CHƯƠNG 1

CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -----

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • 3) Nhân hai ma trận: Ví dụ:

vô hướng • Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tính chất của tích các ma trận: • Định lý 4:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chứng minh (1) Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq Ta cần cm: E=G Tính : Dmxp? Phần tử d11? Các phần tử hàng 1 của D:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Các phần tử hàng 1 của D: Tính Emxq?: Tính e11:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tính eij: Vậy E=G (đpcm)

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chú ý: 1) Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quát AB khác BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán). Ngược lại, nếu AB=BA thì ta nói A và B giao hoán với nhau Ví dụ: 2) Giả sử: A khác không và B khác không, thì có thể AB=0. Do đó khẳng định “AB=0 thì A=0 hay B=0” là sai. Ví dụ:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Định lý 5: Cho Amxn, Bnxpthì Chứng minh:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Lỹ thừa ma trận: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi lũy thừa bậc k (k: số nguyên) của A là một ma trận cấp n (ký hiệu Ak) được xác định một cách quy nạp như sau • Ma trận lũy linh: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện Ak=0 với một số nguyên k nào đó thì A gọi là một ma trận lũy linh. Ví dụ:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tính chất: Cho A là ma trận vuông cấp n, r và s là hai số nguyên

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang chính tắc: • Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính. • Những hàng gồm toàn những phần tử không nằm ở dưới cùng. • Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới. • Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang: • Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0. • Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên. Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 5. Ma trận vuông khả nghịch: • Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n khác không, ta nói A khả nghịch khi tồn tại ma trận B cùng cấp với A sao cho: AB=BA=In. Khi đó ta nói B là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu: B=A-1. • Nếu A không khả nghịch, ta nói A suy biến. • Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma trận nghịch đảo của B.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tính chất: • Nếu A có một dòng bằng 0 (hay một cột bằng 0) thì A suy biến. • Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất. • Nếu A khả nghịch thì AT, αA (α≠0), A-1 cũng khả nghịch và hơn nữa: • Nếu A và B cùng khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1=B-1A-1. • Nếu A1, A2,…,An cùng khả nghịch thì tích của chúng cũng khả nghịch và (A1A2…An)-1=An-1An-1-1…A1-1.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: Cho ma trận vuông A cấp n: Bước 1: Lập ma trận có dạng [An|In]. Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa [A|I] về dạng [A’|B]. Có 2 trường hợp: • MT A’ có một dòng (hoặc một cột) bằng 0. Ta dừng lại và kết luận A suy biến. • MT A’=In. Ta dừng lại và kết luận A khả nghịch, và ma trận nghịch đảo A-1=B.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 5. Hệ phương trình đại số tuyến tính: • Định nghĩa: Một hệ PT ĐSTT trên R là một hệ gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn) có dạng tổng quát: (*) trong đó các aij (gọi là các hệ số) và các bi (các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, các xj là các ẩn cần tìm. • Ta nói (c1,c2,…,cn) là nghiệm của hệ (*) nếu khi thay x1=c1, x2=c2…,xn=cn vào (*) thì tất cả các đẳng thức trong (*) đều thỏa.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Nếu các hệ số tự do bi=0 thì hệ trở thành hệ PT ĐSTT thuần nhất. • Hệ PT ĐSTT thuần nhất có ít nhất một nghiệm là (x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0): gọi là nghiệm tầm thường. • Định lý: Đối với một hệ PT ĐSTT thì chỉ có một trong 3 trường hợp nghiệm: • Có nghiệm duy nhất, • Có vô số nghiệm, • Vô nghiệm. • Hệ quả: Hệ PT ĐSTT thuần nhất chỉ có: • Nghiệm tầm thường, • Vô số nghiệm.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Hệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau: Ma trận hệ số. Ma trận hằng số. Ma trận ẩn số.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ký hiệu: Ma trận hệ số mở rộng của hệ (*).

CHƯƠNG 1

CHƯƠNG 1

Presentation Transcript