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統計学 11/19 （月）

統計学 11/19 （月）. 担当：鈴木智也. 講義の全体構成. 第１部　記述統計：データの特性を記述 第２部　確率論：推測統計への橋渡し 確率論入門 確率変数と確率分布　 主な確率分布　←ここ！ ☆中間試験はここまで 第３部　推測統計：データから全体像を推測. 主な確率分布. 二項分布（離散型） これが基本型。 ポアソン分布（離散型） 二項分布から導出できる。 正規分布（連続型） これも二項分布から導出できる。. 二項分布とは. ☆ 結果が二通り（例： S か F ）しかない実験 結果が S となる確率を p で表す。

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統計学 11/19 （月）

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Presentation Transcript

  1. 統計学11/19（月） 担当：鈴木智也

  2. 講義の全体構成 第１部　記述統計：データの特性を記述 第２部　確率論：推測統計への橋渡し 確率論入門 確率変数と確率分布　 主な確率分布　←ここ！ ☆中間試験はここまで 第３部　推測統計：データから全体像を推測

  3. 主な確率分布 • 二項分布（離散型） これが基本型。 • ポアソン分布（離散型） 二項分布から導出できる。 • 正規分布（連続型） これも二項分布から導出できる。

  4. 二項分布とは ☆結果が二通り（例：SかF）しかない実験 • 結果がSとなる確率をpで表す。 • 結果がFとなる確率は、q（=1－p）である。 • この実験をn回行い、結果がSとなる回数をXとする。 ⇒Xは確率変数であり、その分布は二項分布（n, p）に従う。

  5. 二項分布：例題 • 実験：じゃんけん • その結果 S＝勝つ F＝勝たない（負け、あいこ） • 勝つ確率：p＝1/3　勝たない確率：q=2/3 Q：３回のじゃんけんで1回勝つ確率は？ (n=3、x=1)

  6. 二項分布：例題の答え • ケースA：一回目に勝つ場合の確率 　 （1/3）×（2/3）×（2/3）=（1/3）×（2/3）2 • ケースB：二回目に勝つ場合の確率 （2/3）×（1/3）×（2/3）=（1/3）×（2/3）2 • ケースC：三回目に勝つ場合の確率 （2/3）×（2/3）×（1/3）=（1/3）×（2/3）2 注：A、B、Cは互いに排反。 ⇒３回中１回だけ勝つ確率は、3×（1/3）×（2/3）2。

  7. 二項分布の公式 • X＝xjという値を取る確率は P(xj)=nCxpxqn-x =for j=1,…,n. • nCxは、n 個のものから x 個のものを選び出す公式であり、 nCx = n!/{x!(n-x)!}。 • 注：n! は n の階乗であり、 n!=n×(n-1) ×(n-2) ×…×2×1である。

  8. 二項分布：期待値と分散 確率変数Xが二項分布に従う場合、 • 期待値：E(X)=np • 分散：V(X)=npq=np(1-p) （証明は省略） 例：３回のじゃんけんで勝つ回数の期待値は１回。

  9. 二項分布からポアソン分布へ ☆次のような例を考えよう。 • 不動産業界で大型契約が成立する確率は低い。→　p=0.001（=0.1%）とする。 • 1000人の顧客と商談を行った（ n=1000 ）ときに、5件の大型契約を成功させる確率はいくらか？ ⇒理論上は、ポアソン分布で計算できる。 P(X=5)=1000C5 0.0015 0.99995。

  10. 二項分布からポアソン分布へ② • しかし、現実には計算が煩雑すぎる。 （1000C5がいくつになるか試算してみよ。） • この例のように、n→∞、p→0の場合、 np→m（定数） なら、二項分布はポアソン分布で近似する。 注：“A→B”は「Aの値がBに近づく」と読む。

  11. ポアソン分布の公式 二項分布において、n→∞、p→0の場合、 X＝xjの確率は P(xj)=(mxe-m)/x! で近似的に計算できる。 （注）なお、eは指数であり、m= npである。

  12. ポアソン分布：期待値と分散 • 確率変数Xがポアソン分布に従う場合、 • 期待値：E(X)=m • 分散：V(X)=m 証明：二項分布の場合、期待値がnpであることから、ポアソン分布での期待値はmとなる。分散も同様に証明できる。

  13. 正規分布 • 連続型の確率分布で中心となるのが「正規分布（Normal Distribution)である。 • 正規分布は、期待値μを挟んで左右対称で、釣鐘型（教科書P.163の図）。 ☆特徴：期待値μと分散σ2が分れば、正規分布の形状は把握できる。

  14. 標準正規分布 • 確率変数Xが、期待値μで分散σ2の正規分布に従うとする。 X～N（μ，σ2） • このとき、Xは次のように「標準化」できる。 Z=（X－μ）/σ～ N（0，1） • 期待値0で分散が1の正規分布を「標準正規分布」（←この分布は頻出）と呼ぶ。

  15. 標準正規分布N（0，1）の性質 • どのような正規分布であっても、前頁の式によって、 N（0，1）に変換できる。 　⇒　N（0，1）の性質を調べればよい。 • Z～ N（0，1）のとき、確率変数 Z が z という値を取る確率を P で表すと、 P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95 P(z >1.96) =0.025, P(z<-1.96) =0.025 であることが知られている。

  16. 正規分布と二項分布の関係 ☆二項分布 Bi（n,p）で • n→∞, p→0のとき、二項分布は ポアソン分布で近似できる。 • n→∞で、 pが小さくないとき、二項分布は 正規分布で近似できる。

  17. 第3部にむけて 　第３部で習う重要なことがらは、「ｔ‐検定」であり、それを理論的に支えるのが「中心極限定理」と「ｔ‐分布」である。 ①中心極限定理で「正規分布」を使う。 ②また、その正規分布は「標準正規分布」に変換された後、ｔ‐分布で近似される。

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