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第十四章 静定结构的位移计算

第十四章 静定结构的位移计算. 14 ． 1 概 述. 一、结构位移的定义. 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。. 二、位移的分类. 线位移：截面形心的直线移动距离. 位移. 角位移：截面的转角. 绝对位移. 位移. 广义位移. 相对位移. 三、刚架的位移举例. A 点的线位移. 水平线位移. 竖向线位移. 截面 A 的角位移. C 、 D 两点的水平相对线位移. D ) H. C +. (. =. D.

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第十四章 静定结构的位移计算

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  1. 第十四章 静定结构的位移计算

  2. 14．1 概 述 一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。 二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离 位移 角位移：截面的转角

  3. 绝对位移 位移 广义位移 相对位移 三、刚架的位移举例 A 点的线位移 水平线位移 竖向线位移 截面A 的角位移

  4. C、D 两点的水平相对线位移 D)H C + ( = D A、B两个截面的相对转角 AB= A+ B

  5. 四、引起位移的原因 一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、制造误差等

  6. 五、 计算位移的目的 有以下三个方面： 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。 3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。

  7. 14.2 虚功原理和单位荷载法 一、变形体的虚功原理 功： 力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度 实功 ： 力在自身引起的位移上所作的功 力Fp1在位移 14上作的实功 14 W14= FP1 14 当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1 14由0增加至 14

  8. 虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移 12上作了功，为虚功，大小为 W12=FP1 12

  9. 在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状态。 当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。

  10. 根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。 虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。

  11. 二、 单位荷载法 1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式

  12. K+ RiCi= d + N + Q 式中， =1 则 — K= d + N + Q RiCi 经进一步推导，可得

  13. E弹性模量； G剪切模量； A横截面积； I截面惯性矩； k 截面形状系数。如：对矩形截面 k=6/5;圆形截面k=10/9。 式中：

  14. 14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移 ＝0，位移公式则为 Ci

  15. 对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为 ＋ 弯矩的影响 剪力的影响 曲率的影响 轴力的影响

  16. 图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载FP作用下的竖向线位移 由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：

  17. 设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结果为 = 中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比 M: Q : r = 1200 : 1 : 3 : 2 N :

  18. 二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式 （1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度

  19. （2）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式

  20. （3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项 （4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计

  21. 三、虚拟状态的选取 欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶

  22. 3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶

  23. 5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d ，每一力的大小为1/d

  24. 力和力偶统称为广义力， 单位广义力用 =1表示 线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反

  25. 四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为 （1）设虚拟状态； （2）计算 ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。 • 例14-1图示桁架各杆的EA相等，求C 结点的竖向位移 vc

  26. 解: （1）设虚拟状态（如上图b所示） N和FNP（标于上图 b.a） （2）计算

  27. （3）代公式求C点的竖向位移

  28. 例14-2图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位cm2）。许可挠度与跨长的比值例14-2图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位cm2）。许可挠度与跨长的比值 ，试校核桁架的刚度。

  29. 解 对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。 须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。 1）建立虚拟状态（如图b 所示） 2）计算 N和FNP，并标于图b、a 上 3）求3点的竖向位移，进行刚度校核

  30. 计算半个桁架的 ，列表如下: 杆件 编号 /mm A/mm2 /(1/mm) FNP/N N 上弦 6-7 6000 10000 0.6 -750000 -0.75 337500 下弦 1-3 12000 10000 1.2 +600000 +0.375 270000 斜杆 1-6 10000 12500 0.8 -1000000 -0.625 500000 斜杆 3-6 10000 5000 2 250000 +0.625 312500 竖杆 2-6 0 0 竖杆 3-7 0 0 1420000

  31. 根据上表，得 < 所以，桁架满足刚度条件

  32. 五、梁的位移及刚度校核 1、 梁的位移 挠度： 横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w表示， 规定w向下为正。 转角： 横截面的角位移 ，规定顺时针转为正

  33. 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表14.1所示），可供计算时查用。在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表14.1所示），可供计算时查用。 表14.1 梁的挠度与转角公式 荷载类型 转角 最大挠度 1.悬臂梁 　 集中荷载作用在自由端 2.悬臂梁　　 弯曲力偶作用在自由端

  34. 续表 3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上 4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上 时 时 －

  35. 续表 5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上 - 6简支梁　弯曲力偶作用在梁的一端 - （在 处）

  36. 2．梁的刚度校核 梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比 为标准 在工程上，吊车梁的 ＝ 1/600 铁路钢桁梁的 ＝ 1/900 梁的刚度条件为:

  37. 例14-3图示简支梁由工字钢制成， 跨度中点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度 =3m ，许用应力 =160MPa，许用挠度[w]= /500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢的型号。

  38. 解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为： ＝ 按弯曲正应力强度条件选截面

  39. 查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4 （2）校核梁的刚度 =4.75mm<[ ]= 梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢

  40. 3、提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施： • 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I 。

  41. （2）减小梁的跨度L 梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值： ①增加中间支座 而

  42. ②两端支座内移

  43. 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生 的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中 的最大挠度值。

  44. (3) 改善荷载的作用情况 在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。

  45. 14.4　图乘法 一、图乘法原理 1、图乘法的适用条件： （1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数 直梁和刚架的位移公式则为 （3） MP图和 图中至少有一个直线图形

  46. ２．图乘法原理

  47. 图乘法求位移的一般表达式为 注意： [1]. 应取自直线图中 [2].若 与 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值 [3]. 如图形较复杂，可分解为简单图形.

  48. 3.图乘法的步骤: (1).设虚拟状态； (2).画 图； 图、 (3).图乘求位移

  49. 下面介绍几个规则图形的面积和形心位置

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