1 / 12

Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?

Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?. Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie  termodynamika  mech. kwantowa f( ω )= funkcja rozkładu ρ ( ω )= funkcja gęstości stanów (tutaj: T=0) 1 ω ω E f.

Download Presentation

Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Problem: QM ω(α)E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie  termodynamika  mech. kwantowa f(ω)=funkcja rozkładuρ(ω)=funkcja gęstości stanów (tutaj: T=0) 1 ωω Ef

  2. Funkcja gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω:V(r)  QM  ρ(ω) opis wg QM (α)  (i) opis uproszczony α = 0..1024 i = 0..106 i ωiΔgiρ(ω) ωω 2 5=ω2 5=Δg2 2,5 Δω 1 3=ω1 9=Δg1 4,5 0 1=ω0 4=Δg0 2,0 0

  3. Funkcja rozkładu f(ω,T,Ef)=Δn/Δg:T  termodynamika  f(ω,T,Ef) dla fermionów: obowiązuje zakaz Pauliego, 0<f<1 (dla bozonów: zakaz Pauliego nie obowiązuje, 0<f) WAŻNE: aby wyznaczyć energię Fermiego EF (tutaj jako parametr modelu, konieczny do obliczeń) należy tak dobrać Ef aby doprowadzić do samouzgodnienia: dla zadanej liczby elektronów N. Stąd EF(T) zależy od T, choć w większości przypadków jest to słaba zależność.

  4. Problem: QM ω(α)E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=? Dla zadanej liczby elektronów N, i po ustaleniu energii Fermiego EF, można wyliczyć energię wszystkich elektronów Np. dla T=0 mamy EF=1 dla ω<EF, i EF=0 dla ω>EF. Ponadto w pobliżu dna pasma (ω=0, małe N) QM daje w przybliżeniu ρ(ω)=Aω2 dla standardowej próbki 3D. Wówczas a stąd spodziewana średnia energia pojedynczego elektronu 0<E/N< EF wynosi E/N=0,6·EF.

  5. Strefy Brillouina Koncepcja stref Brillouina wynika bezpośrednio z faktu, że periodyczność V(r), charakterystyczna dla kryształu, przewiduje rozwiązania dla energii ω w postaci ω(kx,ky,kz) jako funkcji periodycznej wektora falowego (kx,ky,kz), np. ω(kx+2π/ax,ky,kz) = ω(kx,ky,kz), w kierunku kx; podobnie w pozostałych kierunkach ky i kz. Dlatego można ograniczyć zależność ω(kx,ky,kz) do jednego periodu; zazwyczaj jest to przedział od (-π/a) do (π/a), czyli do tzw. (pierwszej) strefy Brillouina. ky +π/ay x = punkty xx równoważne (o tej samej -π/ax +π/ax kx energii ω) -π/ay xx

  6. Strefy Brillouina i kwantyzacja, „ciecz Fermiego” Można udowodnić, że (kx,ky,kz) mogą przyjmować tylko dyskretne wartości, a stąd energie ω są również dyskretne. gdzie Nx jest liczbą atomów wzdłuż osi x-ów kryształu. Ten zakres zmienności nx odpowiada zakresowi kx od (-π/ax) do (π/ax). Całkowita liczba dozwolonych energii wynosi liczbie atomów Na= Nx·Ny·Nz, czego należało oczekiwać. Np. dla danej liczby elektronów N=0,1·Na mamy ky +π/ay -π/ax +π/ax kx -π/ay

  7. Powierzchnia Fermiego dla T=0 Szczegółowy opis energii ω w paśmie kryształu 0<ω<W jest dany przez zależność ω(kx,ky,kz), od wektora falowego (kx,ky,kz). Zgodnie z zasadą minimum energii, N elektronów zajmie możliwie (zakaz Pauliego!) najniższe z dozwolonych energii w pobliżu dna pasma dla k=0. Oznacza to, że jeżeli wyznaczymy powierzchnię stałej energiiω(kx,ky,kz)=EF, to wszystkie dozwolone stany (kx,ky,kz) wewnątrz tej powierzchni Fermiego będą obsadzone. Dla ω(kx,ky,kz) = ω(k) będzie to sfera. W ogólności, np. w modelu TBM, powierzchnia Fermiego nie jest sferą, Jednak dla N << Na i dla txax2 = tyay2 = tzaz2 powierzchnia Fermiego jest sferą.

  8. Powierzchnia Fermiego dla T>0 Ogólna koncepcja przypadku T>0 polega na uwzględnieniu faktu, że zasada minimum energii ω(α) jako kryterium obsadzenia stanu α, n(α)=1, dla T=0 musi być zastąpiona prawdopodobieństwem p obsadzenia tego stanu. Ponieważ funkcja rozkładu zdefiniowana przez f(ω,T,Ef)=Δn/Δg jest właśnie prawdopodobieństwem p, to algorytm brzmi: dla każdego stanu α licz ω(α)  f=1/[exp(ω-Ef)/T + 1] obsadź stan n(α)=1 z prawdopodobieństwem f, else n(α)=0 Praktycznie f=1 dla ω<Ef, f=0 dla ω>Ef, i jedynie dla ω w pobliżu energii Fermiego Ef, ściślej dla Ef -T < ω < Ef +T, mamy obszar przejściowy, czyli rozmycie granicy między stanami zajętymi i pustymi. (Jest to też argument na rzecz użyteczności pojęcia energii Fermiego – tylko elektrony bliskie Ef mogą być mobilne, elektrony o mniejszych energiach są zamrożone z powodu zakazu Pauliego.)

  9. Gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω dla próbek o innych wymiarach D Zazwyczaj krzyształ jest identyfikowany jako 3-wymiarowa próbka D=3. Mamy też próbki o niższym wymiarze, np. D=2 (cienkie warstwy), D=1 (białka DNA, wiskersy, polimery). Pokażemy, jak w granicy N << Na (jak półprzewodniki) funkcja ρ(ω) jest modyfikowana przez wymiar D: Podstawą tego wyniku jest założenie ω ~ k2 słuszne dla N << Na, oraz warunki kwantyzacji wektora falowego (kx,ky,kz) który wyznacza jednorodny rozkład dozwolonych stanów w przestrzeni wektora falowego.

  10. Energia E(0)/N dla próbek o innych wymiarach D dla w granicy N<<Na W temperaturze T=0, i dla ω ~ k2, mamy i wówczas

  11. Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych Model TBM pozwala obliczyć analityczne relacje ω(kx,ky,kz) dla kilku typowych struktur krystalograficznych dla tx=ty=tz, co odpowiada strukturom regularnym ax=ax=az. SC = Simple Cubic, struktura regularna BCC = Body Centered Cubic, struktura regularna przestrzennie centrowana FCC = Face Centered Cubic, struktura regularna powierzchniowo centrowana

  12. Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych We wszystkich SC, BCC i FCC strukturach Z oznacza tzw liczbę koordynacyjną, czyli liczbę najbliższych sąsiadów Z= 6, 8, 12 odpowiednio. Parametr t ~ a–5 dla stałej sieciowej a wynosi zero dla fazy gazowej (gdy a zmierza do nieskończoności, atomy, jedna energia zamiast pasma o szerokości W). Wzory analityczne przewidują W=2Zt dla wszystkich struktur oraz w granicy N << Na przybliżoną energię ω=t(ka)2. Wykładnik (-5) wynika z ogólniejszej zależności t(a) dla pasma typu określonego przez orbitalną liczbę kwantową: dla l = 0,1,2,3,... czyli s,p,d,f,... mamy t ~ a–(g/2) = a–(2l+1).

More Related