Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción

1. Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interface Coeficientes de reflexión y transmisión Ecuaciones de Fresnel Angulo de Brewster Reflexión total interna

2. Medio de incidencia Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incedente y reflejado. y x z Paralelo (“P”) La polarización sigue paralelo al plano de incidencia. Medio de transmisión Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Perpendicular (“S”) la polarización apunta hacia afuera del plano de incidencia. Er Ei ni qi qr Interface Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page) qt nt Et

3. Paralelo (“P”) Esta polarización está paralela al plano de incidencia Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular (“S”) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia.

4. Er y Ei ni Bi Br qi qr x z Interface El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia qt Et nt Bt Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico ymagnético de la ondas i,r,t para el caso “S” primero.

5. y x z Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Surge que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así: Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t) Er Ei ni Bi Br qi qr Interface qt Et nt Bt

6. Ei Er ni Bi Br qi qr y Interface x z qt Et nt Bt Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface La componente tangencial del campo magnético es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B están en el plano x-y, de las que tomamos la componente x: –Bi(x, y = 0, z, t) cos(qi) + Br(x, y = 0, z, t) cos(qr) = –Bt(x, y = 0, z, t) cos(qt) qi qi

7. y Si por Sustituyendo Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes:

8. obtenemos: reacomodando Resolviendo obtenemos el coeficiente de reflexión: es: En forma análoga el coeficiente de transmisión Coficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente

9. y x z Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo Campo B-entrante en la página. Ei Br Bi Er qi qr ni Interface Geometría de los Rayor para luz polarizada con el campo eléctrico fi paraleloal plano de incidencia qt Et nt Bt Notar que el campo magnético debe hacia la pantalla para lograr que .

10. Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia para luz polarizada paralela al PI For parallel polarized light, B0i - B0r = B0t and E0icos(qi) + E0rcos(qr) = E0tcos(qt) Solving for E0r / E0iyields the reflection coefficient, r||: Analogously, the transmission coefficient, t|| = E0t / E0i, es: Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente. y calculamos y obtenemos el coef de reflexión En forma análoga el coeficiente de transmisión

11. r ┴ Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio 1.0 .5 0 -.5 -1.0 naire»1 < nvidrio»1.5 Note que: Hay reflexión total para q = 90° para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el“ángulo de Brewster”(56.3°para los valores deniynt). (Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente.) ángulo de Brewster r||=0! r|| Coeficiente de Reflexion, r 0° 30° 60° 90° ángulo de Incidencia, qi

12. 1.0 .5 0 -.5 -1.0 Ángulo Crítico Coeficiente de Reflecxión,r Reflexión Total interna Ángulo de Brewster r r|| ┴ Ángulo crítico 0° 30° 60° 90° Angulo de incidencia, qi Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire nvidrio»1.5 > naire»1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del “ángulo crítico " qcríticoº arcsin(nt /ni) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!)

13. qi wi wt qt ni nt Transmitancia (T) A = Area Tº Potencia transmitida / Potencia Incidente Si el rayo tiene un ancho wi: Ya que La Transmitancia se llama también Transmisividad.

14. qi qr wi wi ni nt Reflectancia (R) A = Area RºPotencia reflectada/ Potencia incidente Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así: La Reflectancia se llama también Reflectividad.

15. Polarización Perpendicular Polarización Paralela 1.0 .5 0 1.0 .5 0 T T R R 0° 30° 60° 90° 0° 30° 60° 90° Ángulo de Incidencia, qi Ángulo de Incidencia, qi Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio Note que R + T = 1

16. Polarización Perpendicular Polarización Paralela 1.0 .5 0 1.0 .5 0 R R T T 0° 30° 60° 90° 0° 30° 60° 90° Ángulo de Incidencia, qi Ángulo de Incidencia, qi Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Note que R + T = 1

17. Reflexión con incidencia normal Cuando qi= 0, y Para una interfaz aire-vidrio (ni= 1 y nt = 1.5), R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.

18. Er Ei ni qi qr Bi Br Interface qt Et nt Bt Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, sini > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia será constructiva. Cuando Si Aire-vidrio

19. Br Ei ni Bi qi qr Er Interface qt Et nt Bt Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayo incidente. De la misma forma, si ni > nt(vidrio - aire), r|| > 0, habrá interferencia constructiva. Cuando Si Aire-vidrio

20. p 0 ┴ 0° 30° 60° 90° Áng de incidencia p 0 || 0°30° 60° 90° Áng de incidencia Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire - vidrio) ni < nt 180° para todos los ángulos 180° para ángulos menores al ángulo de Brewster'; 0° para ángulos mayores

21. p 0 ┴ 0° 30° 60° 90° Áng de incidencia p 0 || 0° 30° 60° 90° Áng de incidencia Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (vidrio - aire) Cambia la fase por encima del ángulo crítico nt < ni 180° para ángulos por debajo de ang de Brewster; 0° para valores mayores

22. Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(qt) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre RIT) as it grazes the surface. Ángulo deBrewster Reflexión Total interrna RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.

23. Fibras Opticas Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas distancias. Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas

24. Estructura de las fibras ópticas Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que se conduce la luz Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core Buffer coating: Film protector plástico ncore > nclad

25. Propagación de la luz en una fibra óptica La luz viaja a través del core rebotando entre las paredes reflectantes. Esto le permite viajar a la luz grandes distancias sin pérdidas en la señal. Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado en la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy poca pérdida – menos de 10%/km en 1,550 nm.

26. Reflexión Total Interna Frustrada (RITF) Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que ocurre RIT, la reflection total interna puede ser “frustrada.” Reflexión total interna Reflexión total interna frustada n=1 n=1 n n n n Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF? Este efecto provee evidencia acerca de los “campos evanescentes”

27. ni y qi nt x qt El vector de onda k de la onda evanescente El vector de onda k de la onda evanescente tiene componentes x e y : Paralelo a la superficie: ktx = ksin(qt) Perpendicular a ésta: kty= k cos(qt) Usando la ley de Snell, sin(qt) = (ni /nt) sin(qi), así ktx tiene sentido. y nuevamente: cos(qt) = [1 – sin2(qt)]1/2 = [1 – (ni /nt)2 sin2(qi)]1/2 = ±ib Despreciando la solución sin sentido físico -ib, obtenemos: Et(x,y,t) = E0 exp[–kb y] exp i [ k (ni /nt) sin(qi) x – w t ] La onda evanescente decae exponencialmente en la dirección transversal.