Namátkou jsou vybrány např. přímky a, b, c.

  4. Věty o kolmosti přímky a roviny • Na základě definice, kritéria kolmosti přímky a roviny a již známých informací z předchozích lekcí můžeme vyslovit dvě věty, které se týkají této problematiky: • Daný bod určuje pouze jednu přímku, která je kolmá k dané rovině. • Daným bod určuje pouze jednu rovinu, která je kolmá k dané přímce. • Díky výše uvedeným znalostem jsme schopni řešit úlohy v praxi.

  5. V krychli ABCDEFGH zjistěte, zda je přímka CE kolmá k rovině BDG.

  6. Naším úkolem je najít dvě různoběžky roviny BDG, které budou kolmé k přímce CE. To je minimální požadavek na kolmost roviny a přímky. Začneme s přímkou BD. Na přímku BD je kolmá přímka AC i AE (rovnoběžka červeně). Tyto dvě kolmice určují rovinu ACE, v níž leží i naše přímka CE. To znamená, že přímka CE musí být kolmá k přímce BD.

  7. Přímka BG je naše druhá přímka (to samé lze provést i s přímkou DG). K přímce BG je kolmá přímka CD (kolmá je také rovnoběžná přímka červenou barvou) a přímka CF. Tyto dvě přímky určují rovinu CDF, v níž leží také přímka CE. To znamená, že přímka CE je kolmá k přímce BG.

  8. V předchozích dvou krocích jsme našli dvě různoběžné přímky roviny BDG, které jsou kolmé k přímce CE. Tím jsme dokázali, že přímka CE je kolmá k rovině BDG.

  9. V krychli ABCDEFGH urči přímku jdoucí vrcholem E, která je kolmá k rovině AFH.

  10. Naším úkolem při hledání přímky, která je kolmá k naší rovině, je najít pomocné roviny, které budou kolmé na libovolné přímky roviny a budou procházet bodem E (přímka a bod jednoznačně určují libovolnou rovinu). Zvolme si např. přímku AH ze zadané roviny. K té jednoduše nalezneme dvě kolmé přímky, z nichž jedna prochází bodem E. Máme nalezenu rovinu.

  11. Obdobně nalezneme kolmou rovinu k přímce AF. Červená přímka je záměrně nepřesně vyznačena, aby nebyla v zákrytu za přímkou AF.

  12. Průsečnice CE nalezených rovin BCE a CDE musí být kolmá k rovině AFH, protože je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny AFH.

  13. Nám již známým postupem jsme schopni přesně určit bod, v němž přímka rovinu protíná. U průsečíku po našem nalezení kolmé přímky můžeme směle vyznačit pravý úhel.

  14. Kolmost rovin • Vzhledem k tomu, že víme, že rovinu určují dvě přímky a že přímka je kolmá k rovině, pokud v rovině nalezneme dvě různoběžné kolmé přímky, můžeme definovat situaci pro kolmost dvou rovin: • Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině.

  15. Jak lze vidět na obrázku, můžeme najít vždy alespoň jednu přímku, která je kolmá k další rovině. Tyto roviny jsou proto navzájem kolmé.

  16. Úkol závěrem • 1) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímek • a) EF a HM, kde bod M je střed hrany AE • b) AL a BK, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a CD. • 2) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímky a roviny: • a) FH a ACG • b) LM a ACH, kde body L a M jsou po řadě středy hran CD a AE.

  17. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.

More Related