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Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia. Estatística. Aula 11. Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues. Aula 11. Regra da Multiplicação

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Estatística

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Presentation Transcript


Estat stica

Universidade Federal de Alagoas

Centro de Tecnologia

Estatística

Aula 11

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaboradopelosProf. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues


Estat stica

Aula 11

  • Regra da Multiplicação

  • Probabilidade Condicional

  • Independência de Eventos


Estat stica

Propriedades Básicas

Regra da Multiplicação

Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova

Palavra – chave  e

Notação

P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova)


Estat stica

Propriedades Básicas

Regra da Multiplicação

Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa?

Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c

Queremos P(V e c)


Estat stica

Propriedades Básicas

Regra da Multiplicação

Va

Vb

Vc

Vd

Ve

Resultados possíveis

a

a

V

b

b

c

c

Espaço

amostral

d

d

Fa

Fb

Fc

Fd

Fe

e

e

F

2 x 5 = 10


Estat stica

Propriedades Básicas

Regra da Multiplicação

P(V)

Se vocês prestaram a atenção

P(V e C) = P(V) . P(c)

P(c)

Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande

Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?


Estat stica

Propriedades Básicas

Regra da Multiplicação

Pelo menos 1 ...

Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado

Pelo menos um é equivalente a um ou mais

O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo


Estat stica

PropriedadesBásicas

Regra da Multiplicação

Pelo menos 1 ...

Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã

Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina

Evento complementar:

= não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos =menino, menino, menino

menino-menino-menino

menino-menino-menina

menino-menina-menino

menino-menina-menina

menina-menino-menino

menina-menino-menina

menina-menina-menino

menina-menina-menina


Estat stica

PropriedadesBásicas

Regra da Multiplicação

Pelo menos 1 ...

Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1

P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)


Estat stica

Probabilidade Condicional

  • Como será que a probabilidade de um evento muda

    após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos

    leva à idéia de probabilidade condicional

  • A idéia de probabilidade condicional está intimamente

    relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar

    ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento

  • Uma probabilidade condicional nada mais é do que

    uma probabilidade calculadanão mais a partir do

    espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um

    subconjunto de E


Estat stica

Probabilidade Condicional

Motivação

  • Suponha uma população com N indivíduos

  • Suponha dois eventos:

  • A: o indivíduo é do sexo feminino

  • B: o indivíduo é daltônico

  • Pode-se definir as probabilidades

  • P(A) = Nf / N

  • P(B) = Nd / N

  • Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de

    ser daltônico dentro da população feminina

  • ou seja: P(B|A) = Ndf / Nf

  • dividindo os dois lados por N:


Estat stica

A

A ∩ B

Espaçoamostral E

B

A

A ∩ B

B

Probabilidade Condicional

Motivação

E

Na probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo da genética

Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ...

Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo da genética

Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde

2ª seleção:

1ª seleção:

Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela


Estat stica

Probabilidade Condicional

O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento

A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu

Notação

P(A e B) = P(A) . P(B|A)

P (B | A)  lê-se “P de B dado A”


Estat stica

Probabilidade Condicional

Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A

Formal

P(A  B) = P(A) . P(B|A)


Estat stica

Probabilidade Condicional

Definição

Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade de B condicionada a A) definida pela expressão

Analogamente:

(com P(B) > 0)


Estat stica

Probabilidade Condicional

Se A e B são disjuntos:

A

B

Se B A :

U

A

B

Caso geral:

B

A

Se A B :

U

B

A


Estat stica

Probabilidade Condicional

Uma vez que:

Uma vez que:

e

Temos:

e

Logo:


Estat stica

Probabilidade Condicional

Esse resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação

Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional

“inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular

Em particular:


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 1

Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior,

20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários.

Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior.

Sejam os eventos:

A = { pessoa tem diploma de curso superior }

B = { pessoa é um microempresário }


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 1

Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente.

Então:

P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50

Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior

A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 1

A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por:

Observações

O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior

O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 2

Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:

  • 35 são homens e fumantes,

  • 28 são homens e não fumantes,

  • 17 são mulheres e fumantes,

  • 20 são mulheres e não fumantes.

Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao

acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 2

Sejam os eventos:

A = { o funcionário é fumante }

B = { o funcionário é homem }


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 2

Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante)

O novo universo passa a ser o próprio evento B


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 2

Utilizando o número de elementos de cada conjunto:

P(A | B) = 35/63 = 0,556

Ou empregando a expressão da definição:

P(B) = 63/100 = 0.63

P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35

P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 3

Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.

Sejam os eventos:

A = { a soma das duas faces é 8 }

B = { ocorre face 3 no primeiro dado }

Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36

A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) }

B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }

(3;5)


Estat stica

e

Portanto, se A e B são eventos independentes vale:

Independência de Eventos

Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:


Estat stica

Independência de Eventos

Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:

  • P(A│B) = P(A)

  • P(B│A) = P(B)

  • P(A ∩ B) = P(A) . P(B)


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 4

A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(B│A).


Estat stica

Probabilidade Condicional

Exemplo 4

Resposta:

P(B) = 28 / 84 = 0,333

P(A) = 36 / 84 = 0,428

P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142

P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142


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