Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici

1. Il calcolo mentale Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici

2. Quadrato di alcuni numeri Moltiplicazione di numeri con differenza piccola Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra Altre scorciatoie nelle moltiplicazione Criteri di divisibilità (con dimostrazioni) Curiosità della matematica

3. Moltiplicazione di numeri con differenza piccola Moltiplicazione di due numeri con differenza 1 Moltiplicazione di due numeri con differenza 2 Moltiplicazione di due numeri con differenza 3 Moltiplicazione di due numeri con differenza 4 Moltiplicazione di due numeri con differenza 6

4. Moltiplicazione di due numeri con differenza 1 • 4 • 5 = 5² - 5 = 25 – 5 = 20 • 4 • 5 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20 • 36 • 35 = 35² + 35 = 1225 + 35 = 1260 • 40 • 41 = 40² + 40 = 1600 + 40 = 1640 • Giustificazione

5. Giustificazione: n • (n + 1) = n² + n dove n è il più piccolo n • (n – 1) = n² - n dove n è il più grande Spiegazione: • Si somma al numero più piccolo il suo quadrato. • Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il numero stesso.

6. Moltiplicazione di due numeri con differenza 2 19 • 21 = 20² - 1 = 399 59 • 61 = 60² - 1 = 3.599 69 • 71 = 70² - 1 = 4.899 29 • 31 = 30² - 1 = 899 101 • 99 = 100² - 1 = 9.999 39 • 41 = 40² - 1 = 1.599 81 • 79 = 80² - 1 = 6.399 91 • 89 = 90² - 1 = 8.099 Giustificazione

7. Giustificazione: (n – 1) • (n + 1) = n² - 1 dove n è la media Spiegazione: Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si toglie 1. Esempi: 121 • 119 = 120² - 1 = 14.399 201 • 199 = 200² - 1 = 39.999 49 • 51 = 50² - 1 = 2.499 11 • 13 = 12² - 1 = 143

8. Moltiplicazione di due numeri con differenza 3 24 • 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 648 59 • 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 3658 34 • 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 1258 49 • 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 2548 99 • 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 10.098 Giustificazione

9. Giustificazione: (n + 1)² + n – 1 = n² + 2n + 1 + n – 1 = n² + 3n = n (n+ 3) dove n è il più piccolo dei numeri Spiegazione: Si prende il più piccolo dei due numeri e si aggiunge 1, si eleva tutto al quadrato e poi si aggiunge lo stesso numero diminuito di 1. Esempi: 154 • 157 = (154 + 1)²+ (154 – 1) = 24.025 + 153 = 24.178 12 • 15 = (12 + 1)² + (12 – 1) = 169 + 11 = 180 22 • 25 = (22 + 1)² + (22 – 1) = 529 + 21 = 550 71 • 74 = (71 + 1 )² + (71 – 1) = 5184 + 70 = 5254 17 • 14 = (14 + 1)² + (14 – 1) = 225 + 13 = 238 31 • 28 = (28 + 1)² + (28 – 1) = 841 + 27 = 868

10. Moltiplicazione di due numeri con differenza 4 67 • 63 = 65² - 4 = 4.221 14 • 18 = 16² - 4 = 252 22 • 26 = 24² - 4 = 572 38 • 42 = 40² - 4 = 1.596 58 • 62 = 60² - 4 = 3596 8 • 12 = 10² - 4 = 96 Giustificazione

11. Giustificazione: n² - 4 = (n + 2)(n – 2) dove n è la media Spiegazione: Si prende il quadrato della media dei due numeri e si sottrae 4. Esempi: 28 • 32 = 30² - 4 = 896 15 • 19 = 17² - 4 = 285 21 • 25 = 22² - 4 = 525 37 • 41 = 39² - 4 = 1.517 48 • 52 = 50² - 4 = 2.496 17 • 21 = 19² - 4 = 357

12. Moltiplicazione di due numeri con differenza 6 33 • 27 = 30² - 9 = 891 83 • 77 = 80² - 9 = 6.391 15 • 21 = 18² - 9 = 315 25 • 19 = 22² - 9 = 475 36 • 42 = 39² - 9 = 1.512 13 • 19 = 16² - 9 = 247 17 • 23 = 20² - 9 = 391 Giustificazione

13. Giustificazione: (n + 3)(n – 3) = n² - 9 dove n è la media dei due numeri Spiegazione: Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si toglie 9. Esempi: 43 • 37 = 40² - 9 = 1.591 57 • 63 = 60²- 9 = 3591 33 • 27 = 30² - 9 = 891 36 • 42 = 39² - 9 = 1512 22 • 28 = 25² - 9 = 616

14. Quadrato di certi numeri Quadrato di numeri che terminano con 1 Quadrato di numeri che terminano con 4 Quadrato di numeri che terminano con 5 Quadrato di numeri che terminano con 6 Quadrato di numeri che terminano con 9 Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50 Quadrato di numeri vicini a 100

15. Quadrato di numeri che terminano con 1 41 • 41 = 40² + 40 + 41 = 1.681 11 • 11 = 10² + 10 + 11 = 121 31 • 31 = 30² + 30 + 31 = 961 Giustificazione: n² = (n – 1)² + n + n – 1 con n = numero dato Spiegazione: Si prende il numero diminuito di 1, si esegue il quadrato, si aggiunge il numero di partenza e il numero di partenza diminuito di 1

16. Quadrato di numeri che terminano con 4 34 • 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 1156 Oppure 34 • 34 = 35² - (2 • 35) + 1 = 1225 – 70 + 1 = 1156 14 • 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 196 Oppure 14 • 14 = 15² - (2 • 15) + 1 = 225 – 30 + 1 = 196 Giustificazione: • n²= (n + 1)² - (n + n + 1) n = numero dato • n²= (n + 1)² - 2 • (n + 1) + 1 n = numero dato Spiegazione: Si prende il quadrato del numero dato + 1 e si sottrae la somma tra il numero dato e il suo successivo; oppure si prende il quadrato del numero dato + 1, vi si aggiunge 1 e si toglie il doppio prodotto del numero dato + 1

17. Quadrato di numeri che terminano con 5 Giustificazione: • (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = 100n • (n + 1) + 25 Con n cifra delle decine 45 • 45 = (10 • 4 + 5)²= 100(4)² + 100(4) + 25 = 1.600 + 400 + 25 = 2.025 Spiegazione: • Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto della cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivo 2.025 20 = 4 (cifra decine) • (4 + 1) = cifra centinaia 20 • 100 = 2.000 2.000 + 25 = 2.025

18. Quadrato di numeri che terminano con 6 Giustificazione: n² = (n – 1)² + ( n + n – 1) con n numero dato 36 • 36 = (36 – 1)² + (36 + 36 – 1) = 35² + 36 + 35 = 1.225 + 71 = 1.296 56 • 56 = 55² + 56 + 55 = 3.136 Spiegazione: • Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di 1

19. Quadrato di numeri che terminano con 9 39 • 39 = 40² - (40 + 39) = 1.521 19 • 19 = 20² - (20 + 19) = 361 69 • 69 = 70² - (70 + 69) = 4.761 Giustificazione: n² = (n + 1)² - (n + n + 1) con n numero dato Spiegazione: • Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si toglie il numero di partenza e il numero di partenza aumentato di 1

20. Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50 26 • 26 = 100 • (26 – 25) + (50 – 26)² = 100 • 1 + 576 = 676 47 • 47 = 100 • (47 – 25) + (50 – 47)² = 100 • 22 + 9 = 2209 32 • 32 = 100 • (32 – 25) + (50 – 32)² = 100 • 7 + 324 = 1024 28 • 28 = 100 • (28 – 25) + (50 – 28)² = 100 • 3 + 484 = 784 Giustificazione: n² = 100 • (n – 25) + (50 – n)² con n numero dato Spiegazione: • Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100; dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della differenza tra 50 e il numero di partenza

21. Quadrato di numeri vicini a 100 98 • 98 = 100 • (2 • 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.604 104 • 104 = 100 • (2 • 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816 110 • 110 = 100 • (2 • 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100 108 • 108 = 100 • (2 • 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664 Giustificazione: n² = 100 • (2n – 100) + (100 – n)² con n numero dato Spiegazione: • Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero dato e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra 100 e il numero di partenza

22. Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1 Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5 Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine pari Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine dispari

23. Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1 Moltiplicazione per 11 Moltiplicazione per 21,31,41…

24. Moltiplicazione per 11 Metodo A Metodo B Metodo C

25. A) 67 . 11=67 . 10 + 67=737 Spiegazione: Si applica la proprietà distributiva ;si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.

26. B) 369 . 11 369+ 369 = 4059 Spiegazione: Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al numero stesso con questo incolonnamento.

27. C) 27 . 11 Sommare 2+7=9 Inserire il numero tra 2 e 7 297 43 . 11=473 72 . 11=792 85 . 11=935 156

28. Moltiplicazione per 21,31,41… 67 . 21 = 2 . 67 . 10 + 67 = 1340 + 67 = 1407 54 . 31 = 3 . 54 . 10 + 54 = 1620 + 54 = 1674 32 . 41 = 4 . 32 . 10 + 32 = 1280 + 32 = 1312 Spiegazione: Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il numero per la cifra delle decine del numero terminante con 1, si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.

29. Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5 (oppure metodo del doppio e della metà) • Moltiplicare per 15,25,35… : 64 . 35 =32 . 70 = 32 . 7 . 10 = 2240 175 . 24 = 350 . 12 = 700 . 6 = 4200 Spiegazione: Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per due l’altro. Metodo alternativo per moltiplicare per 15: 64 . 15 = (64+32) . 10 = 960 Spiegazione: Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio: Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la metà di quel numero addizionato al numero stesso.

30. Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine pari 35 . 55=1925 3 . 5=15 (3+5) . ½=4 15+4=19 1925 Dimostrazione: (10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25= =100ab+100/2(a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 2

31. Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine dispari 65 . 35=2275 6 . 3=18 6+3=4,5 18+4,5=22 2275 2 0,5 . 100=50 Dimostrazione: 50+25=75 (10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25= =100ab+100/2(a+b)+25 =100(ab+a+b)+25 2

32. Altre scorciatoie nelle moltiplicazione Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a 1 Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità pari a 10 e le decine uguali Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine pari a 10 e le unità uguali

33. Moltiplicazione di due numeri fra 10 e 19 16 . 13 = 208 Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra delle unità del secondo:16 + 3 = 19 19 . 10 = 190 Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle unità: 190 + 6 . 3 = 208 Dimostrazione: (10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab =10(10+a+b)+ab prodotto delle cifre delle unità primo numero cifra delle unità del secondo numero

34. Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità uguali a 10 e le decine uguali 72 . 78 = 5616 Procedimento: Si moltiplica la cifra delle decine per la sua successiva:7 . 8 = 56 Si moltiplica le unità:8 . 2 = 16 Dimostrazione: (10a+b)(10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc =100a2+10a(b+c)+bc =100a2+10a(b+10-b)+bc =100a2+100a+bc =100a(a+1)+bc

35. Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine uguali a 10 e le stesse unità 36 . 76 = 2736 Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle unità per 10: (3 . 7 + 6) . 100 = 2700. Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle unità: 2700 + 62 = 2736. Dimostrazione: (10a+c)(10b+c)=100ab+10bc+10ac+c2 =100ab+10c(b+a)+c2 =100ab+100c+c2

36. Criteri di divisibilità (con dimostrazioni) Per 2 Per 3 o 9 Per 4 Per 5 Per 7 Per 11 Per 13

37. Per 2 100a+10b+c 2 . (50a+5b)+c La divisibilità è legata all’ultima cifra. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2.

38. Per 3 o 9 100a+10b+c=99a+9b+(c+a+b) divisibili per 3 o 9 Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 o 9.

39. Per 4 100a+10b+c Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue ultime due cifre. Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che se la sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la sua penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8. N.B=considero 0 pari.

40. Per 5 100a+10b+c Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dall’ultima cifra. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

41. Per 7 100a+10b+c+20c-20c=21c+10 . (10a+b-2c) Un numero è divisibile per 7 se (10a+b-2c) è divisibile per 7. Procedimento: Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente il doppio della cifra tolta. Esempio: 147 è divisibile per 7 ? Si,perché 14- 14= 0 0 è divisibile per 7.

42. Per 11 100a+10b+c=100a+10b+c+100b-100b+100c-100c =100(a-b+c)+110b+99c divisibili per 11 Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue cifre di posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto pari.

43. Per 13 100a + 10b + c = 100a + 10b + c + 40c - 40c =10(10a + b + 4c)- 39c divisibile per 13 Un numero è divisibile per 13 se (10a + b + 4c)è divisibile per 13. Procedimento: Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente quadruplo della cifra tolta. Esempio: 143=divisibile per 13 ? Si,perché: 14+12=26 divisibile per 13

44. Curiosità della matematica Moltiplicazioni con numeri bizzarri Radice quadrata con metodo di Erone Dal numero decimale periodico alla frazione generatrice Giochi matematici

45. Moltiplicazioni con numeri bizzarri Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre. Il numero 12’345’679

46. Numeri (contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre. 57’624’831 • 9 = 518’623’479 72’645’831 • 9 = 653’812’479 81’274’365 • 9 = 731’469’285 518’623’479 • 2 = 1’037’246’958 653’812’479 • 2 = 1’307’624’958 731’469’285 • 2 = 1’462’938’570 35’577 • 35’579 = 1’265’794’083 46’836 • 46’838 = 2’193’704’568 63’727 • 63’729 = 4’061’257’983 78’426 • 78’428 = 6’150’794’328

47. Il numero 12’345’679 Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81: 12’345’679 • 18 = 222’222’222 12’345’679 • 27 = 333’333’333 12’345’679 • 36 = 444’444’444 12’345’679 • 45 = 555’555’555 12’345’679 • 54 = 666’666’666 12’345’679 • 63 = 777’777’777 12’345’679 • 72 = 888’888’888 12’345’679 • 81 = 999’999’999 Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate fra di loro, diano 9 12’345’679 • 108 = 1’333’333’332 12’345’679 • 117 = 1’444’444’443 12’345’679 • 126 = 1’555’555’554

48. Radice quadrata con metodo di Erone Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono di calcolare la radice quadrata di un numero. L’algoritmo di Erone utilizza solo le quattro operazioni dell’aritmetica, per la sua efficacia é usato in tutte le calcolatrici e nei linguaggi di programmazione. Esempio: 5 < 35 < 7 35/6(approssimato) 5,8 < 35 < 6 media fra 5 e 7 media fra 5, 8 e 6 5,9 < 35 < 5,93 35/5,9(approssimato) (…) Procedimento: Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di partenza (nell’esempio 35) per la media trovata. In questo modo si trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si può continuare con questo procedimento fino a quando non si è soddisfatti dell’approssimazione della radice trovata. Giustificazione

49. L’algoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un numero l costruiamo un quadrato di area l, il suo lato è proprio la radice di l.Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i cui lati misurano h e l /h , scegliamo h minore di l. L’area del rettangolo è h . l/h = l , cioè è uguale all’area del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno maggiore del lato del quadrato.Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo h1=h+l/h dove h1 è maggiore di h. 2 Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano h1 e l/h1 Anche in questo caso l’area del rettangolo è h1 . l/h1 = l cioè uguale a quella del quadrato; h1 è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, l/h1è un valore approssimato per difetto.Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore h1 più vicino a l di quanto lo fosse h.Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di numeri che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di l. l h l/h

50. Dal numero decimale alla frazione generatrice 0,93 = 84 90 Sia n = frazione generatrice 10n = 9,33333… 10n – n = 9,333 – 0,9333 9n = 8,4 90n = 84 n = 84 90