From the Riemann Integral to the Fundamental Theorem of Calculus: an approach with Applet Descartes

1. INTERNATIONAL CONGRESS OF MATHEMATICIANS Madrid 2006 From the Riemann Integral to the Fundamental Theorem of Calculus: an approach with Applet Descartes Autor: Eduardo Tellechea Armenta Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora Universidad de Sonora 24/08/06

2. Objetivo General Potenciar el uso de la tecnología, particularmente del APPLET DESCARTES, en la enseñanza del concepto de Integral, mediante el diseño de ambientes computacionales interactivos que permitan ir más allá de la graficación tradicional y pasar al campo de la visualización dinámica, donde las representaciones gráficas adquieran nuevos significados. Objetivo particular Presentar un enfoque gráfico para el estudio de la Integral como función del extremo superior, transitando gradualmente desde las sumas de Riemann hasta el Teorema Fundamental del Cálculo. El trazo de la Función Integral y la interacción que se establece entre el estudiante y el software, es aprovechado para extraer, de la representación dinámica, la relación entre la función y su integral.

3. Principios generales • 1.Un ambiente computacional diseñado para la enseñanza, debe permitir al estudiante interactuar con las representaciones proporcionadas por la computadora, al nivel de poder modificarlas, como una manera de detectar patrones de comportamiento y formular conjeturas sobre los objetos representados y sus características. • 2.  Una primera aproximación gráfica a los conceptos matemáticos, puede ser útil para crear una base de significación más concreta, antes de examinar estos conceptos a un nivel más abstracto, y la manipulación de las representaciones dinámicas, por el estudiante, puede ayudar a construir esta base de significación.

4. Organización del trabajo Este trabajo inicia con la exploración de la Integral de funciones sencillas, como constantes, escalonadas, lineales y seccionalmente lineales, con el fin de que el estudiante se familiarice con la Integral como una función del extremo superior. Posteriormente, partiendo del concepto de integral a través de sumas de Riemann, se construye un trazador de la Función Integral, que proporciona un ambiente visual que, mediante la exploración y la interactividad, permitirá el descubrimento de la relación entre una función y su Integral, estableciéndose de manera visual, el resultado del Teorema Fundamental del Cálculo.

5. Sumas de Riemann Iniciamos nuestro estudio presentando al estudiante un Applet que grafica y calcula Sumas de Riemann. Es posible modificar libremente la función, los extremos del intervalo de integración y el número de subdivisiones de la partición. En todo el trabajo, con el fin de facilitar la comprensión del concepto, se hará uso de las más sencillas funciones integrables que aparecen en el Cálculo.

6. La Integral como función del extremo superior El objetivo de estas actividades es que el estudiante se familiarice con la integral como una función del extremo superior e interactuando con la computadora, pueda descubrir de manera visual las condiciones bajo las cuales la integral resulta una función continua o derivable, teniendo así un primer acercamiento gráfico al Teorema Fundamental del Cálculo. Ver ActividadVer Actividad

7. La Integral de funciones lineales El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, el comportamiento de la integral de una función lineal y conjeture sobre la relación entre ambas funciones. Ver Actividad

8. La Integral de funciones escalonadas El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, la integral de funciones escalonadas y descubra que su función integral es continua, así como que la pendiente de cada segmento lineal, de la integral, es la altura del escalón Ver Actividad

9. LaIntegral de funciones seccionalmente lineales El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, en casos sencillos, funciones continuas y discontinuas con el fin de conjeturar sobre el comportamiento de la función integral en cada uno de estos casos. Ver Actividad

10. Un Trazador de la Función Integral En la gráfica se muestra la construcción de un trazador de la función Integral. A medida que la función escalonada se aproxima a la función, la correspondiente integral de la función escalonada, se aproxima a la Integral de la función f.

11. Referencias: ABREU, J.L. – OLIVERÓ, M. (2003) Applet Descartes (software), Ministerio de Educación Cultura y Deporte de España. PROYECTO DESCARTES, Página web: http://descartes.cnice.mecd.es/ TELLECHEA, A.E. (2004), El Applet Descartes en el diseño de actividades interactivas de Matemáticas Notas de curso para profesores. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora.