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2-2 二元一次方程式的圖形

2-2 二元一次方程式的圖形. 二元一次 方程式的解 的圖形. 二元一次聯立方程式的幾何意義. p60 溫故啟思. 4. 1. 3. 1. 4. 3. y. 1. x. O. 1. 3. 承2.,在坐標平面上標示 出 A 、 B 、 C 三點 的位置. C. B. A. =. 結論:. 二元一次方程式 的一組解. 直角坐標平面 的一個點. 相 同 意 義. y. (4,4). (3,3). (2,2). 1. x. O. 1. ( - 2, - 2).

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  1. 2-2二元一次方程式的圖形 二元一次方程式的解的圖形 二元一次聯立方程式的幾何意義

  2. p60溫故啟思 4 1 3 1 4 3

  3. y 1 x O 1 3. 承2.,在坐標平面上標示出 A、B、C三點的位置 C B A

  4. = 結論: 二元一次方程式 的一組解 直角坐標平面 的一個點 相 同 意 義

  5. y (4,4) (3,3) (2,2) 1 x O 1 (-2,-2) (-3,-3) (-4,-4) 二元一次方程式的解的圖形(舉例說明) p61探索活動:x-y=0的解的圖形 2 3 4 2 3 4 ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , 4 ) -2 -3 -4 -2 -3 -4 (-2,-2 ) (-3,-3 ) (-4,-4 )

  6. 一直線 會 是

  7. 結論: x=a y=b 一個二元一次方程式有 解 無限多組 無限多個點 (a,b) 直線 相連得到的圖形為 一個二元一次方程式的圖形就是直線 記為:L:ax+by=c

  8. 如何畫出二元一次方程式的圖形 結論: 畫一條直線 不同的兩點 因為通過 即可畫出一條直線 不同的兩個解 所以只要找出 就可以畫出二元一次方程式的圖形 a 最好找兩坐標軸上的點,即求 (0,b) (a,0) b

  9. y (-4 , 2 ) 1 x O 1 p62隨堂練習 1. 試列出方程式 x+2y=0的四組解,  並標示在坐標平面上。 ( 2 ,-1 ) (-2 , 1 ) ( 4 ,-2 ) L:x+2y=0 2. 承 1.,任取兩點畫一直線 L, 則直線 L 是否會通過其餘各點? 是

  10. 3. 承 2.,直線 L 是否會通過原點? 是 由x-y=0、x+y=0或 x+2y=0等例子可知 因為 x=0,y=0必為 ax+by=0的一組解 所以 ax+by=0的圖形 必通過原點 O ( 0 , 0 ) ( a、b不全為 0 ) 且反之亦然!

  11. y 1 (0,0) x O 1 (1, - 2) p63隨堂練習(找兩組解畫直線) 在坐標平面上畫出方程式 2x+y=0的圖形。 2x+y=0

  12. p64隨堂練習(點=解) 已知直線 L:x+2y=0,試問: 若P點坐標為 (-100 , 50 ) 則P點是否在直線L上? 是 (2) 若直線 L 通過點 Q ( 30 , k ),則 k 值為何? = x=30,y=k為 x+2y=0的解 即 30+2k=0,故 k=-15

  13. 加分題 若(2 , a) 、(-3 , b)、(c , 8)、(d ,-4) 都在二元一次方程式 x+2y=6 的圖形上 求 a+b+c+d=? 10.5 a=2,b=4.5,c=-10,d=14

  14. y 1 (4,0) x O 1 (0,-3) p65隨堂練習(ax+by= c的圖形) 在坐標平面上畫出方程式 3x-4y=12的圖形。 3x-4y=12

  15. p66隨堂練習(點=解) 已知直線 L:x=2y-6,試問: 若 Q 點坐標為 ( 0 , 0 ), 則 Q 點是否在直線 L 上? 否 (2) 若直線 L 通過點 P (-10 , k ),則 k 值為何? = x=-10,y=k為 x=2y-6的解 即 -10=2k-6,故 k=-2

  16. y (-2,1) 1 x O (-2,0) 1 p67隨堂練習(ax+c=0的圖形) 將方程式 x+2=0改寫為x+0y+2=0, 試找出此方程式的兩組解,並畫出圖形。 x+2=0

  17. y (0,5) (1,5) 1 x O 1 p68隨堂練習(by+c=0的圖形) 1. 已知直線 L:y=5,試畫出直線 L 的圖形。 y=5 2.承1, 若 Q 點坐標為 ( 5 , 0 ) 則 Q 點是否在直線 L 上? 否 3.承1, 若直線 L 通過點P (-23 , k ) 則 k 值為何? 5

  18. 結論: 方程式ax+c=0 的圖形是一條 方程式by+c=0 的圖形是一條 與 x 軸垂直 與 x 軸平行 的 鉛 直 線 與 y 軸垂直 與 y 軸平行 的水平線 而方程式 x=0的圖形 即為 y 軸 而方程式 y=0的圖形 即為 x 軸

  19. 加分題 下列二元一次方程式的圖形,哪些通過原點? (A)3x+2y=0 (B)y=x+2 (C)5x=3y (D)2(x+2y+2)=3x+2y+4 (A)、(C)、(D)

  20. 加分題 直角坐標平面上 通過一點(3 , 6)且垂直x軸的方程式為何? x-3=0 ax+c=0

  21. y 1 x O 1 p69隨堂練習(判斷直線通過的象限) 直線 L:2x-3y=12不通過哪一個象限? 方法一:畫圖檢查 方法二:係數判斷 2x-3y=12 正 正 正 數 ×?-數 ×?≠數 x為負數 y為正數 不通過第二象限!

  22. y 1 x O 1 係數為符號時的判斷作法 難題說明 a<0 b<0 設a、b均代表數,若a+b<0,ab>0, 則直線ax+by+ab=0不通過第幾象限? 方法一:畫圖檢查 方法二:係數判斷 >0 ax+by+ab=0 >0 負 負 正 數 ×?+數 ×?+數 ≠0 x為負數 y為負數 不通過第三象限!

  23. 邏輯練習題 有四人參加田徑比賽, 已知結果如下,請問四人誰是冠軍? 甲不是第一名 甲如果不是第二名,乙就不是第一名 乙不是第三名的話,丙就不是第四名 丙是第三名的話,則丁的名次比甲前面 乙名次比丙前面

  24. 之前工作 直線圖形 二元一次方程式 現在問題 x軸或平行x軸的直線 y=k y軸或平行y軸的直線 x=h 過原點之斜直線 y=ax y=ax+b 一般之斜直線

  25. p70隨堂練習(求直線方程式) 已知點 P ( 0 , 7 ) 在直線 L:9x+by=7上,試求 b 值。 = x=0,y=7為 9x+by=7的解 即 7b=7,故 b=1

  26. p71隨堂練習(求直線方程式) 如右圖,已知直線 L:y=mx+k通過A、B兩點,試求直線 L 的方程式。 x=-3,y=0和x=0,y=-2為y=mx+k的解

  27. 2a=2 -a-b=2 加分題 已知方程式 ax+by=2 的圖形為 通過 A(2 , 0)、B(-1 ,-1)兩點的直線 求出這條直線所代表的方程式 x-3y=2 將(2 , 0)、 (-1 ,-1)代入ax+by=2 a=1,b=-3

  28. p72探索活動:線上一點的位置 承例題 11,若 P ( 5 , n ) 在直線 AO 上,則: (1) n 值為何? ( 5 , 2 ) (2) C 點位在 P 點的上方還是下方? 兩者的距離為何? 下方

  29. p73隨堂練習(三點共線的判斷) 如右圖,已知 A ( 7 , 3 )、C (-5 ,-2 ), 且設通過 A、O兩點的直線方程式為 y=mx+k,試求: (1) m、k之值。 (2) 直線 AO 是否通過 C 點? • 3=7m+k • 0=k 否

  30. 加分題 1.已知某二元一次方程式的圖形 為通過A(1 , -1)、B(1 , 2)兩點的直線 則此方程式為何? 鉛直線 x=1 2.已知某二元一次方程式的圖形 為通過A(-2 ,-6)、B(2 , 6)兩點的直線 則此方程式為何? y=3x 通過原點的直線

  31. x-y=1 x+2y=4 x=2 y=1 二元一次聯立方程式的幾何意義 舉例說明 圖形 • 兩條直線 交點 • 解

  32. 結論: 幾何意義 代數形式 直線 二元一次方程式 二元一次 聯立方程式 兩條直線 二元一次 聯立方程式的 解 兩條直線的 交點

  33. p75隨堂練習(聯立方程式恰有一解 =兩直線交於一點) 2x- y=1  2x+6y=8  -:7y=7 y=1 x=1 A:x=1,y=1

  34. 相交於一點(1 , 1)

  35. 是! x=1,y=1 (1 , 1)

  36. p76隨堂練習(聯立方程式有無限多組解 =兩直線重合)   ÷2:y=5x-10 5x-y=10 = A:無限多組解

  37. 重合

  38. p77隨堂練習(聯立方程式無解 =兩直線平行)   x= 和矛盾  A:無解

  39. 平行

  40. ax+2y=4 x+by=11 以前的問題 現在的問題 若二元一次聯立方程式 的解為 x=2, y=3 求a、b的值 已知二元一次方程式 ax+2y=4 與x+by=11 的圖形交於 A(2 , 3) 求a、b的值 -1 3 -1 3

  41. 結論: 二元一次聯立方程式 解的形式 兩條直線 相交的情形 恰有一組解 相交於一點 重合 無限多組解 無解 平行

  42. 補充結論: = = 無限多 組解 重合 = ≠ 無解 平行 相交於 一點 ≠ 恰有 一組解

  43. y=4x-10 難題說明 原本通過的兩點為 新直線通過的兩點將是 直線方程式 y=mx+k 若過此兩點將會滿足 • 6=4m+k • m=4 0=2.5m+k k=-10

  44. y 1 x O 1 加分題 試求兩直線 L:y=-x+4與 M:y=2 ( x-1 ) 在坐標平面上與 x 軸所圍區域面積。 3 M:y=2 ( x-1 ) 交點坐標為(2 , 2) 面積= 3 × 2 ÷ 2 = 3 L:y=-x+4

  45. p78自我評量 1. 如右圖,試問下列哪一點的坐標是方程式 x-y+3=0的解?  (A) A (B) B (C) C (D) D (B)

  46. 下列何者為 直線 4x-y=3和直線 x+6y-7=0 的交點坐標?           (A) ( 0 ,-3 )  (B) ( 1 , 1 )  (C) ( 2 , 5 )   (D) (-1 ,-4 ) (B)

  47. 5. 已知直線 L:x-4y+4=0,則:   (1) 直線 L 不通過第幾象限?   (2) 直線 L 與兩軸的交點坐標為何? (3) 直線 L 與兩軸所圍成的三角形面積為何? 第四象限 與 x 軸交於(-4 , 0 ) 與 y 軸交於( 0 , 1 ) 2 面積= 4 × 1 ÷ 2 = 2

  48. 6. 如右圖,已知直線 L:y=mx+k通過 A、B兩點 試求直線 L 的方程式。        • 2=k -2=3m+k • m=- k=2 y=-x+2

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