Principales distribuciones discretas 2011 - 0

1. Principales distribuciones discretas 2011 - 0

2. Distribución Binomial • Un experimento Binomial consiste de una serie de n pruebas o ensayos fijados antes de realizar el experimento. • Las pruebas son idénticas y cada una de ellas puede resultar en uno de dos posibles resultados: E y F. • Las pruebas son independientes entre si, por lo que el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de cualquier otro. • La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y se denota por π.

3. Distribución Binomial • La variable aleatoria se define como el número de éxitos obtenidos en los n intentos. • La distribución de probabilidad para X es: • Se dice que Xtiene distribución Binomial con parámetros n y π, y se denota por X ~ B( n, π). • Esperado Varianza

4. Distribución Binomial Ejemplo: Cuando una máquina está funcionando normalmente, el 10% de las piezas producidas resultan defectuosas. Suponga que se selecciona al azar tres piezas producidas en la máquina y que estamos interesados en el número de piezas defectuosas encontradas: Defina la variable aleatoria y describa en qué condiciones esta situación corresponde a una distribución binomial. Calcule la probabilidad de encontrar menos de dos piezas defectuosas. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria.

5. Distribución Binomial Ejemplo:Un cierto sistema mecánico contiene 10 componentes. Suponga que la probabilidad de que cualquier componente individual falle es de 0,07 y que los componentes fallan independientes unos de otros. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 2 componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos uno de los componentes? Hallar el valor esperado y varianza de la variable aleatoria.

6. Distribución Hipergeométrica • Consideremos una población de N elementos, de los cuales A tienen la característica de interés y, por lo tanto, N –A no la tienen. • Un experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin reemplazo una muestra de n elementos a partir de la población mencionada. • La variable aleatoria hipergeométrica se define como el número de elementos en la muestra que tienen la característica de interés.

7. Distribución Hipergeométrica • La función de probabilidad es: • Se escribe X  H(N, A, n,) • Esperado Varianza

8. Distribución Hipergeométrica Ejemplo: Se tienen lotes de 40 componentes. El proceso de inspección consiste en elegir al azar cinco de sus componentes y rechazar el lote si se encuentra al menos un componente defectuoso. Si en un lote que se inspecciona hay tres componentes defectuosos: • ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un componente defectuoso en la muestra? • ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote? • Calcule el valor esperado, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria.

9. Siméon Poisson (Francia 1781-1840) La vida es buena solamente por dos cosas,descubrir matemáticasy enseñar matemáticas

10. 1 minuto 1 minuto 1 minuto Distribución Poisson • Se usa en situaciones en las que el experimento da lugar a valores numéricos discretos de una variable aleatoria que ocurre durante un intervalo de tiempo o unidad de evaluación (área, volumen, etc.) • La variable aleatoria X se define como el número de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo o unidad de evaluación.

11. Distribución Poisson • La función de probabilidad es: •  es el número esperado de eventos por unidad de evaluación. • Se escribe: X P() • Esperado Varianza E[ X ] =  V[ X ] = 

12. Distribución Poisson Ejemplo: La única cajera de una agencia bancaria sabe por experiencia que entre las cinco y las seis de la tarde (hora en que cierra el banco) llegan a su agencia en forma aleatoria un promedio 2 personas por minuto según un proceso de Poisson. La cajera está obligada a atender a todas las personas que llegan hasta las seis de la tarde. Tres minutos antes de las seis de la tarde no hay nadie en la cola y en ese momento ella recibe una llamada telefónica que la obliga a ausentarse de su puesto durante diez minutos. Calcular la probabilidad de que al volver a su puesto hayan más de tres personas en la cola.