一、一般組合
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 58

排列: b c d , PowerPoint PPT Presentation


  • 69 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

一、一般組合. 1. 一般組合:. 從 a , b , c , d 4 本不同的書一次任取 3 本成為一組,. 則取出的順序 a , b , c 與 b , a , c 視為相同的組合,. 即集合 { a , b , c }={ b , a , c } ,. 因為集合是不論元素順序。. 組合. 3! 種排列法. a. b c a ,. a c b ,. b a c ,. c b a 。. c a b ,. 排列: a b c ,. c. b. a. d b a 。. a d b ,. d a b ,. 排列: a b d ,.

Download Presentation

排列: b c d ,

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


B c d

一、一般組合

1. 一般組合:

從 a,b,c,d 4本不同的書一次任取 3 本成為一組,

則取出的順序 a,b,c 與 b,a,c視為相同的組合,

即集合{a,b,c}={b,a,c},

因為集合是不論元素順序。

組合

3! 種排列法

a

bca,

acb,

bac,

cba。

cab,

排列:abc,

c

b

a

dba。

adb,

dab,

排列:abd,

bad,

bda,

d

b

a

排列:acd,

cad,

cda,

dac,

dca。

adc,

c

d

b

排列:bcd,

dcb。

bdc,

cbd,

dbc,

cdb,

c

d

所以,4相異物任取 3個為一組的方法數共

To be continued


B c d

4相異物任取 3個為一組的方法數共

同理,n 相異物任取k個為一組的方法數共

注意:

本段結束


B c d

2. 範例:一籃球隊有 12 人,求下列各方法數:

(1) 選出 3 人打掃更衣室。 (2) 選一名隊長,一名副隊長,一名總務。

= 220 。

解:

= 1320 。

Let’s do an exercise !

馬上練習:由 10 名男生,5 名女生中,選出一個 5人小組,

求下列方法數:(1) 選出 3 名男生 2 名女生。 (2) 男女至少各 2 人。

Ans:(1) 1200 (2) 1650。

= 120 10 = 1200 。

解:

= 120 10 + 45 10 = 1650 。


B c d

3. 餘組合:

從 10本不同的書中 取出 7 本 時,

同時也會 留下 3 本 書,

即 選 7 本 與 捨棄 3 本 是同一回事,

=

故 0 k n時,

例:

To be continued  範例


B c d

範例:

(2) 已知 n 及 k 為正整數,且 n > k,

n= 2 或 12。

或 4 + (n+2) = 18

解:(1) 4 = n+2

又 n 10,

Let’s do an exercise !


B c d

4. 範例:(1)自來水公司預計於下週一至下週日的7天中,選擇2天停水,

若要求停水2天不相連,求其方法數。

(2)兄弟兩人在排成一列的20個空位中,選坐不相鄰的兩個坐位有幾種方法?

(3) 10間相連的教室,選彼此不相鄰的4間教室放置蒸飯箱,共有多少種方法?

:停水,

解:(1) 令 ○:有水,

放進(○○○○○)的 6個空隙,

停水2天不相連

(2) 兄弟坐進 18 個空位的 19 個空隙,

= 19 18 = 342。

(3) 令 ○:無蒸飯箱,

:有蒸飯箱。

蒸飯箱不相連

放進(○○○○○○)的 7個空隙,

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:一列火車從第一車到第十車共十節車廂,求下列方法數:

(1) 指定其中三節車廂准許吸煙

(2) 承(1),若可吸煙的車廂不相銜接。

(3) 承(2),甲乙二人在可吸煙的不同車廂。

Ans:(1) 120。 (2) 56。 (3) 336

解:(1) 從 10 節中廂選出 3節的方法數

:可吸煙,

(2) 令 ○:禁煙,

放進(○○○○○○○)的 8個空隙,

吸煙不相連

= 56 6 = 336。


B c d

5. 範例:若平面上有 10 個相異點,其中 4 點共線,此外,

任三點皆不共線,則:(1) 過其中至少 2 點的直線有幾條?

(2) 取3點可作成三角形者有幾個?

(4點共線所決定的直線)

+(4點共線所在直線)

解:(1)所求=(任2點決定一直線)

A4

L

= 45  6+ 1 = 40。

A3

A2

(2) 所求 = (任3點決定的)

 (4點共線所決定的)

A1

=116。

注意:凸 n 邊形的對角線數

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:若平面上有15個相異點,其中 A1,A2,A3 三點共線,A4,A5,A6

三點也在過 A1 的另一直線上,其餘任三點皆不共線,

則:(1) 過其中至少2點的直線有幾條? (2) 取3點可作成三角形者有幾個?

Ans:(1) 98 (2) 450。

解:

L

A3

A2

A1

= 1053+16+1 = 98。

A4

A5

(2)所求 = (任3點決定的)

 (4點共線所決定的)

A6

M

= 455  14 = 450。


B c d

6. 範例:如圖,每個小方格均為正方形,

求矩形與正方形各有多少個?

解:矩形:

= 168 個。

正方形:11有

7  3 = 21 個。

22有

6  2 = 12 個。

33有

5  1 = 5 個。

 正方形共有 21 + 12 + 5 = 38個。

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:右圖由三組平行線所構成,

A

求平行四邊形與梯形各有多少個?

Ans:平行四邊形 108 個 , 梯方形 270 個。

B

解:平行四邊形:

C

= 30 + 60 + 18 = 108個。

梯形:

= 120 + 90 + 60 = 270個。


B c d

7. 範例:如圖,至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有幾個?

解:所求 = ( 含 A )

+ (含 B )

 ( 同時含 A 與 B )

B

A

= 24 + 36  8

= 52。


B c d

8. 範例:從「aaabbcd」七個字母中,求依下列方式的方法數:

(1) 任取三個的組合數 (2) 任取三個的排列數。

c 有 1 個 ,

d 有 1 個。

b有 2 個 ,

a有3 個 ,

解:字母有四類:

三同(如aaa)

二同一異(如aab)

三異(如abc)

11 個

43個

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:從「aaaabbbccc」十個字母中,求依下列方式的方法數:

(1) 任取四個的組合數 (2) 任取四個的排列數。

Ans:(1) 13 (2) 79。

c 有 3 個。

a有 4 個 ,

b 有 3 個 ,

解:字母有三類:

四同(如aaaa)

三同一異(如aaab)

二同二同(如aabb)

二同二異(如aabc)

13 個

79個


B c d

9. 範例:從 5 對夫婦中選出 4人,求下列方法數:

(1) 4人皆為相同性別。 (2) 至少有一對是夫婦。

= 5 + 5 = 10。

解:

= 120+10 = 130。

注意:

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習: 6 男 4 女共 10 名學生,分別輪流擔任本週 5 天的值日生,

若每天 2 名值日生且每日至少須有 1 名男生,

求本週值日生安排的方法數。

Ans:(1) 10 (2) 130。

餘四天均為 1 男1 女,

解:五天中必有一天是 2 男,

= 43200。


B c d

10. 範例:正八邊形的八個頂點,任取三個頂點,

可作下列三角形各有多少個?

(1)任意三角形 (2)直角三角形 (3)鈍角三角形 (4)銳角三角形

A1

解:

= 56 。

A8

A2

A7

A3

A4

A6

= 24 。

A5

A1

A8

A2

= 24。

A7

A3

(4) 所求 = 全  直角  鈍角

A4

A6

= 56  24  24 = 8。

A5

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:正十邊形的十個頂點,任取三個頂點,

可作下列三角形各有多少個?

(1)任意三角形 (2)直角三角形 (3)鈍角三角形 (4)銳角三角形

A1

Ans:(1) 120 (2) 40 (3) 60 (4) 20。

A10

A2

A9

解:

A3

= 120。

A4

A8

A7

A5

= 40。

A6

A1

A10

A2

A9

A3

= 60。

(4) 所求 = 全  直角  鈍角

A8

A4

= 120  40  60 = 20。

A7

A5

A6


B c d

注意:若凸 n 邊形的對角線沒有三線共點,則:

(1) 此凸 n 邊形的所有對角線最多

(因兩對角線交於一點)

(2) 此凸 n 邊形的邊與對角線可圍出  的個數

(見附錄四)


B c d

12. 範例:用 1,2,3,4,5,6,7 等七個數寫出一個五位數 n,

使 n=a104+b103+c102+d10+e,其中 a, b, c, d ,e 皆相異,

且 a <b< c 且 c>d>e ,則 n共可寫出多少個?

解:先從 1~7 之中選出五個數字填入 a ~ e ,

即 c> > > > ,

而滿足 a < b <c且c> d > e,

d , e由左至右填入  ,

其中 b, a 由左至右填入  ;

故所求 = 21  6 = 126種。


B c d

二、分組與分堆

1. 範例:將 6 本不同的書,依下列分法,各有幾種方法?

(1) 依1、2、3分成三堆。(2) 依1本給甲、2本給乙、3本給丙。

(3) 依1、2、3本隨意分給甲、乙、丙。

= 6101 = 60。

解:

= 60。

= 606 = 360。

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:將 9 本不同的書,依下列分法,各有幾種方法?

(1) 依2、3、4分成三堆。(2) 依2本給甲、3本給乙、4本給丙。

(3) 依2、3、4本隨意分給甲、乙、丙。

Ans:(1)1260 (2)1260 (3)7560。

= 36351 = 1260。

解:

= 1260。

= 12606 = 7560。


B c d

a

a

c

e

e

c

c

a

e

a

a

c

e

e

a

c

c

e

f

d

b

f

d

b

b

f

d

d

d

b

b

b

f

d

f

f

2. 相同數目的分堆:

將 a,b,c,d,ef六本不同的書平分成三堆(即依 2,2,2 的數目)。

對應同一種 ( a b,c d,e f ) 分堆方式。

本段結束


B c d

3. 範例:將 6 本不同的書,依下列分法,各有幾種方法?

(1) 平分成三堆。 (2)平分給A、B、C三人。

(3) 依4本、1本、1本分成三堆。 (4) 依4本給A、1本給B、1本給C。

(5) 依4本、1本、1本隨意分給A、B、C。

解:

= 90。

= 30。

= 90。

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:有 6 件不同禮物分給四人,求每人至少得 1 件的方法數。

Ans:1560。

解:6 件先分數目:(3,1,1,1)、(2,2,1,1)。

= 480。

= 1080。


B c d

4. 範例:(1) 將 8人平分成兩組,其中 A、B、C 三人必在同一組,

有幾種方法 ?

(2) 將 9人平分成三組,其中 A、B、C 三人必不在 同一組,

有幾種方法 ?

(3) 將 9 人平分成甲、乙、丙三組,

其中 A、B、C 三人必不在同一組的方法數 ?

= 5。

解:

= 90。

= 540。

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:(1) 將 10 人平分成兩組,其中 A、B、C 三人必在同一組,

有幾種方法 ?

(2) 將 12 人平分成三組,其中 A、B、C 三人

必不在同一組,有幾種方法 ?

(3) 將 12 人平分成甲、乙、丙三組,

其中 A、B、C 三人必不在同一組的方法數 ?

Ans:(1) 21 (2) 1680

(3) 10080。

= 21。

解:

= 1680。

= 10080。


B c d

三、巴斯卡定理

1. 範例:從{ a, b, c, d, e, f, g, h }8個字母中,一次取出3個字母,則

(1)含 a 的有幾種組合? (2)不含 a 的有幾種組合? (3)全部有幾種組合?

解:(1) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中,

一次取出 2個的組合數

(2) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h} 7 個字母中,

一次取出 3個的組合數

= 21 + 35 = 56。


B c d

2. 巴斯卡定理:

從 10 本中選取 7 本的

設 A為 10 本不同的書之一,

可分為兩種:A在其中與 A不在其中。

故 1 k  n 時,

例:

本段結束


B c d

巴斯卡三角形:

2 錯排的方法數 = 2!1 1!2 + 0!1

係數:1,2,1

3 錯排的方法數 = 3!1  2!3 + 1!3  0!1

係數:1,3,3,1

4 錯排的方法數 = 9 = 4!1  3!4 + 2!6  1!4 + 0!1

係數:1,4, 6, 4,1

5錯排的方法數 = 44 = 5!1  4!5 + 3!10  2!10 + 1!5  0!1

係數:1,5,10,10,5,1

本段結束


B c d

3. 範例:

解:

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習: 有 10 個房間,第一間有 1 人,第二間有 2 人,…,

第十間有 10 人,共 55 人,從這 55 人中任選 2 人,

此 2 人不在同一房間有幾種選法?

Ans:1320。

解:所求 = 全  ( 2 人在同一間房)

= 1320。


B c d

4. 範例:

解:

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:編號 3,4,…,20 的袋子中,

分別有相異球 3,4,…,20 個球,今任選一袋,

且從 k 號袋中取 k1 個球,k = 3,4,…,20,

問共有幾種取法?

Ans:207。

解:

= 207。


B c d

1 . 重複組合

從 a、b、c,3 類取 2 個(不重複)有 3 種:ab、bc、ac,

從 a、b、c,3 類取 2 個(可重複)有 6 種:ab、bc、ac、aa、bb、cc,

令 x1、x2、x3分別表 a、b、c 的個數,則:

x1+ x2+ x3= 2 的非負整數解如下:

ab1 1 0

bc 0 11

ac 1 0 1

共 6 種,即 x1+ x2 + x3 = 2 的

aa2 0 0

bb 0 2 0

cc 0 0 2

To be continued:非負整數解求法。

即為 x1 + x2 + x3= 2 的非負整數解個數。

3 類取 2 個的

即為 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數。

同理,3 類取 5 個的


B c d

2. 非負整數解:

方程式 x1+x2+x3=5 的非負整數解 ( 0 或正整數 ),

可表成 5 個「」與 2 個「+」的排列,如下所示:

分堆

++

++

++

3種排列

5

(0, 5, 0)

(5, 0 ,0)

(0, 0, 5)

0

0

++

++

++

6種排列

4

(4, 0, 1)

(1, 4, 0)

(4, 1, 0)

1

0

++

++

++

(0, 1, 4)

(1, 0, 4)

(0, 4, 1)

而「++」

To be continued:「++」之 21 種排列


B c d

分堆

++

++

++

3種排列

5

(0, 5, 0)

(5, 0 ,0)

(0, 0, 5)

0

0

++

++

++

6種排列

4

(4, 0, 1)

(1, 4, 0)

(4, 1, 0)

1

0

++

++

++

(0, 1, 4)

(1, 0, 4)

(0, 4, 1)

++

++

++

6種排列

3

(3, 2, 0)

(2, 3, 0)

(3, 0, 2)

2

0

++

++

++

(2, 0, 3)

(0, 2, 3)

(0, 3, 2)

3種排列

++

++

++

3

1

1

(1, 3, 1)

(3, 1, 1)

(1, 1, 3)

++

++

++

3種排列

2

(2, 1, 2)

(2, 2, 1)

2

1

(1, 2, 2)

To be continued


B c d

由上可知: x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數

即為「++」的排列數

其中,xn 的個數n = 3,

「 」的個數 = 5,

= 31 = 2。

而「+」的個數 = 「xn 的個數」1

同理, x1 + x2 + x3 + x4 = 7 的非負整數解個數

即為「+++」排列數

x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數

即為 k 個「」與 n1個「+」排列數

通常我們將 x1+x2+x3=5 的非負整數解個數

To be continued  符號練習

x1+x2+x3+x4= 7 的非負整數解個數

x1+x2+…+xn= k 的非負整數解個數


B c d

符號練習:

(1) x1+x2+x3+x4= 7 的非負整數解個數

(2) x1+x2+x3= 5 的非負整數解個數

(3) x1+x2+x3+x4= 2 的非負整數解個數

(4) x1+x2+x3+x4+x5= 2 的非負整數解個數

(5) x1+x2+x3+x4= 4 的非負整數解個數

本段結束


B c d

3. 範例:(1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。

(2) 某茶飲店賣:紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶,

求外帶三杯的選法有幾種?

(3) 將 5 個蘋果,分給 3 個人,有幾種方法?

(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?

解:

(2) 所求為從4種茶,取 3杯

即 x1 + x2 + x3 + x4 = 3的非負整數解個數

(其中 x1:紅茶杯數, x2:綠茶杯數,x3:青茶杯數, x4:烏龍茶杯數)

例:(2 , 1 , 0 , 0) 紅茶 2 杯 , 綠茶 1 杯 。

To be continued  (3) (4 )


B c d

(1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。

(2) 某茶飲店賣:紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶,

求外帶三杯的選法有幾種?

(3) 將 5 個蘋果,分給 3 個人,有幾種方法?

(4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果?

解:

(2) 所求為從 4種茶,取 3杯

(3) 所求為從 3人身上,取出 5個蘋果

(4) 所求為從 6種點數,取 2次的方法數,

即 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6= 2的非負整數解個數

(例:x1 表 1點出現的次數)

注意:n類取 k個的

Let’s do an exercise !

根據題意必可表成 x1 + x2 + … + xn = k 。


B c d

馬上練習:(1) 同時擲 4 粒相同的骰子有幾種可能的結果?

(2) 將 7 個梨,分給 3 個人,有幾種方法?

(3) 候選人4 名,選舉人18 名,求無記名投票有幾種結果?

(4) 有 5人猜拳(只出剪刀、石頭、布),會出現幾種結果?

Ans:(1) 126 (2) 36 (3) 1330 (4) 21。

解:(1) 6 種點數,取 4 次

(2) 3 個人身上,取出 7 個梨

(3) 4 種選票,取 18 張

(4) 3 種拳,取 5 次


B c d

4. 範例:(1) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子,有幾種放法?

(2) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子,有幾種放法?

(3) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子,有幾種放法?

(4) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子,有幾種放法?

解:(1) 3  3  3  3  3

= 243種。

(3) 即 5個分三堆,

(2, 2, 1),

共 5種。

(3, 1, 1)、

(3, 2, 0)、

(4, 1, 0)、

有 (5, 0, 0)、

(4) 依 (5, 0, 0)、(4, 1, 0)、(3, 2, 0)、(3, 1, 1)、(2, 2, 1)數目分堆

= 41種。


B c d

馬上練習:(1) 將 6 件相同物,放入 3 個相同的箱子,有幾種放法?

(2) 將 6 件相同物,放入 3 個相異的箱子,有幾種放法?

(3) 將 6 件相異物,放入 3 個相異的箱子,有幾種放法?

(4) 將 6 件相異物,放入 3 個相同的箱子,有幾種放法?

Ans:(1) 7 (2) 28 (3) 729 (4) 122。

(4, 2, 0)、

有 (6, 0 ,0)、

(5, 1, 0)、

解:(1) 即 6 個分三堆,

(2, 2, 2),

共 7 種。

(3, 2, 1)、

(3, 3, 0)、

(4, 1, 1)、

(3) 所求 = 333333

= 36 = 729。

(4) 依 (6, 0, 0)、(5, 1, 0)、(4, 2, 0)、(4, 1, 1)、

(3, 3, 0)、(3, 2, 1)、(2, 2, 2)數目分堆

= 122 種。


B c d

5. 非負整數解與正整數解:

(1) 從 n 類不同物品中,取出 k 件的重複組合數

方程式 x1 + x2 + … + xn= k 的「非負整數解」的個數

將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數

To be continued  正整數解。


B c d

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解如下:

( 3 , 1 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 2 , 0 , 0 )

( 1 , 3 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 2 , 0 )

( 1 , 1 , 3 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 2 )

( 2 , 2 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 1 , 0 )

( 2 , 1 , 2 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 0 , 1 )

( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 1 , 1 )

正整數解

非負整數解

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數,

等於 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數。

x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數

同理,x1 + x2 + x3 + x4 + x5= 7 的正整數解個數

To be continued  非負整數解 & 正整數解


B c d

(1) 從 n 類不同物品中,取出 k 件的重複組合數

方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「非負整數解」的個數

將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數

(2) 從 n 類不同物品中,取出 k 件,

每類至少取一件的重複組合數

方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「正整數解」的個數

將 k件相同物分給 n 個人(nk),

每個人至少得一件的方法數

本段結束


B c d

6. 範例:將 4 個梨,5 個蘋果,分給 3 個人,依下列情形,

方法各有幾個? (1) 每人所得不限。 (2) 每人至少1個梨。

(3) 每人至少1個梨或蘋果。

解:(1) 梨的分法有

蘋果的分法有

(2) 每人先得 1 個梨,剩下的 1 個梨的分法有

(3) 所求 = 全  ( 有人沒得 )

= 全 

+ (甲乙丙均沒)

(甲沒+乙沒+丙沒)

 (甲乙均沒+乙丙均沒+甲丙均沒)

+ 0

= 315  (90  3 + 0 ) = 228。


B c d

馬上練習:將 7 個梨,8 個蘋果,分給 3 個人,依下列情形,

方法各有幾個? (1) 每人所得不限 (2)每人至少 1 個梨

(3) 每人至少 1 個水果 ( 1 梨或 1 蘋果)。

Ans:(1) 1620 (2) 675 (3) 1407。

解:(1) 梨的分法有

蘋果的分法有

(2) 每人先得 1 個梨,剩下的 4 個梨的分法有

(3) 所求 = 全  ( 有人沒得 )

= 全 

+ (甲乙丙均沒)

(甲沒+乙沒+丙沒)

 (甲乙均沒+乙丙均沒+甲丙均沒)

+ 0

= 1620  (216  3 + 0 ) = 1407。


B c d

7. 範例:方程式 x+y+z=16,求下列解的個數:

(1) 非負整數 (2) 正整數 (3) x>2,y1,z3 的整數解。

解:

y=y1+1,

z=z1+3,

(3) 令x=x1+3,

則 x + y + z = 16 的所求整數解,

即為 (x1+3) + (y1+1) + (z1+3) = 16 的非負整數解,

x1+ y1+ z1= 9,

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:某企業公司設有四個部門,每個部門均有經理一人,

另有總經理一人管理四個部門之業務。年終時董事會發放

同面額禮卷10張給總經理及四部門經理,總經理至少取得三張,

其餘經理每人至少一張,則共有多少種發放方法?

Ans:35。

解:所求即 x + y + z + u + v = 10 之整數解,

其中 x  3 , y  1 , z  1 , u  1 , v  1 。

u = u1 + 1,

v =v1+ 1,

z = z1 + 1,

y = y1 + 1,

令x = x1 + 3,

 (x1+3) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1) + (v1+1) =10的非負整數解,

x1 + y1 + z1 + u1 + v1 = 3,


B c d

8. 範例:不等式 x+y+z+u  9,求下列解的個數:

(1) 非負整數 (2) 正整數。

解:(1)x + y + z + u  9的非負整數解,

即為 x + y + z + u + w = 9的非負整數解,其中 w為非負整數。

u = u1 + 1,

z = z1 + 1,

y =y1 + 1,

(2) 令x = x1 + 1,

則 x + y + z + u 9的正整數解,

即為 (x1+1) + (y1+1) + (z1+1) + (u1+1)  9的非負整數解,

x1+ y1+ z1+ u1 5,

即為 x1+ y1+ z1+ u1+ w= 5的非負整數解,其中w為非負整數。

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:不等式 3 < x+y+z  8 的非負整數解共有幾組?

Ans:145 。

解: 3 < x+y+z  8 即為

「x+y+z  8的解」「x+y+z  3的解」,


B c d

9. 範例:方程式 x+y+z+u216 的非負整數解有多少組?

解: x + y + z + u2  16 的非負整數解,

即為 x+ y+ z+ u2 + w= 16 的非負整數解,其中 w為非負整數。

u=0時,

u=1時,

u=2時,

u=3時,

u=4時,

Let’s do an exercise !


B c d

10. 範例:(1) 方程式 xyz=144 的「正整數解」共有幾組?

(2) 方程式 xyz=144 的「整數解」共有幾組?

解:(1)xyz= 144 = 24  32

4個 2分給 x、y、z,

2個 3分給 x、y、z,

負負正。

負正負、

正正正、

正負負、

(2) 整數解 x、y、z可分:

Let’s do an exercise !


B c d

馬上練習:若數列 a1 , a2 , … , ak, …, a10 中每一項皆為 1 或 1,

則 a1+a2+…+ak+…+a10之值有多少種可能?

(99學測)

Ans:11 種 。

解:所求即從 1 與 1 兩種數取 10個的重複組合數,


B c d

11. 範例:某限量版手機款式小書包,有黑、紅、黃、藍四種顏色,

大小均相同(僅顏色有分別)。朱哥想買 5 個,

但黑色只剩 2 個,其他顏色的庫存量均足夠,則:

(1) 有幾種買法。

(2) 將買來的 5 個小書包,分別送給 5 個不同的女朋友,

每人一個小書包,方法有幾種。

解:(1) 所求即 x+ y + z + w= 5 且x  2之非負整數解。

To be continued  (2)


B c d

有黑、紅、黃、藍四種顏色,但黑色只剩 2 個

種 類

組合數

( 2 )

排列數

3

5同 (例:紅紅紅紅紅)

4同 1異 (例:紅紅紅紅黑)

3  3

3同 2同 (例:紅紅紅黑黑)

3  3

3同 2異 (例:紅紅紅藍黑)

2 同 2同 1異 (例:紅紅藍藍黑)

2同 3異 (例:紅紅藍黃黑)

本節結束

共918種。


  • Login