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方差分析

8. 方差分析. 内容. §8.1 单因素试验的方差分析. §8.2 双因素试验的方差分析（一）. 学习目标. 因素，单因素试验（双因素试验），水 平，方差分析，总平均值，随机误差， 总离差平方和，误差平方和，单因素方 差分析的方法. §8.1 单因素试验的方差分析 ( Analysis of Variance ). 1. 单因素试验及有关的基本概念. 在试验中，有可能影响试验指标并且有可 能加以控制的试验条件称为 因素 。通过试 验的设计，在试验中只安排一个因素有所 变化、取不同的状态或水平，而其余的因 素都在设计的状态或水平下保持不变的试

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Presentation Transcript

  1. 8 方差分析

  2. 内容 §8.1 单因素试验的方差分析 §8.2 双因素试验的方差分析（一）

  3. 学习目标 因素，单因素试验（双因素试验），水 平，方差分析，总平均值，随机误差， 总离差平方和，误差平方和，单因素方 差分析的方法.

  4. §8.1 单因素试验的方差分析 (Analysis of Variance) 1. 单因素试验及有关的基本概念 在试验中，有可能影响试验指标并且有可 能加以控制的试验条件称为因素。通过试 验的设计，在试验中只安排一个因素有所 变化、取不同的状态或水平，而其余的因 素都在设计的状态或水平下保持不变的试 验称为单因素试验。

  5. 反 应 时 间 ∑ 报警器型号 26.4 5.28 5.2 6.3 4.9 3.2 6.8 A1(甲型) 6.56 7.4 8.1 5.9 6.5 4.9 A2(乙型) 32.8 31.5 6.30 3.9 6.4 7.9 9.2 4.1 A3(丙型) 12.3 9.4 7.8 10.8 8.5 A4(丁型) 48.8 9.76 例 某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒），今将每种型号的5种报警器安装在同一条烟道中，当烟道均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下

  6. 试问（1）各种型号报警器的反应时间有无显 著差异？ （2）如果各种型号报警器的反应时间有显著 差异，那么何种最优？ 分析： 因素是报警器的型号，记作A; 在方差分析中我们主要希望解决下面两个 问题： （1）因素对指标有无显著影响？（2）若因素有显著影响，取何种水平时指标值最优？

  7. 可设单因素试验的因素为A，共有A1、A2、 …、Ar等r个水平、分别安排了n1、n2、…、 nr次重复试验，其中的第i个水平Ai安排了ni 次重复试验，所得到的样本为Xi1、Xi2、…、 Xini，相应的观测值为xi1、xi2、…、xini，式中 的n1+n2+…+nr= n。 水平 观测值 A1x11x12 …x1n1 A2x21x22 …x2n2 …… Arxr1xr2 …xrnr

  8. 在单因素试验中，假设有r个编号为i＝1至 r的正态总体，它们分别服从N(μi,σ2)分布，

  9. 当μi及σ2未知时，要根据取自这r个正态总 体的r个相互独立且方差相同的样本检验原 假设H0：各μi(i=1至r)相等，所作的检验以 及对未知参数的估计称为方差分析。 在上述关于r个正态总体的各样本相互独 立且方差相同的三项假定之下若规定： μ称为总平均值,

  10. αi称为因素A的水平Ai的效应, 各个εij称为随机误差，它们相互独立且都 服从N(0,σ2)分布，原假设H0则等价于各 αi(i=1至r)=0。

  11. 2. 总离均差平方和的分解

  12. 式中的SST反映全部数据之间的差异，称 为总离均差平方和；SSE反映各个样本的 数据与样本均值之间的差异，是由各种随机 因素所引起的，称为误差平方和；SSA反映 各个样本均值之间的差异，即由于因素A的 不同水平所引起的系统误差，称为因素A的 效应平方和或组间平方和。

  13. 结论1）SST=SSE+SSA；

  14. 结论2） 结论3）当H0为真时， 结论4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立；

  15. 结论5）当H0为真时，

  16. 3. 总体中未知参数的估计 为单因素试验的方差分析的数学模型的估 计式，

  17. 为效应分解的估计式。 ⑷ 当拒绝原假设H0且u≠v时，均值差μu-μv 的双侧1-α置信区间可表示为

  18. 4. 单因素试验的方差分析的步骤

  19. (5) 列出方差分析表：

  20. 方差来源 平方和 自由度 均方和 F值 显著性 因素A SSA r-1 MSA F 误差 SSE n-r MSE 总和 SST n-1

  21. ⑹ 写出假设检验的结论。

  22. 处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26 例1.1《切胚乳试验》用小麦种子进行切胚 乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较 为一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟 后测量每株粒重(单位：g)，得到数据如下：

  23. 试作方差分析，估计各个总体的未知参数μi 和μ，如有必要，试求出两两总体均值差的 双侧0.95置信区间。 解：设H0为各个未知参数μi相等，也就是 各个处理之间没有显著的差异。

  24. 处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 总和 ni Ti. 8 204 25.50 5272 10 244 24.40 6074 6 146 24.33 3586 24 594 14932

  25. ⑵ 计算校正数

  26. 自由度 2 21 23 均方和 3.39 10.65 显著性 N 方差来源 A 误差 总和 平方和 6.77 223.73 230.50 F值 0.32 ⑶计算r-1=2，n-r=21，MSA=3.39， MSE=10.65，F=0.32； ⑷ 给出α=0.05，查表得到分位数 F0.95(2,21)=3.49； ⑸ 列出方差分析表：

  27. 因此接受H0，认为各个未知参数μi相等， 认为各个处理之间没有显著的差异。 所求的未知参数μi和μ的估计为： 又因为各个处理之间没有显著的差异， 也就没有必要求两两总体均值差的双侧 0.95置信区间。

  28. 处理 1 2 3 4 苗 高 19, 23, 21, 13 21, 24, 27, 20 20, 18, 19, 15 22, 25, 27, 22 例1.2《药剂处理》用4种不同的药剂处 理水稻种子，发芽后观测到苗高(单位： cm)如下：

  29. 试作方差分析，估计各个总体的未知参数μi 和μ，如有必要，试求出两两总体均值差的 双侧0.95置信区间。 解：设H0为各个未知参数μi相等，也就是 各个处理的苗高之间没有显著的差异。

  30. 处理 1 2 3 4 总和 • ni Ti. • 4 76 19 1500 • 4 92 23 2146 • 72 18 1310 • 4 96 24 2322 • 16 336 7278

  31. ⑵ 计算校正数

  32. 自由度 3 12 15 均方和 34.67 9.83 显著性 * 方差来源 A 误差 总和 平方和 104 118 222 F值 3.53 ⑶计算r-1=3，n-r=12，MSA=34.67， MSE=9.83，F=3.53； ⑷ 给出α=0.05，查表得到分位数 F0.95(3,12)=3.49； ⑸ 列出方差分析表：

  33. 因此拒绝H0，认为各个未知参数μi不相等， 认为各个处理的苗高之间有显著的差异。 所求的未知参数μi和μ的估计为： 根据以上结论，有必要求两两总体均值差 的双侧0.95置信区间，为此先由α=0.05查 表得到t 0.975 (12)=2.18，由nu=nv=4及上述 MSE计算得到

  34. 两两总体均值差的双侧0.95置信区间如下：

  35. 样本均 值差 双侧 0.95 置信区间 样本均 值差 双侧 0.95 置信区间

  36. 例 本章开始的例子中， 由所给数据得

  37. 自由度 3 16 19 均方和 18.76 3.05 显著性 ** 方差来源 A 误差 总和 平方和 56.29 48.77 105.06 F值 6.15 列出方差分析表： 查表得：F0.05(3,16)=3.24,F0.01(3,16)=5.29. 4种型号的报警器的反应时间的确有显著差异

  38. 回答第二个问题：比较各均值可以发现，反 应时间较短的是甲、乙两种型号.在α=0.05 下检验 统计量

  39. 当 时拒绝H0 计算得t=-0.92, 查表得 –t0.95(16)=-1.746<-0.92 因此，不能拒绝H0，即不能认为甲型警报器显著的优与丙型警报器.

  40. 5. 组间平均数的新复极差检验和Q检验法 多组之间均值差的检验又称为多重比较。 方法不止一种，以下介绍最小显著极差法， 记号是LSR。这种方法的特点是不同的组 间均值采取不同的显著差数标准进行比较， 所查的临界值表，可以是新复极差检验临 界值表，也可以是Q检验临界值表。因此， 最小显著极差法又有新复极差(或Duncan) 检验法和Q检验法之分。

  41. §8.2 双因素试验的方差分析 1. 双因素试验及有关的基本概念 在试验中只安排两个因素有所变化，取 不同的状态或水平，而其余的因素都在设计 的状态或水平下保持不变的试验称为双因素 试验。

  42. A与B共有rs个水平组合(Ai,Bj),对每一对组合 (Ai,Bj) 只进行一次试验，共有rs个试验结果( 观测值) Xij,如下表 A/B B1 B2… Bs A1x11x12 …x1s A2x21x22 …x2s …… Arxr1xr2 …xrs 仍然保持单因素方差分析中的基本假设，即 Xij服从N(μi,σ2)分布，各Xij相互独立。

  43. 当μij及σ2未知时，要根据取自这rs个正态总 体的rs个相互独立且方差相同的样本检验原 假设 H01：各μi·(i=1至r)相等， H01：各μ·j(j=1至s)相等。 式中

  44. 在上述关于rs个正态总体的各样本相互独 立且方差相同的三项假定之下若规定： μ称为总平均值,

  45. 各个εij称为随机误差，它们相互独立且都 服从N(0,σ2)分布，原假设H01和H02则等价于 各αi(i=1至r)=0，βj(j=1至s)=0 。

  46. 2. 总离均差平方和的分解

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