Mec nica est tica
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MECÂNICA - ESTÁTICA. Vetores Forças Cap. 2. Objetivos. Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

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MECÂNICA - ESTÁTICA

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Presentation Transcript


Mec nica est tica

MECÂNICA - ESTÁTICA

Vetores Forças

Cap. 2


Objetivos

Objetivos

  • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

  • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

  • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.


Objetivos1

Objetivos

  • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

  • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

  • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.


2 1 escalares e vetores

Escalar =A=A=A

Vetor = A = A

2.1 Escalares e Vetores

  • Escalar é uma grandeza caracterizada por um número positivo ou negativo; exemplos: massa, volume e comprimento.

  • Vetor é uma grandeza que possui módulo, direção e sentido; exemplos: posição, força e momento.


2 2 opera es com vetores

2.2 Operações com Vetores

Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar:

  • Multiplicação do vetor A pelo scalar a aA

  • Módulo = aA

  • Mesmo sentido de A se a > 0; contrário se a < 0

  • Divisão do vetor A pelo escalar a  (1/a)A ; a  0


2 2 opera es com vetores1

2.2 Operações com Vetores

Adição Vetorial:

  • Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R

  •  A + B = B + A = R


2 2 opera es com vetores2

2.2 Operações com Vetores

Adição Vetorial:

  • Vetores colineares


2 2 opera es com vetores3

2.2 Operações com Vetores

Subtração Vetorial:

  • A diferença entre dois vetores produz o vetor resultante R

  •  A - B = A + (-B) = R´


2 2 opera es com vetores4

2.2 Operações com Vetores

Decomposição Vetorial:

  • Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo.

  •  R = A + B


2 3 adi o de for as vetoriais

2.3 Adição de Forças Vetoriais

Uma força é uma grandeza vetorial pois tem módulo, direção e sentido e pode ser adicionada de acordo com a regra do paralelogramo.


2 3 adi o de for as vetoriais1

2.3 Adição de Forças Vetoriais

  • Se mais do que duas forças precisam ser adicionadas, sucessivas aplicações da regra do paralelogramo devem ser utilizadas para obter a resultante.

  •  F1+ F2+ F3 = (F1+ F2) + F3


Procedimento de an lise

Procedimento de Análise

  • A + B = C

  • Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos


Problema 2 2

Problema 2.2

Determine o módulo da força resultante se:

(a) FR = F1 + F2

(b) FR = F1 – F2


Problema 2 21

R

105°

80 N

100 N

75°

45°

60°

45°

Problema 2.2

(a) Adição Vetorial:

Usando a regra do paralelogramo:


Problema 2 22

R

100 N

105°

80 N

100 N

FR

75°

75°

45°

60°

80 N

45°

Problema 2.2

Usando a lei dos cosenos:


Problema 2 23

F1 = 100 N

F2 = 80 N

105°

45°

60°

45°

FR

- F2

Problema 2.2

(b) Subtração Vetorial:


Problema 2 24

F1 = 100 N

F1 = 100 N

- F2

105°

F2 = 80 N

105°

45°

60°

45°

FR

FR

- F2

Problema 2.2

Usando a lei dos cosenos:


Problema 2 a

Problema 2.A

Dadas as duas forças mostradas pela figura.

a. Calcule a resultante das duas forças.

b. Decomponha as duas forças nas direções u e v


Procedimento de an lise1

Procedimento de Análise

  • A + B = C

  • Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos


Problema 2 a1

Problema 2.A

a. Calcule a resultante das duas forças


Problema 2 a2

Problema 2.A

b. Decomponha as duas forças nas direções u e v


2 2 opera es com vetores5

2.2 Operações com Vetores

Decomposição Vetorial:

  • Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo.

  •  R = A + B


Problema 2 a3

Problema 2.A

Decompondo F1 nas direções u e v


Problema 2 a4

Problema 2.A

Decompondo F1 nas direções u e v


Problema 2 a5

Problema 2.A

Decompondo F2 nas direções u e v


Problema 2 a6

Problema 2.A

Decompondo F2 nas direções u e v


Exemplo 2 2

Exemplo 2.2

Decomponha a força de 200-lb atuando no tubo em componentes

(a) direções x e y, e

(b) direções x’ e y.


Exemplo 2 21

Exemplo 2.2

  • Usando a regra do paralelogramo para decompor F

  • A adição vetorial é dada por F = Fx + Fy


Exemplo 2 22

Exemplo 2.2

Parte (a)

Do triângulo abaixo:

  • Fx = 200 lb cos 40° = 153 lb

    e Fy = 200 lb sin 40 ° = 129 lb


Exemplo 2 23

Exemplo 2.2

Parte (b):

A adição vetorial é dada por F = Fx+ Fy


Exemplo 2 24

Exemplo 2.2

Aplicando a regra do paralelogramo:


Exemplo 2 25

Exemplo 2.2

Aplicando a lei dos senos:


Problema 2 30

Problema 2.30

Três cabos puxam um tubo criando uma resultante de módulo igual a 900 lb. Se dois destes cabos são sujeitos a forças conhecidas, mostradas pela figura, determine a direção  do terceiro cabo para que o módulo da força F neste cabo seja mínimo. As forças são coplanares, plano x-y. Qual é o módulo de F?

Dica: primeiro encontre a resultante das forças conhecidas.


Problema 2 301

600 lb

105°

F

400 lb

Problema 2.30

Usando a regra do paralelogramo para encontrar a resultante dos vetores conhecidos:


Problema 2 302

600 lb

105°

F’

400 lb

Problema 2.30

F

400 lb

600 lb

105°

F’


Problema 2 30 simulando f com angulo a de f

Problema 2.30 – simulandoF com anguloa de F’

F

a

F’

F’

a

F

900 lb

180°-a


Objetivos2

Objetivos

  • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

  • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

  • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Notação Escalar:

  • As componentes de F são Fx e Fy

  • As componentes de F’ são F’x e –F’y

  • Esta notação é usada somente para efeito de cálculos, não para representação gráfica nas figuras

  • Graficamente, a ponta da seta determina o sentido do vetor.


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares1

F = Fxi + Fyj

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Notação Vetorial Cartesiana:

  • Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j

  • i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente

  • i e j possuem módulo unitário adimensional

  • Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares2

F’ = F’ xi + Fy(-j)

ou

F’ = Fxi - Fyj

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Notação Vetorial Cartesiana:

  • Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j

  • i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente

  • i e j possuem módulo unitário adimensional

  • Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares3

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Resultantes de Forças Coplanares:

  • Decomponha cada força nas direções x e y

F1 = F1xi + F1yj

F2 = -F2xi + F2yj

F3 = F3xi - F3yj


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares4

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Resultantes de Forças Coplanares:

  • Adicione os respectivos componentes usando algebra escalar simples pois eles são colineares

FR= F1+ F2 + F3

= F1xi + F1yj-F2xi + F2yj+F3xi - F3yj

= (F1x- F2x + F3x)i + (F1y+ F2y - F3y)j

= (FRx)i + (FRy)j


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares5

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Resultantes de Forças Coplanares:

 FR = (FRx)i + (FRy)j

onde

(+)FRx = F1x- F2x + F3x

(+)FRy= F1y+ F2y - F3y


2 4 adi o de um sistema de for as coplanares6

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares

Resultantes de Forças Coplanares:

  • De uma forma geral


Problema 2 33

Problema 2.33

Determine o módulo da força F tal que a resultante FR das três forças seja a menor possível.


Problema 2 33 solu o

Problema 2.33 - Solução

A regra do paralelogramoéusadaparadecomporF, F1 e F2

y

F1=20kN

F1y

5

3

4

x

Fx

F1x

45º

F

Fy

F2=12kN


Problema 2 33 solu o1

Problema 2.33 - Solução

Notação Escalar: Somando os componentes algebricamente:

y

F1=20kN

F1y

5

3

4

x

Fx

F1x

45º

F

Fy

F2=12kN


Problema 2 33 solu o2

Problema 2.33 - Solução

O módulo da resultante FR é:


Problema 2 33 solu o3

Problema 2.33 - Solução


Problema 2 33 solu o4

Problema 2.33 - Solução


Problema 2 33 solu o5

Problema 2.33 - Solução


Problema 2 33 solu o pelo excel

Problema 2.33 – Solução pelo Excel

ver arquivo incluso

O módulo da resultante FR é:

Utilizando o Excel coloqueF numacélula (A2) e a fórmula de FRemoutra (B2).

Se Dados/Solvernãoestiverdisponível, ative o mesmoemArquivo/Opções/Suplementos/GerenciarSuplementos do Excel


Problema 2 33 solu o pelo excel1

Problema 2.33 – Solução pelo Excel

DefinaB2comoObjetivo (Target), selecioneMincomovalor do objetivo e A2como a célulavariável.

Clique em Resolver (Solve) e o problemaestaráresolvido. A soluçãoserá:

F= 11.3 kN com

FR = 11.314 kN


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