Mechanika kwantowa
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 24

Mechanika Kwantowa PowerPoint PPT Presentation


  • 77 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Mechanika Kwantowa. IV. Atom wodoru. WYKŁAD 12. Stany stacjonarne w potencjale centralnym. Plan wykładu. hamiltonian cząstki w polu centralnym, separacja zmiennych, radialne równanie Schrödingera, liczby kwantowe, zagadnienie dwóch ciał. Hamiltonian cząstki w polu centralnym.

Download Presentation

Mechanika Kwantowa

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Mechanika kwantowa

Mechanika Kwantowa

IV. Atom wodoru

WYKŁAD 12

Stany stacjonarne w potencjale centralnym


Plan wyk adu

Plan wykładu

  • hamiltonian cząstki w polu centralnym,

  • separacja zmiennych,

  • radialne równanie Schrödingera,

  • liczby kwantowe,

  • zagadnienie dwóch ciał.


Hamiltonian cz stki w polu centralnym

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Zakładamy, że cząstka o masie  porusza się w pewnym polu, którego centrum umieszczone jest w początku układu współrzędnych. Energia potencjalna cząstki dana jest funkcją V=V(r) i zależy jedynie od odległości cząstki od centrum pola.

Mówimy wtedy, że cząstka porusza się w polu o potencjale centralnym.


Hamiltonian cz stki w polu centralnym1

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Hamiltonian cząstki poruszającej się w polu centralnym ma postać

gdzie

Postać hamiltonianu zależy od postaci członu opisującego energię potencjalną.


Hamiltonian cz stki w polu centralnym2

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Stacjonarne równanie Schrödingera ma postać:

W rozpatrywanym przez nas przypadku potencjał ma z założenia symetrię sferyczną, tak więc bardziej użytecznym będzie posługiwanie się układem współrzędnych sferycznych.


Hamiltonian cz stki w polu centralnym3

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Laplasjan we współrzędnych sferycznych ma postać

dla dowolnej funkcji zależnej od zmiennych

Pamiętamy, że operator L2 ma postać (we wsp. sferycznych, w reprezentacji położeniowej):


Hamiltonian cz stki w polu centralnym4

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Możemy więc napisać

pamiętając, że oba człony prawej strony równoważności działają na funkcję zależną od zmiennych


Hamiltonian cz stki w polu centralnym5

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Musimy więc rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych w postaci


Hamiltonian cz stki w polu centralnym6

Hamiltonian cząstki w polu centralnym

Operator momentu pędu we wsp. sferycznych (Wykład 11)


Separacja zmiennych

Separacja zmiennych

Ponieważ składowe operatora momentu pędu działają jedynie na zmienne kątowe, więc komutują one ze wszystkimi operatorami działającymi na zmienną radialną. Mamy więc:

Tak więc jako zupełny zbiór komutujących obserwabli wybieramy H, L2 oraz L3, dla których to operatorów mamy wspólne stany własne.


Separacja zmiennych1

Separacja zmiennych

Możemy napisać:

Pamiętamy także (Wykład 11), że:

gdzie Y to tzw. harmoniki sferyczne.


Separacja zmiennych2

Separacja zmiennych

Zapisując hamiltonian w postaci

gdzie:

równanie Schrödingera przybierze formę:

(lewa strona zależna od r, prawa od )


Separacja zmiennych3

Separacja zmiennych

co pozwala nam dokonać faktoryzacji funkcji falowej:

Należy więc rozwiązać „jedynie” równanie


Radialne r wnanie schr dingera

Radialne równanie Schrödingera

Wykorzystując postać funkcji falowej:

w równaniu

otrzymamy radialne równanie Schrödingera:


Radialne r wnanie schr dingera1

Radialne równanie Schrödingera

Ponieważ w równaniu radialnym występuje liczba kwantowa l oraz wiemy, że dla każdego l mamy 2l+1 możliwych wartości liczby kwantowej m, tak więc funkcja radialna R(r) będzie zależeć od dwóch parametrów:

gdzie sens fizyczny liczby kwantowej a zostanie podany w następnym wykładzie.


Radialne r wnanie schr dingera2

Radialne równanie Schrödingera

Radialne równanie Schrödingera przyjmie więc postać:

Można uprościć powyższy zapis wprowadzając zależność:

otrzymując:


Radialne r wnanie schr dingera3

Radialne równanie Schrödingera

Radialne równanie Schrödingera możemy także zapisać w postaci

gdzie potencjał efektywny:


Radialne r wnanie schr dingera4

Radialne równanie Schrödingera

Można wykazać, że dla potencjału w postaci , gdzie , w pobliżu r = 0 funkcja radialna powinna się zachowywać jak:


Liczby kwantowe

Liczby kwantowe

Podsumowanie

1) Dla cząstki poruszającej się w potencjale centralnym funkcje falowe zależą co najmniej od trzech liczb kwantowych

Funkcje te są funkcjami własnymi operatora Hamiltona, kwadratu momentu pędu oraz rzutu momentu pędu na oś z.


Liczby kwantowe1

Liczby kwantowe

2) Funkcje odpowiadają wartościom własnym:

- energia

- pełny moment pędu

- rzut momentu pędu na oś z

Nazewnictwo liczb kwantowych:

a –główna (radialna) liczba kwantowa;

l – orbitalna liczba kwantowa;

m – magnetyczna liczba kwantowa


Liczby kwantowe2

Liczby kwantowe

3) Funkcje falowe spełniają równania

gdzie:


Zagadnienie dw ch cia

Zagadnienie dwóch ciał

Zakładamy, że dwa ciała o masach m1 i m2 oddziałują ze sobą z potencjałem zależnym jedynie od ich wzajemnej odległości:

Wprowadzamy nowe zmienne:

m2

z

r

r2

m1

rŚM

r1

y

x


Zagadnienie dw ch cia1

Zagadnienie dwóch ciał

Lagranżjan w postaci:

w nowych zmiennych przyjmie formę:


Zagadnienie dw ch cia2

Zagadnienie dwóch ciał

Zalety wprowadzenia nowych zmiennych:

  • zagadnienie dwóch oddziałujących z sobą ciał zostało sprowadzone do zagadnienia dwóch cząstek (fikcyjnych), które ze sobą nie oddziałują;

  • jedną z fikcyjnych cząstek jest środek masy (ŚM) o masie m1+m2, którego pęd jest zachowany. Ruch ŚM możemy pominąć przechodząc do układu środka masy, w którym

  • drugą cząstką jest cząstka o masie

    (masa zredukowana) poruszająca się w polu o potencjale V(r), której ruch musimy wyznaczyć.


  • Login