APLICAŢII ALE MATEMATICII ABORDĂRI INTERDISCIPLINARE

1. Moto: “Matematica este limba … … în care Dumnezeu a creat lumea” APLICAŢII ALE MATEMATICIIABORDĂRI INTERDISCIPLINARE Elevi: Ionescu Roxana, Neagu Maria, Solovăstru Mircea, Șolot Alexandru Profesor coordonator: Demeny Ida

2. Sumar • Exemple De RapoarteUtilizate In Practica • AplicaţieÎnFizică A InegalităţiiMediilor • Formele Matematice Ale Muzicii • Notele Unei Octave Si Fractiile Ordinare • Notele Cu Punct • Modelul De Culori Rgb • Definitie Si Semnificatii • ReprezentareaCulorilor • ReprezentareaCulorilor Si SitemulBinar • ReprezentareaCulorilor In Imagini • ReprezentareaTridimensionala • SirulLui Fibonacci • SirulLui Fibonacci Si Numarul De Aur • SirulLui Fibonacci In Natura • CorpulOmenesc Si NumereleLui Fibonacci • Proportia De Aur • CochiliaMelcului, SpiralaLogaritmica Si SeriaLui Fibonacci • Geografia Si Matematica • CoordonateGeografice • Latitudinea • Longitudinea

3. Exemple de rapoarteutilizate in practica

4. Aplicaţieînfizică a inegalităţiimediilor • Este foarte important sa ştim sa punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, sa privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor. • Una dintre cele mai cunoscute inegalităţi în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică şi media armonica a două sau mai multe numere reale pozitive. • Aplicaţie în fizică: Două mobile parcurg acelaşi drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al doilea parcurgând 2 porţiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v. Care mobil parcurge drumul mai repede? • Notăm distanţa cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1 (pentru primul mobil) şi t2 (pentru al doilea mobil) , Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetica si media armonica pentru v1 si v2: În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinaţie în cel mai scurt timp

5. Formele matematice ale muziciiNotele unei octave si fractiile ordinare

6. Formele matematice ale muziciiNotele cu punct • Adaugand un punct la o nota valoarea acesteia se mareste cu jumatate dinvaloarea initiala a notei. • Exemple: • O nota intreaga = 4 timpi. O nota intreaga cu punct = 6 timpi. De ce? • Raspuns: Deoarece, ½ din 4 este 2, si 4+2=6 • O doime = 2 timpi. O doime cu punct = 3 timpi. De ce? • Raspuns: Deoarece ½ din 2 este 1, si 2+1=3. • O patrime = 1 timp. O patrime cu punct = 1 ½ timpi. De ce? • Deoarece ½ din 1 este ½ , si 1+ ½ = 1 ½ .

7. Modelul de culori RGB DefinitiesiSemnificatii • Modelul de culori RGB este un model prin care oriceculoarepoatefiexprimata ca o combinatie de rosu (R), verde (G) sialbastru (B). Dupa cum se observa, numeleacestui model provine de la culorile sale de baza: • rosu = red = R • verde = green = G • albastru = blue = B • Modelul a fostinspirat din realitate, intrucatcele 3 tipuri de conuri din retina ochiuluiumancontincate un pigment fotosenzitivpentruaceste 3 culori: rosu, verdesialbastru. Oricealtaculoarepe care omul o percepeeste de fapt o combinatie din aceste 3 culori • Scopul principal al modelului de culori RGB este de a reprezentaimaginile in sistemeleelectronice, cum arfitelevizoarelesaucalculatoarele.

8. Modelul de culori RGBReprezentareaCulorilor • In memoriacalculatoruluiimaginile se reprezintaintr-un mod foarte similar. • Fiecare pixel, adicafiecarepunctvizibil din imagine estestocat in memoriacalculatoruluiastfel: • O valoareintre 0 si 255 pentrurosu • O valoareintre 0 si 255 pentruverde • O valoareintre 0 si 255 pentrualbastru • Astfel: • 0 reprezintaminimulculorii (saulipsaei) • 255 reprezintamaximulculorii (sauprezenta 100% a ei). • In exemplul de maijos se poatevedeareprezentareaculorilorprin RGB la televizor.

9. Modelul de culori RGBReprezentareaCulorilorsisitemulbinar • Se stie ca in memoriacalculatoruluioriceinformatieestereprezentata ca siruri de 0 si 1, adica in sistembinar. • Unitatea de baza de masurapentrumemorieestebitul, adica o pozitie din memoriepe care poatefi 0 sau 1. • Oricevaloareintre 0 si 255 poatefiexprimatape 8 pozitii, decipe 8 biti: 0(10) = 00000000(2) 1(10) = 00000001(2) 10(10) = 00001010(2) …. 255(10) = 11111111(2) • Unitatea de masurafolositapentru o colectie de 8 biti se numesteoctet (sau byte). • Putemconcluzionaastfel ca oriceculoarepe care o reprezintacalculatorulestereprezentata in memoriaacestuiape 3 octeti = 24 de biti, cate un octet = 8 bitipentrufiecareculoare: rosu, verdesialbastru. 

10. Modelul de culori RGBReprezentareaCulorilor in imagini •  Astfel, dintr-o imagine precum este cea de jos, se pot extrage 3 imagini, luand din fiecare pixel doar valoarea corespunzatoare cate unei culori, pe rand: • Prima imagine este imaginea initiala, fotografiata din realitate • A doua imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru rosu, iar valorile pentru albastru si verde sunt considerate 0 • A treia imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru verde, iar valorile pentru rosu si albastru sunt considerate 0 • A patra este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru albastru, iar valorile pentru rosu si verde sunt considerate 0. • Din imaginile prezentate se observa ca: • albul este combinatia de maxim rosu, maxim verde si maxim albastru • negru reprezinta combinatia de minim rosu, minim verde si minim albastru • maro este combinatia de mult rosu si verde, dar putin albastru • verdele inchis este combinatie de mult verde cu putin rosu sau albastru • albastrul cerului este o combinative de mult albastru si moderat rosu si verde.

11. Modelul de culori RGBReprezentareatridimensionala • Deoareceoriceculoarepoatefireprezentata ca o combinatie de rosu, verde, albastru, atuncimodelul RGB este un model cu 3 dimensiuni. Spatiul RGB estereprezentatprin 3 dimensiuniindependente (rosu, verdesialbastru). • Astfel, putemconsideraspatiul RGB ca un cub, pefiecareaxafiind o culoare din celetrei (rosu, verdesialbastru), cu valori de la 0 la 255. • Dupa cum se observa in imaginea de maijos, oricepunct din interiorulcubuluipoatefiexprimat in functie de cele 3 axe, adicacele 3 culori. • Toate aceste lucruri pot fi verificate foarte simplu cu ajutorul unui calculator, deschizand aplicatia Paint.

12. Sirullui Fibonacci • In anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematica in Pisa. Problemapropusaconcurentilor a fostcelebra “Problema a iepurasilor” lui Fibonacci. • Plecand de la o singurapereche de iepurisistiind ca fiecarepereche de iepuri produce in fiecareluna o nouapereche de iepuri, care devine “productiva” la varsta de 1 luna, calculaticateperechi de iepurivorfidupa n luni. (de asemenea se considera ca iepurii nu mor in decursulrespectiveiperioade de n luni) • Sa notam Fnnumarul de perechi de iepuridupa n luni. Numarul de perechi de iepuridupa n+1 luni, notat Fn+1, vafi Fn (iepurii nu morniciodata!), la care se adaugaiepuriinou-nascuti. Dar iepurasii se nascdoar din perechi de iepuri care au celputin o luna, decivorfi Fn-1 perechi de iepurinou-nascuti. • Obtinemastfel o relatie de recurenta: (reprezentatasiprindiagrama de maijos ) • Fn+1 = Fn + Fn-1; • F1=1; • F0=0. • Aceastarelatie de recurentareprezintaregula care genereazatermeniisiruluilui Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,..... • Sirullui Fibonacci este un sir de numere in care fiecare, incepand cu al treilea, estesumacelordouadinainteasa.

13. Sirullui Fibonacci siNumarul de Aur • Dacă luăm în considerare raportul dintre două numere succesive, în sirul lui Fibonacci si vom imparti fiecare la predecesorul sau vom găsi următoarele serii de numere: 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1·5, 5 / 3 = 1·666..., 8 / 5 = 1·6, 13 / 8 = 1·625, 21 / 13 = 1·61538... 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1,5, 5 / 3 = 1.666 ..., 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.61538 ... • Raportul aproximeaza o anumită valoare, pe care o numim raportul de aur sau numărul de aur: φ (fi) = 1.618034 • Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.( ex. Partenonul ) • Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale π sau е, pare a face parte din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie.

14. Sirullui Fibonacci in natura • Numarul de aur se regaseste in modul de dispunere a frunzelor, petalelorsausemintelor la plante, in raportuldintrediferiteparti ale corpuluiomenesc, etc… • La multeplante, numărul de petaleeste un numar Fibonacci • 3 petale:crin, iris • 5 petale:trandafirsalbatic, viorele, lalele • 8 petale: delphiniums • 13 petale:gălbenele, porumb, cineraria, unelemargarete • 21 petale: margarete, cicoare • 34 petale:patlagina • Anumiteconuri de pin respecta o dispunere data de numerelelui Fibonacci, si de asemenea la floareasoarelui. Con de pin Garofita Fuchsia Fucsie Crin

15. Sirullui Fibonacci in natura • La floareasoarelui se pot observadouaranduri de spirale in sensinvers. Numarul de spirale nu esteacelasi in fiecaresens.Potrivitsoiului, acestnumarpoatefi 21 si 34 sau 34 si 55, uneori 58 si 89. • Multeplante au aranjamentulfrunzelordispusintr-o secventa Fibonacci in jurultulpinei. • Ideeadispuneriifrunzelor in acestsenspleaca de la considerareaunghiului de aur de 222,5 grade, unghi care impartit la intregul 360 de grade vada ca rezultatnumarul 0.61803398..., cunoscuta ca ratiasiruluilui Fibonacci.

16. Corpulomenescsinumerelelui Fibonacci • Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange, separate prin 2 incheieturi. Media lungimilor falangelor este de 2, 3 si respectiv 5 cm. In continuarea lor este un os al palmei care are in medie 8 cm. • Catul dintre lungimea partii de jos a corpului omenesc, masurata de la ombilic pana la talpi, si partea de sus, masurata din crestet pana la ombilic este numarul de aur. • Ritmul ciclic al batailor inimii apare în electrocardiograma unui om sanatos ca o linie curba, cu suisuri si coborâsuri. Reprezentarea grafica a "sirului lui Fibonacci" seamana izbitor cu cea de-a doua parte a amintitei EKG. • Molecula de ADN are si ea la baza sectiunea de aur. Ea masoara 34 angströmi (A) în lungime si 21 A latime, pentru fiecare ciclu complet al elicei duble a spiralei sale. 21 si 34 fac parte din "sirul lui Fibonacci“.

17. Proportia de Aur • O paralelă cu baza de la mijlocul unei laturi într-un triunghi echilateral înscris într-un cerc generează proporţia de aur.(fig.1) • Pătratul maxim înscris într-un semicerc generează proporţia de aur. (fig.2) • Intersecţia diagonalelor unui pentagon generează proporţia de aur. (fig.3) • Bisectoarele (de ex.: DB) unui "triunghi isoscel de aur" (adică unul în care baza reprezintă 0,618... faţă de laturi) generează, la rîndul lor, proporţia de aur, iar arcele de cerc trasate din punctele unde ele intersectează laturile "triunghiurilor de aur" ce se formează succesiv generează spirala logaritmică. (fig.4)

18. Cochiliamelcului, spiralalogaritmicasiserialui Fibonacci • Cati dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti "la plimbare" dupa o ploaie de vara. Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam trasand-o cu pixul. Aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci: • pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd... • pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd.. • Dupa cum puteti observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci. • Motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior un maxim de spatiu si de siguranta. • Spirala logaritmică - unicul tip de spirală care nu-şi modifică forma pe măsură ce creşte. Aceasta se gaseste: • In forma cochiliei de melc • In forma urechii umane. • In interiorul aparatului auditiv

19. GeografiasiMatematicaCoordonategeografice • Harta Pământului arătând liniile de latitudine (orizontal) şi longitudine (vertical). • Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au asigurat 360°.

20. GeografiasiMatematicaLatitudinea • Latitudineaesteunadintreceledouăcoordonategeografice care descriupoziţiaunuipunct de pesuprafaţaPământului • Latitudineaunuipunctesteunghiuldintredirecţia de la centrulPământuluispreacelpunctşiplanulecuatorului.

21. GeografiasiMatematicaLongitudinea • Longitudineadescriepoziţiaunuipunct de pesuprafaţaPământului. • Longitudineaunuipunctesteunghiuldintreproiecţiilepeplanulecuatorului ale direcţiilor de la centrulPământuluicătrepunctuldatşi, respectiv, către un punct de pePământ ales convenţional ca origine a longitudinii. • Echivalent, longitudineaunuipunctesteunghiuldiedrudintresemiplanelesprijinitepeaxaPământuluişiconţinândpunctuldatşi, respectiv, punctul ales ca origine a longitudinii.

22. Importantainterdisciplinaritatii • Problema interdisciplinarităţiia preocupat filisofii şi pedagogii încă din cele mai vechi timpuri: sofiştii greci, Plinius, Comenius şi Leibnitz, iar la noi Spiru Haret, Iosif Gabrea, G. Găvănescu şi, dintre numeroşii pedagogi ai perioadei contemporane amintim pe G. Văideanu. În opinia acestuia, interdisciplinaritatea„implică un anumit grad de integrare între diferitele domenii ale cunoaşterii şi între diferite abordări, ca şi utilizarea unui limbaj comun permiţând schimburi de ordin conceptual şi metodologic”. • Etapa actuală de dezvoltare a unei ştiinţe se caracterizează prin legătura şi interpătrunderea mereu crescîndă a ştiinţelor, în special al interdisciplinarităţii matematicii cu alte disciplini ca: fizica, chimia, ştiinţele naturii, biologiei, istoriei, limbii române, etc. • Corelarea cunoştinţelor de la diferitele obiecte de învăţământ contribuie substanţial la realizarea educaţiei elevilor, la formarea şi dezvoltarea flexibilităţii gândirii, a capacităţii lor de a aplica cunoştinţele în practică; corelarea cunoştinţelor fixează şi sistematizează mai bine cunoştinţele, o disciplină o ajută pe cealaltă să fie mai bine însuşită. • Avantajele interdisciplinarităţii sunt multiple: • Permit elevului să acumuleze informaţii despre obiecte, procese, fenomene care vor fi aprofundate în anii următori ai şcolarităţii; • Clarifică mai bine o temă făcând apel la mai multe discipline; • Creează ocazii de a corela limbajele disciplinelor şcolare; • Permite aplicarea cunoştinţelor în diferite domenii; • Constituie o abordare economică din punct de vedere al raportului dintre cantitatea de cunoştinţe şi volumul de învăţare. • Predarea interdisciplinară pune accentul simultan pe aspectele multiple ale dezvoltării copilului: intelectuală, emoţională, socială, fizică şi estetică. „Educaţia are dificilamisiune de a transmite o culturăacumulată de secole, darşi o pregătirepentru un viitor, înbunămăsurăimprevizibil” (Jacques Delors)