Hyperbelen

1. Hyperbelen Omvendt proportionalitet Forskrift og udseende Symmetriakser Parallelforskudte hyperbler

2. Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

3. Et navn for funktionen (hvad den hedder) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

4. Et navn for funktionen (hvad den hedder) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

5. Et navn for funktionen (hvad den hedder) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

6. Et navn for funktionen (hvad den hedder) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

7. Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om… Hyperbelen

8. Hyperbelen eller… omvendt proportionalitet Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

9. Hyperbelen eller… omvendt proportionalitet a Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) y = En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) x Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

10. Hyperbelen eller… omvendt proportionalitet a y = x Hyperbelen Ved funktioner taler vi om…

11. Hyperbelen Begrebet proportionalitet

12. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Proportionalitet betyder ”overensstemmelse i forholdene”.

13. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Proportionalitet betyder ”overensstemmelse i forholdene”. Dvs, at… … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor

14. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Proportionalitet betyder ”overensstemmelse i forholdene”. Dvs, at… … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor Dette kaldes ligefrem proportionalitet

15. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Proportionalitet betyder ”overensstemmelse i forholdene”. Dvs, at… … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor Dette kaldes ligefrem proportionalitet … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor.

16. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Proportionalitet betyder ”overensstemmelse i forholdene”. Dvs, at… … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor Dette kaldes ligefrem proportionalitet … a og b er proportionale størrelser, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor. Dette kaldes omvendt proportionalitet

17. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet Omvendt proportionalitet

18. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Omvendt proportionalitet

19. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet

20. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet

21. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, bliver renten også dobbelt så stor (rentefod og rentebeløb er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet

22. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, bliver renten også dobbelt så stor (rentefod og rentebeløb er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet … a og b er omvendt proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor.

23. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, bliver renten også dobbelt så stor (rentefod og rentebeløb er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet … a og b er omvendt proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor. Eks.: Fordobles prisen på æbler, kan jeg købe halvt så mange æbler (mængde og enhedspris er omvendt proportionale)

24. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, bliver renten også dobbelt så stor (rentefod og rentebeløb er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet … a og b er omvendt proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor. Eks.: Fordobles prisen på æbler, kan jeg købe halvt så mange æbler (mængde og enhedspris er omvendt proportionale) Kører jeg dobbelt så hurtigt, tager turen halvt så lang tid (hastighed og transporttid er omvendt proportionale)

25. Hyperbelen Begrebet proportionalitet Ligefrem proportionalitet … a og b er ligefrem proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b også dobbelt så stor. Eks.: Køber jeg dobbelt så mange liter mælk, betaler jeg dobbelt så meget (mængde og samletpris er ligefrem proportionale) Cykler jeg dobbelt så hurtigt, kommer jeg dobbelt så mange kilometer frem (hastighed og afstand er ligefrem proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, bliver renten også dobbelt så stor (rentefod og rentebeløb er ligefrem proportionale) Omvendt proportionalitet … a og b er omvendt proportionale, hvis det forholder sig således, at når a bliver dobbelt så stor – så bliver b halvt så stor. Eks.: Fordobles prisen på æbler, kan jeg købe halvt så mange æbler (mængde og enhedspris er omvendt proportionale) Kører jeg dobbelt så hurtigt, tager turen halvt så lang tid (hastighed og transporttid er omvendt proportionale) Bliver rentefoden dobbelt så stor, skal kapitalen være halvt så stor, når rentebeløbet skal være det samme (rentefod og kapital er omvendt proportionale)

26. a y = x Hyperbelen Forskriften for en hyperbel: … af simpleste form (en omvendt proportionalitet): , hvor x ≠ 0 og a er en konstant

27. a a y = y = x x Hyperbelen Forskriften for en hyperbel: … af simpleste form (en omvendt proportionalitet): , hvor x ≠ 0 og a er en konstant Flytter man x over på den anden side af lighedstegnet, fås:

28. a a a y = y = y = x x x Hyperbelen Forskriften for en hyperbel: … af simpleste form (en omvendt proportionalitet): , hvor x ≠ 0 og a er en konstant Flytter man x over på den anden side af lighedstegnet, fås: y · x = a

29. a a a y = y = y = x x x Hyperbelen Forskriften for en hyperbel: … af simpleste form (en omvendt proportionalitet): , hvor x ≠ 0 og a er en konstant Flytter man x over på den anden side af lighedstegnet, fås: y · x = a Heraf ser man, at funktionens grafiske billede må bestå af punkter (x,y) – hvis produkt er a, den konstante faktor.

30. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 x y 6

31. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 x y 6 4

32. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 x y 3 6 4

33. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5

34. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5

35. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 … samt (ved negative værdier): -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5

36. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 … samt (ved negative værdier): -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5

37. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: Lad os se på de punkter, der bruges til at tegne hyperbelen… Kan tegnes ved følgende punkter, hvis x- og y-værdi multipliceret giver 6: 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 … samt (ved negative værdier): -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5

38. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 Hyperbelen Eksempel: Bemærk, at punkterne parvist er ”ens”: Når (x,y) er et punkt på hyperbelen, er (y,x) det også!

39. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 Hyperbelen Eksempel: Bemærk, at punkterne parvist er ”ens”: Når (x,y) er et punkt på hyperbelen, er (y,x) det også!

40. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 Hyperbelen Eksempel: Bemærk, at punkterne parvist er ”ens”: Når (x,y) er et punkt på hyperbelen, er (y,x) det også!

41. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 Hyperbelen Eksempel: Bemærk, at punkterne parvist er ”ens”: Når (x,y) er et punkt på hyperbelen, er (y,x) det også!

42. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 Hyperbelen Eksempel: Bemærk, at punkterne parvist er ”ens”: Når (x,y) er et punkt på hyperbelen, er (y,x) det også! Hyperbelen er altså symmetrisk! Og har derfor en symmetriakse.

43. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5 Hyperbelen Eksempel: Ikke nok med det! Når (x,y) og (y,x) er punkter på hyperbelen, ja så er (-x,-y) og (-y,-x) det også!

44. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5 Hyperbelen Eksempel: Ikke nok med det! Når (x,y) og (y,x) er punkter på hyperbelen, ja så er (-x,-y) og (-y,-x) det også!

45. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5 Hyperbelen Eksempel: Ikke nok med det! Når (x,y) og (y,x) er punkter på hyperbelen, ja så er (-x,-y) og (-y,-x) det også!

46. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5 Hyperbelen Eksempel: Ikke nok med det! Når (x,y) og (y,x) er punkter på hyperbelen, ja så er (-x,-y) og (-y,-x) det også!

47. 1 1,5 2 3 4 6 x y 3 2 1 6 4 1,5 -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 x y -3 -2 -1 -6 -4 -1,5 Hyperbelen Eksempel: Ikke nok med det! Når (x,y) og (y,x) er punkter på hyperbelen, ja så er (-x,-y) og (-y,-x) det også! Hyperbelen er altså dobbelt symmetrisk! Og der er da 2 symmetriakser!

48. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: … har altså 2 symmetriakser: … hvor (x,y) ~ (y,x) og hvor (x,y)~(-x,-y)

49. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: … har altså 2 symmetriakser: … hvor (x,y) ~ (y,x) og hvor (x,y)~(-x,-y)

50. , hvor x ≠ 0 6 y = x Hyperbelen Eksempel: … har altså 2 symmetriakser: … hvor (x,y) ~ (y,x) og hvor (x,y)~(-x,-y)