第二章
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第二章. 電 阻 電 路. 2.1 克希荷夫定律 2.2 歐姆定律 2.3 等效次電路 2.4 串聯等效電路和分壓 2.5 並聯等效電路的分析 2.6 戴維寧和諾頓等效電路 總 結. 簡單且常用的電路元件是 電阻 。所有電的導體均有電阻的特性,金屬內的電流乃因電子碰撞排列規律的原子晶格所形成,當然因碰撞也妨礙或阻止電子的移動,碰撞次數愈多,產生的阻抗愈大;其它物質的電荷載子與自由電子流經晶格時的週遭環境可能不同,但電荷移動受到阻力的原理是相同的。. 2.1 克希荷夫定律. 克希荷夫 電流定律 和克希荷夫 電壓定律 。

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第二章

電 阻 電 路


  • 2.1 克希荷夫定律

  • 2.2歐姆定律

  • 2.3等效次電路

  • 2.4串聯等效電路和分壓

  • 2.5 並聯等效電路的分析

  • 2.6戴維寧和諾頓等效電路

  • 總 結


  • 簡單且常用的電路元件是電阻。所有電的導體均有電阻的特性,金屬內的電流乃因電子碰撞排列規律的原子晶格所形成,當然因碰撞也妨礙或阻止電子的移動,碰撞次數愈多,產生的阻抗愈大;其它物質的電荷載子與自由電子流經晶格時的週遭環境可能不同,但電荷移動受到阻力的原理是相同的。


2.1 克希荷夫定律

  • 克希荷夫電流定律和克希荷夫電壓定律。

  • 電路乃包含兩個以上電路元件,以完美導體連接,而完美導體是容許電流無阻抗的通流導線 ( 無電荷累積或電壓降,且無功率和能量耗損 ) 若電路以此界定,那能量須考慮能完全集中在每一電路元件內,因而稱此種電路為集總電路。


節點

(a) 三節點電路;(b) 重繪同一電路。


克希荷夫電流定律 (KCL)

  • 二個以上電路元件連接在一點,這接點稱為節點。

  • 進入任何節點的電流代數和為零。

  • 進入任何節點的電流和,等於離開此節點的電流和。


例題2.1一KCL例題,求圖2.3中

電流?

1街街

2

3

4

圖2.3KCL例題

進入節點的電流和為


克希荷夫電壓定律 (KVL)

  • 任何封閉路徑的電壓降代數和為零

  • 沿著一封閉路徑的電壓昇代數和等於零

在封閉路徑周圍的電壓


例題2.2  使用KVL求圖2.5的 。以a點開始順時針繞行迴路得

或 。若從b點開始逆時針繞行得

兩者得相同結果。以壓昇和的形式可得兩種相同的方程式:第一種從b開始以逆時針繞行;另一種從a開始以順時針方向繞行。最後,順時針表示壓降等於壓昇,得


2.5KVL電路圖例


例題2.3  使用KCL和KVL求圖2.6中,全部未知的電流和電壓值。

右迴路以順時針繞,得電壓降和為

左迴路得

左迴路的等式因先前已知 ,可代入得 ;若 未知,要求 ,可利用外部迴路得


此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

接著求未知電流,在左上節點依KCL流進的和等於流出的總和得

此節點右邊的節點為

其中 流出,且3A和-2A兩者流入(+2A流出相當於-2A流入)。

故在右節點


右下節點得此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

最後

電路上的同一元件其克希荷夫定律完全相同;只有在拓撲電路還需考慮此元件是如何互相連接。


歐姆定律敘述跨於電阻器上的此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。電壓正比於流過它的電流,此比值便是電阻器的電阻,以歐姆表示。

2.2 歐姆定律

電阻值

,單位為歐姆


例題此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.4  在圖2.7中,若 且 ,求得電流為

若R改為 ,則在相同電壓,電流變為

過程可簡化記成 ,以此類推


線性電阻器與非線性電阻器此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

依歐姆定律此電阻器稱為線性電阻器。

電阻器若與電流 - 電壓規則不同則稱為非線性電阻器,其阻抗依流經他的電流不同而有所差異

(a) 線性電阻器的電流 - 電壓關係圖例;(b) 非線性電阻器的電流 - 電壓關係圖例。


電阻器瞬間功率此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

  • 因電阻器的是正值 (且也非負值 ),故此元件是耗損功率,積分瞬間功率也是非負值,因此電阻器符合被定義為一被動元件。


電 導此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

  • SI的電導單位是西門子(Siemens),以S符號表示。

  • 電導另個單位是姆歐,在美國較普遍使用,是將電阻歐姆倒唸而表示符號也將顛倒成


例題此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.5  圖2.10求電流 和 電阻器吸收的功率p和每半小時散逸的能量

若 和 皆符合被動符號習用法,依歐姆定律 式子,得i=10V/1000Ω=10mA,且

,因此功率在半小時中是常數,故依(1.7)是在 到

秒得


此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.10 例題2.5電路


短路和開路此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

  • 短路是電阻值為0,即良好的導體可傳導任何容量的電流,不會在其上產生電壓降。

  • 短路如同兩點以一線相連。

  • 開路表示電阻為0西門子,即良好絕緣體不管供應任何電壓都無法使電流流過。

  • 開路等於一個無窮大的抗阻,如同一條斷線。


2.3 此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。等效次電路

  • 次電路是電路的任何部分,其包括任何數目互連的元件,但只有兩個端,稱為雙端次電路。

  • 兩個雙端次電路有相同的端點定律,則視為等效。

  • 等效的重要性是“等效次電路可任意調換而不會改變外在的電流或電壓”。


   求圖此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.13中兩個次電路的端點定律。在2.13(a) 中 ;在 (b) 中將歐姆定律應用到每一電阻器,得 ,則依KVL, 或

,因端點定律相同,故次電路也等效。

例題2.6


2.4 此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。串聯等效電路和分壓

  • 若兩個相鄰元件共用一個節點,且沒有其它電流流進,則可稱為串聯,元件不相鄰但兩者與同一元件串接也可算是串聯,因此串聯元件鏈可以是任何長度形式

  • 依KCL,串聯的元件流過的電流一樣。

  • N個電阻器串聯的通式


分壓的基本原理此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

  • 跨於串聯電阻上的電壓和它的阻抗成正比。

  • 在一個分壓器上較大的阻抗可分得較大的電壓降。


例題此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.7 圖2.16中,若 上的電壓為 求

值等於多少?因 依KVL, 因 形成一個分壓器,它們的電壓依它們阻抗的比例,電壓比為

,故阻抗比例 ,若 則

圖2.16 分壓器例題


例題此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。2.8另例如圖2.17中,若 ,求迴路電流、電阻電壓和各元件釋放或損耗的功率?以

等效電阻取代三個串接電阻,依歐姆定律,迴路電流為

而電壓為

雖然我們不是明確的使用分壓原理,但三個電壓值對它們的阻抗是成比例關係。


接著計算功率,因 和 與 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得

功率損耗也和阻抗成比例關係,主要乃因分壓原理和串接元件具有相同電流的事實。最後,電源的 和

不符被動符號習用法 ( 電流參考方向指出,而非指入電壓參考方向的正端 ),故正 乘積意味供應了瞬間功率而不是損耗。電源釋出功率為


的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得2.17 單迴路電路

因此在電路中,瞬間釋出功率等於消耗功率,此即Tellegen’s定理或電功率守恆,在第10章會提到


例題 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得2.9求圖2.19(a) 中之

因三個電壓源串聯,以單一等效電壓源取代,電壓參考方向如圖2.19所示。

因 ,所以 。若我們指定與電源函數

相反參考方向,則可得 且 ,故

,再次得 ,所以等效電源函數不必去猜測其最好的參考方向。

圖2.19(a) 單迴路電路;(b) 等效電路。


串聯電壓源 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得

  • 串聯電壓源可等效成單一電壓源,而該電壓源的電源函數等於串聯的電源函數代數和。

  • N個電壓源串接,

    全部電壓是電壓函數

    的代數和。

(a) 串聯電壓源;(b) 等效電路。


2.5 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得並聯等效電路的分析

  • 若兩元件形成一迴路且不包含其它元件,則稱它們是並聯。

  • 元件並聯則兩端的

    電壓相同。

(a) 單節點電路;(b) 等效電路。


  • 一般 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得N個並聯電阻器可等效成單一電阻器,該電阻器電導值等於所並聯電阻器電導值的總和,表示成

  • 又可表示成


例題 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得2.10圖2.22中, 如何分配給四個電阻器?依它們的電阻分別求出電導為

和 ;依分流原理,電流分配比例為4比2比2比1

, 分得最多電流,而 最少,等效並聯電導和為

依 (2.16) 式,四並聯電阻電流分別


注意電流比值為 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得(4:2:2:1)

圖2.22 分流範例


讓我們來瞭解功率如何被分配,電壓可從等式中求得讓我們來瞭解功率如何被分配,電壓可從等式中求得

也就是任何電阻的電流除以該電阻的導電值即可求得,若在圖2.22中電壓和電阻電流皆符合被動元件習用法,則 損耗功率為


同理, 和 可求得 ,而 為 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率(而非消耗)為電壓電流乘積。

電源供應的 被依電流比例分配由電阻組成的分流器,供應的功率等於整個電路消耗的功率


例題 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率2.11求圖2.24的 及 。

因兩電流源並聯,可以等效成單一電流源取代,如圖所示,注意等效電源參考方向的選擇。

;兩串聯電阻等效成 ,而此 又與 電阻並聯,得

因此, ,且 ;

注意此處歐姆定律中的負號,因 流出 的正端且此對變數違反了被動符號習用法。


。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率2.24(a) 電路;(b) 等效電路。


分流的基本原理 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率

  • 電流流經並聯電阻,分割的電流和它們的電導值成正比關係。

  • 較小的阻抗 ( 即較大的電導 ) 將分得較大的電流。


並聯電流源 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率

  • 並聯電流源等效成單一電流源時,該電流源電源函數是全部並聯電流源電源函數的總和。

(a) 並聯電流源;(b) 等效電路。


包含電阻和電源兩者的等效電路,稱為 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率戴維寧和諾頓等效電路兩種形式,其對簡化很多電路分析問題相當有助益。

2.6戴維寧和諾頓等效電路

(a) 戴維寧形式和 (b) 諾頓形式次電路


  • 戴維寧形式由戴維寧等效電壓源和戴維寧等效電阻所戴維寧形式由戴維寧等效電壓源和戴維寧等效電阻所串聯而成。

  • 諾頓形式由諾頓等效電流源和諾頓等效電阻並聯組成。

  • 由電壓源 和電阻 串聯而成的戴維寧形式,等效於由電流源 和電阻 並聯組成的諾頓形式;若


戴維寧等效電路戴維寧形式由戴維寧等效電壓源和戴維寧等效電阻所

  • 一個次電路具有開路電壓 和短路電流 ,其戴維寧等效電路可由

    求出。


例題戴維寧形式由戴維寧等效電壓源和戴維寧等效電阻所2.12求圖2.26中

圖2.26 例題2.11電路


首先將虛線右半部的諾頓形式以戴維寧形式取代之,因 和 ,故 且 ,如此便可替換得圖2.27(a)。此簡單的單迴路電路可再進一步將串聯的電阻器和電源予以簡化,得圖2.27(b),從這個電路得

圖2.27(a) 圖2.26戴維寧 - 諾頓轉換後;(b) 組合串聯元件。


例題 和 ,故 且 ,2.13求圖2.29(a) 中電壓 的值。

圖2.29 例題2.13


首先簡化電路,將電路虛線右邊以諾頓等效電路取代之,如此可求它的端點定律,依首先簡化電路,將電路虛線右邊以諾頓等效電路取代之,如此可求它的端點定律,依KCL,

依KVL

結合兩式得端點定律


等於戴維寧形式中 和 ,而於諾頓形式中 和 ;選用諾頓形式替代電路可得圖2.29(b) 之單節點對電路,再依KCL


諾頓等效電路 ,而於諾頓形式中 和 ;

  • 一個次電路具有開路電壓 和短路電流 ,諾頓等效電路可由

    求出。


例題 ,而於諾頓形式中 和 ;2.14求圖2.30電路的戴維寧和諾頓等效電路。

若要求 ,則假設端點呈開路,即 ,故 電阻上無電流通過,因分壓原理得

且依KVL繞行左側迴路,得 故戴維寧等效電壓源是 。求 則假設端點短路即

,則最左邊的兩個電阻便呈並聯,得


,而於諾頓形式中 和 ;2.30 例題2.14電路


此時 相當是 ,而於諾頓形式中 和 ;24V被兩個 電阻分壓得

在短路條件下 也等於跨於 電阻上的電壓,依歐姆定律得 。然後求 得

因此 。此戴維寧形式和對應的諾頓形式如圖2.31所示


,而於諾頓形式中 和 ;2.31(a) 戴維寧等效電路;(b) 諾頓等效電路。


例題 ,而於諾頓形式中 和 ;2.15考慮圖2.30電路,刪掉內部電源後得圖2.32,從端點看進去的阻抗由 與 電阻並聯成

等效電阻後,再加上串接的 阻抗,得

,與例題2.14所求的結果相同

圖2.32 例題2.15電路


總 結 ,而於諾頓形式中 和 ;

  • KCL說明流進任何節點或區域的淨電流為零。

  • KVL說明繞行任何迴路的淨電壓為零。

  • 電阻的電流 - 電壓定律是歐姆定律,為 , 為電阻,單位歐姆,且正確的電流和電壓須符合被動符號習用法。


  • 電阻器是 ,而於諾頓形式中 和 ;被動元件,亦即它們不能供應功率。

  • 兩個次電路若有相同的電流 - 電壓定律則表示兩者等效。等效次電路於不改變任何外加變數下,可隨意的互換;例子如串 - 並聯和戴維寧 - 諾頓等效電路。

  • 串聯電阻增加,並聯電導增加。


  • 並聯電阻依倒數 ,而於諾頓形式中 和 ;- 倒數定律:等效電阻值為並聯電阻的倒數和的倒數。

  • 串聯電壓分配與電阻成比例,而並聯電流分配則與電導成比例( 或電阻的反比 )。

  • 戴維寧形式為電壓源和電阻相串接而成,而諾頓形式為電流源和電阻相並聯。



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