Unscharfes Schließen

1. Unscharfes Schließen Oder: Was man aus unscharfen Prämissen schließen kann?

2. Inhalt • Linguistische Variable • Begriff, Beispiel • Unscharfes Schließen • Modifizierungsregeln • Modifikatoren: sehr, mehr oder weniger, nicht • Verknüpfungsregeln (Fuzzy Logik): Und, Oder, Implikation und Relationen • Bewertete linguistische Variable • Qualifizierungsregeln: wahrheits-, wahrscheinlichkeits- bewerte Ling. Variable, möglichkeits- bewertet

3. Linguistische Variable • Variable u, die unscharfe Mengen als Werte annehmen kann • unscharfe Werte mit Umgangssprache benannt • Mengensystem T ... Terme von u (linguistische Werte) U Universum von u (Grundmenge) G Menge von syntaktischen Regeln (Grammatik) Menge semantischer Regeln (ordnet Term unscharfe Menge zu) • Entwicklung von Grobmodellen

5. Unscharfes Schließen • gegeben ist unscharfes Schlussschema mit u, v ling. Variablen; A, B unscharfe Werte u=A Premise | A is true IF u=A Then v=BoderImplication | If A then B v=B Conclusion | B is true • wichtig als Gesichtspunkt von Expertensystemen • sinnvolle Verarbeitung solcher unscharfen Informationen (Verarbeiten von ling. Begriffen in mathematische Beziehungen) • bestimmte Regeln unterteilt in Modifizierungs-, Verknüpfungs- und Qualifizierungsregeln

6. Modifizierungsregeln • modified fuzzy datum definiert als u = mod A • Modifikatoren: • Standard (Vorschlag von Zadeh) u=C: • C = sehr A : • C = mehr oder weniger A : • C = nicht A : • Verknüpfungen möglich: • C = sehr sehr A : • C = nicht sehr A :

7. sinnvolle Verknüpfungen in Grammatik festlegen • z.Bsp: sehr von mittlere Anzahl oder sehr (niedrig oder hoch) verbieten • Festlegung bei sehr und mehr oder weniger häufig nicht akzeptabel: stimmt stimmt weniger stimmt nicht • Abhilfe: Verknüpfung Modifikator mit Translation

9. Verknüpfungsregeln • Kombination mindestens 2er Fuzzy-Werte: u linguistische Variable im Universum U v linguistische Variable im Universum V • unscharfe Werte: A aus U, B aus V • wichtigsten Kombinationen: u = A und v = B conjuction u = A oder v = B disjunction wenn u = A dann v = B implication • zylindrische Erweiterung und

10. conjunction disjunction implication • wichtige Operatoren: UND T=minimum T=algebraic product T=bounded difference T=minimum in den meisten Fällen beste Wahl

11. ODER • kein Operator festgelegt; Wahl problemspezifisch (sogar möglich eigenen Operator zu entwickeln)  nur das Ergebnis zählt • Bsp: • „u ist ungefähr 2“ in U={1,2,3} und „v ist groß“ in V={1,2,3,4}

12. zylindrische Erweiterung von A und B • T=minimum,

13. If ... Then –Operator (Implikation und Relationen) • If u = A Then v = B  Fuzzy-Implikation • Relation • Zugehörigkeitsgrad • unsch. Relation „ungefähr gleich“  •  • bj=sup min{ ai, rij}

14. Beispiel If ... then: • Universum U={1,2,3,4} • unsch. Wert A = „groß“ = {(1,0), (2 , 0.4), (3 , 0.6), (4 , 0.8), (5,1)} • Relation R = „ungefähr gleich“ • ges. Werte für B mit B=A°R • für y=3  B= {(1, 0.4), (2, 0.6), (3, 0.7), (4, 0.8), (5, 1)}

15. möglicher Schluss: x ist groß x und y sind ungefähr gleich y ist mehr oder weniger groß • unscharfe Relation für If ... then: oder Not (u=A) Or (v=B) oder  so genannte Lukasievicz-Implikation

16. If v = Ai then u = Bi i = 1,...nn Kontrollsystem • Relation dafür ist Lösung von • R beschreibbar als ist kleinste R‘ und R‘‘ umfassende Lösung  nur eine größte, aber mehrere minimale Lsg. • A „minus“ B:

17. isotonische Implikation T=minimum • Lösungskriterium für Gleichung B=A°R • Beispiel: A=(1; 0.8; 0.6; 0.5), B=(1; 0.3; 0.6; 0.5)

18. Bewertungsregeln • Wert A einer linguistischen Variable linguistisch bewerten mit Bewertungsvariable g  g(A) ist T • g|F(U)[0,1] heißt Bewertungsfunktion • g bewertet alle F(U) mit Grad g(A)=t zwischen 0 und 1 g(A)=T • verschiedene Bewertungsfunktionen denkbar: • wahrheitsbewertet (truth qualified evaluation) • wahrscheinlichkeitsbewertet (probability qualified evaluation) • möglichkeitsbewertet (possibility qualified evaluation) • Bsp.: u ling. Variable „Fahrzeuganzahl“, A Wert „Hohe Anzahl“ wahrheitsbewertet „Es ist ziemlich falsch, dass die Strasse eine hohe Fahrzeuganzahl hat“ Truth (hohe Anzahl) ist ziemlich niedrig g A T

19. wahrscheinlichkeitsbewertet „Es ist mehr oder weniger wahrscheinlich, dass die Strasse eine hohe Fahr- zeuganzahl hat“ Prob (hohe Anzahl) ist moderat possibilistisch bewertet „Es ist sehr wohl möglich, dass die Strasse eine hohe Fahrzeuganzahl hat“ Poss (hohe Anzahl) ist hoch • Realisierung • wahrheitsbewertet: • wahrscheinlichkeitsbewertet: • möglichkeitsbewertet

20. Übersetzung von g(A) ist t in Fuzzy - Menge C auf [0,1]F(U)durchmC(g) := mT(g(A)) g(A) ist T C mit mC(g) := mT(g(A)) • gut bei Teilmengen von [0,1]F(U) : z. Bsp. parametrische Wahrsch.-werte • Beispiele: • Gradverteilung

21. dargestellt durch: a) Truth-Bewertung Übersetzung mA(x) nach mT(mA(x))  mC(x) = m ziemlich niedrig (mA(x)) = m ziemlich niedrig (mA(58)) = 0.66667  Truth(58) = 0.3 „Es ist ziemlich falsch dass 58 eine hohe Fahrzeuganzahl ist“ Schlussfolgerung: „Die Strasse hat eine mittlere Anzahl von Fahrzeugen/h“

22. b) Probabilitäts-Bewertung • Übersetzung mC(P) nach mT(PROBP(A)) • Dichtefunktion f(x) = le-lx mit l:= 1/EX; bei erwarteter Fahrzeug- anzahl 56 l=1/56 • = mA(x)  • „Die Wahrscheinlichkeit das die Strasse eine Fahrzeuganzahl/h von 56 hat ist moderat“

23. Quellen: • „Einführung in Fuzzy-Methoden“ Hans Bandemer, Siegfried Gottwald • „Fuzzy Set Theory“ H.-J. Zimmermann