vom modell zur differentialgleichung
Download
Skip this Video
Download Presentation
Vom Modell zur Differentialgleichung

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 63

Vom Modell zur Differentialgleichung - PowerPoint PPT Presentation


  • 275 Views
  • Uploaded on

Vom Modell zur Differentialgleichung. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659) Gregor Noll Januar 2002. Modellbildung. besonders geeignet für einen fach- und themenübergreifenden Unterricht. für Schülerinnen und Schüler ein ansprechender Themenkreis

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Vom Modell zur Differentialgleichung' - redford


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
vom modell zur differentialgleichung

Vom Modell zur Differentialgleichung

Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659)

Gregor Noll

Januar 2002

modellbildung
Modellbildung
  • besonders geeignet für einen fach- und themenübergreifenden Unterricht
  • für Schülerinnen und Schüler ein ansprechender Themenkreis
  • hat im neuen Lehrplan einen hohen Stellenwert
graphische modellbildung
Graphische Modellbildung
  • Entwicklung eines Modells auf einer zunächst weitgehend mathematikfreien Ebene bis hin zu einem Flüssediagramm
  • leichte Änderungsmöglichkeiten von Modellbeziehungen und Parametern im Simulationskreislauf
  • Ergebnisse in graphischer und tabellarischer Darstellung
was steckt dahinter
Was steckt dahinter ?
  • System von Modellgleichungen
  • Numerische Integration (Euler-Cauchy oder Runge-Kutta Verfahren)
  • Differentialgleichungen
dgl im lehrplan
DGl im Lehrplan
  • Behandlung im Themenkreis „Weiterführung der Differential- und Integralrechnung“
  • exemplarische Behandlung mit Beispielen:Wachstumsvorgänge - Schwingungen
  • einfache Lösungsverfahren durch direkte Integration
  • ein numerisches Lösungsverfahren kennenlernen
  • graphische Darstellung der Lösung
abk hlungsprozess
Abkühlungsprozess
  • Heißer Kaffee der Temperatur 80°C soll so abkühlen, dass er in der ersten Zeiteinheit 2K an Temperatur verliert.
  • Typisches Anfangsmodell:
abk hlungsprozess7
Abkühlungsprozess

Zeitdiagramm

Temp = -2*Zeit + 80

linear fallend

abk hlungsprozess8
Abkühlungsprozess
  • Modellkritik
  • die Kaffeetemperatur kann nicht beliebig sinken
  • die Kaffeetemperatur ist nach unten durch die Umgebungstemperatur beschränkt
  • die Abkühlungsrate ist nicht konstant, sondern nimmt im Laufe der Zeit ab
  • eine lineare Abnahme der Kaffeetemperatur ist deshalb unrealistisch
abk hlungsprozess10
Abkühlungsprozess
  • Neues Modell

Hier fehlt uns der Zusammenhang zwischen Abkühlungsrate und Temperaturdifferenz

abk hlungsprozess11
Abkühlungsprozess
  • Neues Modell

Einfachster Fall: Abkühlungsrate und Temperaturdifferenz sind zueinander

proportional

abk hlungsprozess12
Abkühlungsprozess
  • Neues Modell
abk hlungsprozess13
Abkühlungsprozess
  • Graph der Temperatur
abk hlungsprozess14
Abkühlungsprozess
  • Graph der Änderungsrate
abk hlungsprozess15
Abkühlungsprozess
  • Modellgleichungen

Zustandsgleichungen

Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)

Startwert Kaffeetemperatur = 80

Zustandsänderungen

Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz

Konstanten

Umgebungstemperatur = 20

PPF = -2/60

Zwischenwerte

Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur

abk hlungsprozess16
Abkühlungsprozess
  • Differentialgleichung

Zustandsgleichungen

Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)

Startwert Kaffeetemperatur = 80

im Grenzwert

abk hlungsprozess17
Abkühlungsprozess
  • Differentialgleichung

Zustandsänderungen

Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz

Konstanten

Umgebungstemperatur = 20

PPF = -2/60

Zwischenwerte

Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur

einsatz des ti 92
Einsatz des TI-92
  • Über [Mode] den Graphikmodus Diff Equations auswählen
  • Im [y=] Editor können wir die Gleichungen und Bedingungen eingeben
die dgl y 1 30 y 20
Die DGL y´ = -1/30(y-20)
  • Eingabe im [y=] Editor

Bei diesem Wert tritt die Anfangsbedingung ein

DGL

Hier können wir eine oder mehrere Anfangsbedingungen angeben

n herungsverfahren
Näherungsverfahren
  • Unter [F1-9] wählen wir zwischen Runge-Kutta und Euler-Verfahren
graphische darstellung
Graphische Darstellung
  • Unter [F1-9] wählen wir auch die Art der Graphik

nur für DGL 1.Ordnung

nur für DGL 2.Ordnung bzw. Systeme von 2 DGL 1.Ordnung

graphische darstellung22
Graphische Darstellung
  • Mit [Graph] erhalten wir das Steigungsfeld der DGL :

... das mit den Standardeinstellungen nicht besonders aussagekräftig ist

graphikeinstellungen
Graphikeinstellungen
  • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:

Anfangswert der zur Auswertung benutzen t-Werte

Schrittweite und max. t-Wert

erster geplotteter

t-Wert

werden beim Steigungsfeld SLPFLD ignoriert

graphikeinstellungen24
Graphikeinstellungen
  • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:

x-Wertebereich des Ansichtsfensters und Abstand der Markierungen

y-Wertebereich des Ansichtsfensters und Abstand der Markierungen

graphikeinstellungen25
Graphikeinstellungen
  • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:

Anzahl der Lösungskurven, die automatisch gezeichnet werden

Anzahl der EULER- Iterationen zwischen den tstep-Werten

graphikeinstellungen26
Graphikeinstellungen
  • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:

Toleranz bei der Auflösung von Gleichungen des RK-Verfahrens

Anzahl der Spalten für das Steigungs- bzw. Richtungsfeld

graphikeinstellungen27
Graphikeinstellungen
  • Für unsere DGl verwenden wir

xmin = -10

xmax = 150

xscl = 10

ymin = -10

ymax = 90

yscl = 10

steigungsfeld
Steigungsfeld
  • Mit den richtigen Einstellungen erhalten wir ein deutlich aussagekräftigeres Steigungsfeld
spezielle l sungskurve
Spezielle Lösungskurve
  • Sobald wir einen Anfangswert festlegen, wird der Graph der dazugehörigen Lösungsfunktion gezeichnet
anfangsbedingungen
Anfangsbedingungen

Wir können

  • Anfangsbedingungen vom TI-92 automatisch wählen lassen
      • mit der Fenstervariablen ncurves
  • im y-Editor eine Liste von Anfangsbedingungen eingeben
      • z. B. yi1={10,15,20}
  • Anfangsbedingungen interaktiv in der Graphik setzen
      • nach [F8] mit dem Cursor die Stelle auswählen
rechnerische l sung
Rechnerische Lösung
  • Mit der Funktion deSolve lassen sich allgemeine und spezielle Lösungen von DGL exakt auflösen

@1 ist eine Konstante

  • Syntax: deSolve(DGL, unabhängige Variable, abhängige Variable)
l sung mit anfangsbedingung
Lösung mit Anfangsbedingung
  • Die in der allgemeinen Lösung auftretende Konstante lässt sich bei Vorgabe einer Anfangsbedingung bestimmen

berechnete Konstante: 80 - 20

Anfangsbedingung

ti 92 ohne plus modul
TI-92 ohne Plus Modul
  • Der TI-92 ohne Plus Erweiterung besitzt nicht die besprochenen Möglichkeiten für DGL

Was kann man tun?

  • Selbst die notwendigen Module programmieren
  • Auf fertige Programme für DGL zurückgreifen
eigene programme
Eigene Programme
  • Die Erzeugung eines Steigungsfeldes lässt sich leicht selbst programmieren. Dabei wird durchsichtig, wie dieses Feld entsteht und welche Parameter für die Zeichnung erforderlich sind.
  • Das Euler-Verfahren für die Lösung bei einer Anfangsbedingung ist eine einfache Veränderung des Programms für das Steigungsfeld
stfeld

stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)

stfeld( )

stfeld(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis)

Prgm

Local dt,dy,dg,m,tx,yy

tvon  xmin: tbis  xmax

yvon  ymin: ybis  ymax

(tbis-tvon)/32  dt: dt/4  dg

(ybis-yvon)/14  dy

For tx, tvon, tbis, dt

For yy, yvon, ybis, dy

fkt | (tp=tx and yp=yy)  m

Line tx-dg, yy-m*dg, tx+dg, yy+m*dg

EndFor

EndFor

EndPrgm

euler
euler( )

euler(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis, ta, ya)

Prgm

Local dt, dy, m, tx, yy, tx1, tx2, yy1, yy2

tvon  xmin: tbis  xmax

yvon  ymin: ybis  ymax

(tbis-tvon)/32  dt: (ybis-yvon)/14  dy

ta  tx1: ya  yy1

For tx, ta, tbis, dt

fkt | (tp=tx and yp=yy1)  m

tx+dt  tx2: yy1+m*dt  yy2

Line tx1,yy1,tx2,yy2

tx2  tx1: yy2  yy1

EndFor

Anfangswert

ta  tx1: ya  yy1: -dt  dt

For tx, ta, tvon, dt

fkt|tp=tx and yp=yy1  m

tx+dt  tx2: yy1+m*dt  yy2

Line tx1,yy1,tx2,yy2

tx2  tx1: yy2  yy1

EndFor

EndPrgm

selbstprogrammierte graphik
Selbstprogrammierte Graphik
  • DGL y´ = -1/30(y-20)
  • Eingaben in den TI92

stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)

euler(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90,0,80)

der forellenteich
Der Forellenteich
  • In einem Teich mit 180hl Wassermenge befinden sich 150 Forellen. Ein Zufluss führt pro Minute 20 Liter Wasser zu, durch das im Durchschnitt 3 Forellen pro 750 Liter in den Teich gelangen. Um den Teich aufzufüllen, ist der Abfluss gedrosselt und beträgt nur 18 Liter pro Minute. Durch den Abfluss gehen eine dem Bestand und Volumen des Teiches entsprechende Menge Forellen verloren. Wie entwickelt sich der Forellenbestand?
modellierung in dynasis40
Modellierung in Dynasis
  • Modellgleichungen

Zustandsgleichungen

Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)

Startwert Forellenbestand = 150

Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)

Startwert Wassermenge = 18000

Zustandsänderungen

Zufluss = 20

Abfluss = 18

Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750

Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss

Konstanten

Zwischenwerte

aufstellen der dgl
Aufstellen der DGL
  • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)

Zufluss = 20

Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750 = 60/750

aufstellen der dgl43
Aufstellen der DGL
  • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)

Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss

Abfluss = 18

Forellen_Abnahme= y(t)*18/Wassermenge

aufstellen der dgl44
Aufstellen der DGL
  • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)

Startwert Wassermenge = 18000

Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)

Linearer Zusammenhang !

Wassermenge(t) = StartwertWassermenge + t(20-18)

Wassermenge(t) = 18000+2t

aufstellen der dgl45
Aufstellen der DGL
  • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
graphik mit dem ti 92
Graphik mit dem TI-92
  • Zunächst das Steigungsfeld

Window-Einstellung

graphik mit dem ti 9247
Graphik mit dem TI-92
  • dann eine spezielle Lösung mit (0,150)
  • Das Minimum können wir mit einem Trace [F3]bestimmen
exakte l sung
Exakte Lösung
  • Wir lösen die DGl mit dem TI-92

mit Startwert (0;150)

exakte l sung49
Exakte Lösung
  • Wir lösen die DGl mit dem TI-92

mit Startwert (0;150)

modellkritik
Modellkritik
  • Vernachlässigung der biologischen Vermehrung
  • Der konstante Zuwachs der Forellen durch den Zufluss
  • Können Forellen eventuell auch durch den Zufluss entweichen?
  • Ist das Auffüllen des Teiches unbeschränkt möglich?
  • ???

ÜA

literatur
Literatur
  • Bossel, HartmutModellbildung und SimulationBraunschweig, 19942
  • Eike, B. - Holzherr, E.Analysis mit dem CAS des TI92Teil 4: DifferentialgleichungenETH Zürich, 1997http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
slide52
Danke

für Ihre Aufmerksamkeit !

die dgl
Die DGl
  • Ermitteln Sie geometrisch näherungsweise die Steigung an den Punkten P(5;2) und Q(-8;9)
  • Überprüfen Sie die Ergebnisse rechnerisch.
die dgl54
Die DGl
  • Starten Sie im Punkt A(0;6) und zeichne den Graphen, der diejenige spezielle Lösung der DGl repräsentiert, die den Punkt A enthält.
die dgl55
Die DGl
  • Starten Sie im Punkt P(5;2) und zeichnen Sie eine weitere spezielle Lösungskurve der DGl.
  • Die Lösungskurven scheinen Ellipsen zu sein
die dgl56
Die DGl
  • Lösen Sie die DGl algebraisch über den Ansatz „Trennung der Variablen” und ermitteln Sie die speziellen Lösungen für die beiden Anfangs-bedingungen der vorherigen Teilaufgaben
die dgl57
Die DGl
  • Stellen Sie das Steigungsfeld und die speziellen Lösungskurven der DGl mit dem TI-92 dar
die dgl58
Die DGl
  • Ermitteln Sie die allgemeine und die speziellen Lösungen mit dem TI-92
literatur59
Literatur
  • Bossel, HartmutModellbildung und SimulationBraunschweig, 19942
  • Eike, B. - Holzherr, E.Analysis mit dem CAS des TI92Teil 4: DifferentialgleichungenETH Zürich, 1997http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
slide60
Danke

für Ihre Aufmerksamkeit !

simulationskreislauf

Wortmodell

Modell

Wirkungsdiagramm

reale Situation

Übersetzen

Flüssediagramm

formales Modell

Beurteilen

Simulieren

Auswertung

Ergebnisse

Interpretieren

Simulationskreislauf
ad