THEOREME DE PYTHAGORE

1. Chapitre 03-PY • THEOREME DE PYTHAGORE I - TRIANGLE RECTANGLE (rappel) II – CONJECTURE III- LE THEOREME IV– UNE VARIANTE V - LA RECIPROQUE VI - RECAPITULATIF VII – EXERCICES VIII-DEMO et COMPLEMENTS Merci à Frank Leterc pour ses cours dont je me suis inspiré Bernard Izard 4° Avon 2010

2. Pythagore de Samos (569 av-JC à 475 av-JC) Il a fondé l’école pythagoricienne Les égyptiens utilisaient la corde à 13 nœuds pour les murs perpendiculaires Pythagore a découvert les secrets de l'harmonie et inventer la gamme musicale qui porte son nom

3. A B C I TRIANGLE RECTANGLE Un triangle est rectangle quand il a un angle droit ABC est un triangle rectangle en A. BÂCest l’angle droit (90°). [BC] est l’hypoténuse. [AB] et [AC] sont les cotés de l’angle droit. < 90° De somme 90° B et C sont des angles aigus complémentaires

4. II- CONJECTURE C A B Construire un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 7 cm et AC = 4 cm (avec le compas). [BC] est l’hypoténuse Mesurer la longueur BC : BC  8 cm Calculer AB2 + AC2 Calculer BC2 AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2 BC2 64 cm2 Remarque BC2 AB2 + AC2 Cette égalité semble être vérifiée dans tous les triangles rectangles. Mais pour être sûr il faut ladémontrer

5. III-LE THEOREME A B C Si un triangle est rectangle, alors le carré (de la longueur) de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés. Autrement dit : Si un triangle ABC est rectangle en A,alors AB² + AC² = BC² Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un des trois côtés dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres. Démonstration à la fin chapitre VIII

6. C 3 cm A 4 cm B Exemple1:Calcul de la longueur de l’hypoténuse ABC est un triangle rectangle en A avec AC = 3cm et AB = 4cm. Calculer BC, [BC] est l’hypothénuse ? Toujours repérer l’hypoténuse D’’après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AC² + AB² BC² = 3² + 4² BC² = 9 + 16 BC² = 25 en tapant avec la calculatrice BC = Donc BC = 5 cm.

7. G 10,3 cm 5,4 cm E F Exemple2:Calcul de la longueur d’un des côtés de l’angle droit Ex:EFG est un triangle rectangle en E tel que GE = 5,4 cm et GF = 10,3 cm. Calculer EF. [GF] est l’hypoténuse mais on cherche EF. d’après le théorème de Pythagore, on a : ? GF² = GE² + EF² EF² = GF² - GE² Attention dans ce cas il y a un signe – car [EF] n’est pas l’hypoténuse EF² = 10,3² - 5,4² EF² = 106,09 - 29,16 EF² = 106,09 - 29,16 EF² = 76,93 EF = Donc EF 8,8 cm.

8. IV- VARIANTE (CONTRAPOSEE) Si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée alors le triangle ne peut pas être rectangle car s’il l’était,d’après le théorème, l’égalité devrait être vérifiée. D’ou cette conséquence du théorème: Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle. La variante sert à montrer q’un triangle n’est pas rectangle, connaissant ses 3 côtés. Ex: Le triangle PIF tel que PI = 30 cm , IF = 16 cm et PF = 35 cm . Montrer que ce n’est pas un triangle rectangle.

9. [PF] est le plus grand côté. Comparons D’une partD’autre part PF² = 35² PI² + IF² = 30² + 16² PF² = 1225 PI² + IF² = 900 +256 PI² + IF² =1156 On remarque que PF² = PI² + IF² Le triangle n’est pas rectangle d’après la variante du théorème de Pythagore Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.

10. V- RECIPROQUE La réciproque du théorème est vraie La réciproque est le théorème à l’envers Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse. La réciproque sert à montrer q’un triangle est rectangle connaissant ses 3 côtés. Ex: Le triangle CAR tel que CA = 108 cm , AR = 45 cm et CR = 117 cm .Montrer que c’est un triangle rectangle.

11. [CR] est le plus grand côté. Comparons D’une partD’autre part CR² = 117² CA² + AR² = 108² + 45² CR² = 13689 CA² + AR² =11664 + 2025 CA² + AR² = 13689 On remarque que CR² = CA² + AR² Ce qui prouve que le triangle CAR est rectangle en A d’après la réciproque du Théorème de Pythagore « Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse.   »

12. VI-RECAPITULATIF Utilisation du Théorème

13. . . On veut savoir si le triangle est rectangle Exemple : ABC triangle tel que AB = 8 cm , AC = 7 cm et BC = 10 cm. Est - il rectangle ? AB² + AC² =64 + 49 BC ² = 100 AB² + AC² = 113 On remarque que BC² = AB² + AC² théorème de Pythagore Ce qui prouve d’après le ( n’est pas rectangle sa co ntraposée ou variante) que le triangle . « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n ’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.. » On veut savoir si le triangle est rectangle Exemple: ABC triangle tel que AB = 8 cm , AC = 6 cm et BC = 10 cm. Est - il rectangle ? Comparons: Le plus grand côté est [BC]. BC² AB² + AC² et BC² = 10² AB² + AC² = 8² + 6² BC² = 100 AB² + AC² =64 + 36 BC ² = 100 AB² + AC² = 100 = On remarque que BC² AB² + AC² réciproque du théorème de Pyth agore Ce qui prouve d’après la est rectangle en A que le triangle « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse. » Les 3 formes de rédaction LES 3 UTILISATIONS DE PYTHAGORE Comparons: Le plus grand côté est [BC]. BC² AB² + AC² et On sait que le triangle est rectangle. On peut calculer un 3°côté . BC² = 10² AB² + AC² = 8² + 7² BC² = 100 Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 c m et AC = 6 cm. Calculer BC. l’Hypoténuse. L e triangle étant rectangle en A, [BC] est Théorème de Pythagore Utilisons le : « Si un triangle est re c- tangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à » la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés . BC ² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² BC² = 64 + 36 BC ² = 100 V BC = 100 BC = 10 BC = 10 cm

14. VII EXERCICES

15. Ex1: A 12 cm 5 cm C B 13 cm ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13cm. Démontrer que ABC est un triangle rectangle. On repère le plus grand côté [BC] D’une part : D’autre part : AB² + AC² = 5² + 12² BC² = 13² AB² + AC² = 25 + 144 AB² + AC² = 169 BC² = 169 On remarque que BC²= AB² + AC², Ce qui prouve que le triangle est rectangle en A d’après la réciproque du théorème de Pythagore,

16. N 8 cm 4 cm P M 9 cm Ex2: MNP est un triangle tel que MN = 4 cm, NP = 8 cm et PM = 9 cm. MNP est-il un triangle rectangle ? On repère le plus grand côté [PM] Comparons D’autre part : D’une part : PN² + NM² = 8² + 4² PM² = 9² PN² + NM² = 64 + 16 PN² + NM² = 80 PM²= 81 On remarque que PN² + NM² PM² Ce qui prouve que le triangle n’est pas rectangle d’après une conséquence du th. De Pythagore (La contraposée)

17. VIII- DEMONSTRATION Pythagore ……une démonstration Merci à Michel SEMARIA pour cette belle animation

18. Voici un carré de 7 carreaux sur 7 carreaux

19. Et un triangle rectangle dont la longueur des côtés est « a » et « b » et l’hypoténuse « c »

20. On place un premier triangle rectangle de côtés a et b et d’hypoténuse c

21. Puis 3 autres triangles identiques

24. Examinons maintenant le schéma: Nous avons placé 4 petits triangles rectangles bleus dans le grand carré Il reste une zone verte D’un seul bloc au centre Il est facile de déterminer L’aire de cette zone

25. Cette aire est: cxc = c2 c 2 c2 c2

26. Nous allons maintenant placer les 4 triangles autrement.

49. AVANT APRES a2 C2 b2 Le carré vert d’aire C2 est maintenant « coupé » en deux carrés a2 b2 Dont les aires sont: et

50. a2 c2 b2 Observons maintenant les parties vertes: c2 On peut écrire…. =