Otras derivadas
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OTRAS DERIVADAS. Bloque III * Tema 126. Derivadas Potenciales. f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 Sea y = x 7 y’=7. x 6 Sea y = 4x 27 y’=4.27. x 26 = 108.x 26 Sea y = 1 / x y=x -1  y’=-1.x -2 = -1 / x 2

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OTRAS DERIVADAS

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Otras derivadas

OTRAS DERIVADAS

Bloque III * Tema 126

Matemáticas Accso a CFGS


Derivadas potenciales

Derivadas Potenciales

  • f (x) = x n f ‘ (x) = n. x n – 1

  • Sea y = x7y’=7. x6

  • Sea y = 4x27y’=4.27. x26 = 108.x26

  • Sea y = 1 / xy=x-1  y’=-1.x -2 = -1 / x2

  • Sea y = 2 / x5y=2.x-5  y’=-10.x -6 = -10 / x6

  • Sea y = - 3 / x11y=- 3.x-11  y’= 33.x -12 = 33 / x12

  • 3

  • Sea y = √x7 y=x7/3y’=7/3. x7/3 – 1 = 7/3.x4/3

  • 5

  • Sea y = 3 √4x3 y=3.41/5.x3/5y’=3.41/5.3/5. x3/5 – 1

Matemáticas Accso a CFGS


Derivadas exponenciales

Derivadas Exponenciales

  • Sea y = ex la llamada función exponencial.

  • Aplicando la definición de derivada:

  • y’ = ex

  • La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial.

  • Sea y = ax , para a > 0 y a <> 1.

  • Haciendo un cambio de base:

  • y = ax ln y = x. lna  y = ex.lna

  • Aplicando la Regla de la cadena:

  • y’ = ln a. ax

  • Sea y = af(x) , para a > 0 y a <> 1.

  • Haciendo un cambio de base:

  • y = ef(x).lna

  • Aplicando la Regla de la cadena:

  • y’ = ln a. f’(x) . af(x)

Matemáticas Accso a CFGS


Ejemplos

EJEMPLOS

Matemáticas Accso a CFGS


Ejemplos1

EJEMPLOS

Matemáticas Accso a CFGS


Derivadas logar tmicas

Derivadas Logarítmicas

  • Sea y = ln x

  • Aplicando la definición de derivada:

  • f ’(x) = 1 / x

  • Sea f(x) = log x

  • Se procede a un cambio de base:

  • 10y = x  ln10y = lnx  y ln10 = Ln x  y = ln x / ln 10

  • Queda: 1

  • f ‘(x) = ----------

  • x.ln10

  • Sea f(x) = loga x

  • Se procede a un cambio de base:

  • ay = x  ln ay = ln x  y.lna = Ln x  y = ln x / ln a

  • Derivando: 1

  • y ' = ---------

  • x. ln a

Matemáticas Accso a CFGS


Otras derivadas

  • Sea f(x) = log x

  • Se procede a un cambio de base: y = ln x / ln 10

  • Derivando queda: 1

  • f ‘(x) = ----------

  • x.ln10

  • Sea f(x) = loga x

  • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda:

  • 1

  • y ' = ---------

  • x. ln a

  • Sea f(x) = ln g(x)

  • Aplicando la regla de la cadena: 1 g‘(x)

  • f ‘(x) = ------ . g ’(x) = ----------

  • g(x) g(x)

  • Sea f(x) = log g(x) o f(x) = loga g(x)

  • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda:

  • 1 g‘(x) 1 g‘(x)

  • y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ----------

  • ln 10 g(x) ln a g(x)

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Ejemplos2

Ejemplos

  • y = ln (x – 2.x3)  y’ = (1 – 6.x2) / ( x – 2.x3)

  • y = ln (x3 + ex)y’ = (3.x2 + ex) / (x3 + ex)

  • y = log (x . e-x)y’ = [e-x + x .(- e-x)] / (x . e-x).ln10

  • y = ln (x2.(3x – 2))y’ = (2x.(3x – 2) + x2.3) / (x2.(3x – 2))

  • y = log5 (x3.3x)y’ = (3x2.3x + x3.3x.ln3) / (x3.3x).ln5

  • y = ln [(x2 – 3) / x ]y’ = [2x.x – (x2 – 3)] / x2. [(x2 – 3) / x ]

  • = [x2 + 3] / [(x4 – 3x2) / x] = (x3+3x)/(x4 – 3x2) = (x2 + 3) / (x3 – 3.x)

  • y = (x – 1). ln xy’ = ln x + (x – 1) / x

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Derivadas mixtas

Derivadas mixtas

  • g(x)

  • Sea y = f (x) , función POTENCIAL-EXPONENCIAL

  • Tomando logaritmos neperianos:

  • ln y = g(x). ln f(x)

  • Derivamos ambos lados de la igualdad:

  • y ‘ / y = [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )] 

  • y ‘ = y . [ … ] 

  • g(x)

  • y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ]

  • Nota: Dada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales.

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Ejemplos3

Ejemplos

  • y = x3 – xln y = (3 – x).ln x

  • y’ / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ] y’ = y.[…]

  • y = (ln x)x ln y = x.ln(ln x)

  • y’ / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ] y’ = y.[…]

  • y = (x2 – 3.x) 2.x – 1 ln y = (2.x – 1).ln (x2 – 3.x)

  • y’ / y = [ 2. ln (x2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x2 – 3.x) ]  y’ = y.[…]

  • y = (x – 1) ln xln y = ln x . ln (x – 1)

  • y’ / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ]  y’ = y.[…]

  • y = (√x) 3x + 5 ln y = (3.x + 5).ln √x 

  • y’ / y = [ 3. ln √x + (3.x + 5).(1 / 2√x) / √x]  y’ = y.[…]

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Derivadas trigonom tricas

Derivadas Trigonométricas

  • Sea f(x) = sen x

  • f ‘ (x) = cos x

  • Sea f(x) = cos x

  • f ‘ (x) = - sen x

  • Sea f(x) = tg x

  • f ‘ (x) = 1 / cos2 x

  • Sea f(x) = arcsen x

  • f ’(x) = 1 / √(1 - x2)

  • Sea f(x) = arccos x

  • f ’(x) = – 1 / √(1 - x2)

  • Sea f(x) = arctg x

  • f ’(x) = 1 / (x2 + 1)

  • Sea f(x) = sen g(x), f(x) = cos g(x), f(x) = tg g(x), etc.

  • Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas.

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Ejemplos4

Ejemplos

  • y = sen x2 y ‘ = cos x2 . 2x

  • y = cos x3 y ‘ = - sen x3 . 3x2

  • y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x

  • y = log cos x y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10

  • y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x)

  • y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x

  • y = cos5 x3 y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2

  • y = √sen x y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos

  • Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de:

  • y = arcsen x2 y ‘ =

  • y = arccos x3 y ‘ =

  • y = ln arcsen x  y ‘ =

  • y = log arctg x y ‘ =

  • y = arctg ex y ‘ =

  • y = arcsen3 x  y ‘ =

  • y = arccos5 x3 y ‘ =

  • y = √arcsen ex y ‘ =

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