1 / 42

Határozott integrál

Határozott integrál. Összegek, területek, térfogatok. Területszámítás. Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. Görbe vonalú trapéz. Görbe vonalú trapéz.

roden
Download Presentation

Határozott integrál

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok

  2. Területszámítás • Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. • A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. • Görbe vonalú trapéz.

  3. Görbe vonalú trapéz • A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük. • Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét. 3

  4. A görbe vonalú trapéz területe • Téglalapokkal közelítjük a keresett területet. • Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével. • Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk). ΔTk

  5. A görbe vonalú trapéz területe Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.

  6. Példa • Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon. • Osztópontok:

  7. A határozott integrál Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.

  8. A határozott integrál jele Felső határ Integrálási változó Integráljel Alsó határ Integrandus

  9. helyett vagy Az integrálási változó • A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. • Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk

  10. Geometriai értelmezés • Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.

  11. Példa • Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

  12. Példa • Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

  13. A határozott integrál tulajdonságai • Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:

  14. + A határozott integrál tulajdonságai • Az összeg, különbség tagonként integrálható:

  15. Példa

  16. A határozott integrál tulajdonságai • Az integrálás határait feloszthatjuk:

  17. Példa

  18. A határozott integrál tulajdonságai • Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:

  19. A határozott integrál tulajdonságai • Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.

  20. Példa

  21. A határozott integrál tulajdonságai • Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalábbegy olyan x0 az intervallumban, hogy:

  22. A határozott integrál tulajdonságai • Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:

  23. A [0,1] intervallumon y=cosx Példa • Igazoljuk az egyenlőtlenséget:

  24. A Newton-Leibniz tétel • Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:

  25. Példa

  26. Feladatok

  27. Helyettesítés a határozott integrálnál • Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!

  28. Parciális integrálás

  29. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

  30. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.

  31. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

  32. Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát: A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása. Az integrálok kiszámítása. Területszámítás integrállal

  33. Területszámítás integrállal A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok: A grafikon felrajzolása

  34. Területszámítás integrállal Az integrálok kiszámítása: Felső határoló görbe Alsó határoló görbe

  35. A forgástestek térfogata • Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.

  36. A forgástestek térfogata

  37. A gömb térfogata

  38. A görbe ívhossza • A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk. • A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük

  39. A görbe ívhossza • A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):

  40. A görbe ívhossza

  41. A kör kerülete • A félkörív hossza:

  42. Vége!!!

More Related