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開南大學公管所與國企所合開選修課 課程名稱：量化分析與應用 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型

開南大學公管所與國企所合開選修課 課程名稱：量化分析與應用 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型 參考書目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics . New York: John Wiley & Sons 日期： 2011 年 5 月 17 日. 隨機解釋變數. SR5 ： X 並非隨機變數，並且至少要有兩個不一樣的值。 放寬 X 不是隨機變數的假設：資料是來自於控制實驗。

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開南大學公管所與國企所合開選修課 課程名稱：量化分析與應用 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型

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  1. 開南大學公管所與國企所合開選修課 課程名稱：量化分析與應用 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型 參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：2011年5月17日 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  2. 隨機解釋變數 • SR5：X並非隨機變數，並且至少要有兩個不一樣的值。 • 放寬X不是隨機變數的假設：資料是來自於控制實驗。 • X是隨機的，並且與誤差項e相關。 • E(e X)=0 表示： • 1.沒有遺漏重要變數。 • 2.使用正確的函數形式。 • 3. 沒有會使得誤差項與X相關的因素存在。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  3. 但是，第三點不太可能是直覺性的。 • 若X與e有相關，則Cov(X,e)≠0，且可以說E(e X)≠0。 • 若X是隨機，只要資料取自於隨機樣本，並且其他的一般假設成立，則迴歸方法是不需要改變的。 • 當T ∞時，所有機率會集中到β2附近。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  4. A13.3* E(e)=0且Cov(X,e)=0 • 在A13.3的假設之下，當T ∞時，最小平方估計式會趨近於真正的值。 • 在假設A13.1~A13.5.，A13.3*之下，當T ∞時，最小平方估計式會趨近於常態分配。 • 若Cov(x,e)≠0 X與e是相關的，則最小平方估計式在大樣本中不會是一致的。 因此，最小平方估計式並不適用。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  5. 迴歸方程式的誤差衡量 • 數種情況之下，最小平方估計式會不適用，因為解釋變數與誤差項之間有相關性。 • 變數中包含誤差 誤差衡量。 • Yt=β0+β1Xt*+Vt Xt*無法得知 • Xt=Xt*+ut Xt是隨機變數 • Yt=β0+β1(Xt-ut)+Vt=β0+β1Xt+et • et=Vt-β2ut 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  6. 則Cov(Xt,et)=E(Xt,et) =E[(X*+ut)(Vt-β2ut)] =E(-β2ut2) =-β2σu2≠0 • 所以最小平方估計式有誤差且不一致。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  7. 工具變數估計的實證例子 • 與X相關，但與誤差項不相關。 • 兩階段最小平方值估計： • 1.將X對常數項Z、W跑迴歸，便會得到預測值 。 • 2.用 作為X的工具變數。 • 當 • 1.將X對常數項Z、W跑迴歸，便會得到預測值 。 • 2.簡單線性迴歸普通最小平方式的估計。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  8. 檢定解釋變數和誤差項之間的相關性 • 虛無假設H0：Cov(X,e)=0 • 對立假設H1：Cov(X,e)≠0 • 若H0為真，最小平方估計式與工具變數估計式一致。當T ∞， 即q(bols- ) 0 。 • 若虛無假設不為真，最小平方估計式並不一致；工具變數估計式是一致的。當T ∞，即q(bols- ) C≠0。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  9. Hausman檢定 • 使Zt1和Zt2為X的工具變數。 • Xt=a0+a1Zt1+a2Zt2+Vt • H0：δ=0 X與e不相關 • H1：δ≠0 X與e相關 • 若有兩個δ，δ1、δ2，則H0：δ1= δ2=0；H1：Otherwise。 F檢定！ 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  10. 時間落差分配模型 • 會造成經濟變數改變的經濟決策會持續很長的一段時間。例如：貨幣及財政政策。 • Yt=f(Xt,Xt+1,Xt+2,…) • 我們必須知道有多少政策的改變會發生在時間的改變。有多少改變會發生在一個月之後，有多少改變將會發生在兩個月之後。 • 有個問題是，我們必須知道要回朔到多久以前？或是時間分配落差的長度。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  11. 有限的模型 • Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+…+βnXt-n+et • t=n+1,…,T • 假設E(et)=0，Var(et)=σ2，Cov(et,es)=0 • 觀察值：T-n個 • α：截距項 • βi：時間落差分配權數 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  12. βi反映出衡量在其他事情保持不變之下，過去撥款變數ΔXt-i對當期預期支出E(Yt)的影響。βi反映出衡量在其他事情保持不變之下，過去撥款變數ΔXt-i對當期預期支出E(Yt)的影響。 • 若et具有一般性，則可以用最小平方式估計。 • 注意：共線性的問題！若Xt-i和Xt-i-1循著一個相似的模式，則Xt-i和Xt-i-1就會相關。 • 估計係數的符號不正確、很大的標準誤(不顯著)。 • 最小平方估計式可能不具信賴性。 • 要制衡共線性的副作用 給予模型的參數某些限制。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  13. 多項式時間分配 • =r0+r1i+r2i2 i=0,…,n • 若i=0， =r0 • 若n=4，則Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+β3Xt-3+β4Xt-4+et t=5,…,T • β0=r0，β1=r0+r1+r2，β2=r0+2r1+4r2，β3=r0+3r1+9r2，β4=r0+4r1+16r2。 • Yt=α+r0Zt0+r1Zt1+r2Zt2+et 用最小平方式估計r0、r1、r2 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  14. Zt0=Xt+Xt-1+Xt-2+Xt-3+Xt-4 • Zt1=Xt-1+2Xt-2+3Xt-3+4Xt-4 • Zt2=Xt-1+4Xt-2+9Xt-3+16Xt-4 • 則 用F檢定來檢查模型的一致性 • 有限制模型的參數個數：3個參數 • 沒有限制模型的參數個數：5個參數（n+1個） • 參數限制式個數：5-3=2 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  15. 有限制的模型：有較小的標準誤，並且具有更精確的參數估計。有限制的模型：有較小的標準誤，並且具有更精確的參數估計。 • V(βi)=V(r0)+i2V(r1)+i4V(r2) • SE(βi)= 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  16. 有限時間落差長度的選擇 • 基於「配適度」準則，我們提供兩個建議。 • 1.選擇一個願意去考慮的時間落差長度N的最大值。 • 檢查n≤N • Akaike的AIC準則 • Schwarz的SC準則 增加額外時間落差的懲罰函數 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  17. 尋找可以最小化的AIC或SC準則的時間落差長度n*，因為越多的時間落差變數會減少SSE。尋找可以最小化的AIC或SC準則的時間落差長度n*，因為越多的時間落差變數會減少SSE。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  18. 幾何時間落差 • 幾何時間落差 • βi 0，當i • Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+β3Xt-3+…+et • =α+β(Xt+Xt-1+2Xt-2+3Xt-3)+et • 三個參數： • α：截距項β：規模因子：控制權數的下降比率 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  19. 如何去估計？ • 模型中的參數是非線性的 不可能的任務。 • Toyck轉換 • Yt- Yt-1=α+β(Xt+Xt-1+2Xt-2+3Xt-3)+et- [α+β(Xt-1+Xt-2+2Xt-3+3Xt-4)+et-1] • =α(1-)+βXt+(et-et-1) 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  20. Yt=α(1-)+Yt-1+βXt+(et-et-1) • =δ1+δ2Yt-1+δ3Xt+Vt • δ1=α(1-) • δ2= • δ3=β • Vt=(et-et-1) 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  21. Koyck模型的工具變數估計 • 兩個特點： • 1.其中一個解釋變數是時間落差應變數Yt-1。 • 2.誤差項Vt決定於et與et-1。Cov(Yt-1,Vt)≠0。 • 最小平方估計式的參數會有偏誤及不一致性。 • 我們無法利用最小平方式來得到參數δ1、δ2及δ3。 • 使用工具變數估計式來估計的問題是變數Yt-1，Xt-1與Yt-1有相關，但是與Vt無關，因為Xt-1具外生性。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  22. 兩階段最小平方 • 第一階段： 簡單最小平方式。 • 然後 最小平方式。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  23. 檢定有時間落差應變數之模型中的自我相關 • RHS變數包含時間落差獨立變數，但我們並不知道是否這個時間落差獨立變數與誤差項有關。 • 如果無關→可以用最小平方估計法。 • 如果有關→不該使用最小平方估計法。 • 關鍵的問題在於，是否誤差項Vt是連續相關的。 • 由於迴歸式包含Yt-1，因此不能夠使用DW檢定。 • 利用LM檢定！ • 如果拒絕虛無假設(a4=0)，則會產生自我相關。 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  24. 自我迴歸時間落差分配 • 有限時間落差模型：選擇時間落差長度及共線性的問題。 • 無限時間落差模型：解決時間落差長度的問題，但是要求限制時間落差權數的結構，來避免無限數量參數的問題。 • 如果在一個無限的模型當中，尖峰效應沒有發生？ • 如果多項時間分配落差或是幾何時間落差都不適用？ 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  25. ARDL：無限時間落差模型 • Yt=μ+β0Xt+β1Xt-1+γ1Yt-1+et ARDL(1,1) • ARDL(1,1) • ARDL(p,q) 一個時間落差值X 一個時間落差值Y P個時間落差值X q個時間落差值Y 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  26. α=μ(1+γ1+γ12+γ13+…)=μ/(1-γ1) • Ut=et+γ1et-1+γ12et-2+… • ∴ • α0=β0 • α1=β1+γ1β0 • α2=γ1α1 • α3=γ12α1 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

  27. Yt=(1-γ1)α+α0(Xt-Xt-1)+γ1Yt-1+Vt • 若Cov(et,es)=0 沒有連續性自我相關 • 則LOS估計式： • Yt=μ+β0Xt+β1Xt-1+γ1Yt-1+et • 利用、 、 、 來計算 • α0=β0 • α1=(β1+γ1β0) • α2=γ1α1 • α3=γ12α1 畫圖求出αi最大時的i=? 開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰

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