RÓWNANIA MAXWELLA. FALA PŁASKA

1. RÓWNANIA MAXWELLA. FALA PŁASKA Prawo Faradaya Przy każdej zmianie w czasie strumienia magnetycznego m w obwodzie zamkniętym (krzywa l) indukuje się siła elektromotoryczna V , równa co do wielkości prędkości zmian strumienia Zaindukowana siła elektromotoryczna V ma taki kierunek, że gdyby zamknięty obwód l był przewodnikiem, to płynący zaindukowany prąd wytwarzałby własny strumień magnetyczny, przeciwstawiający się zmianom strumienia m (reguła Lentza).

2. Zapisując siłę elektromotoryczna V: a strumień magnetyczny m jako: i stosując twierdzenie Stokesa dochodzi się do równań Maxwella w postaci całkowej i różniczkowej.

3. Prawo Ampera mówi o tym, że wirowość pola magnetycznego liczona wzdłuż krzywej zamkniętej l równa się sumie prądów obejmowanych przez krzywą l , uwzględnia się nie tylko prądy związane z ruchem ładunków (prąd przewodzenia i prąd unoszenia) ale także tak zwany prąd przesunięcia. ; ; ;

4. Prawo Gaussa

5. Równania Maxwella w postaci różniczkowej Ostatnie z tych równań nie było wyprowadzone. Mówi ono, że źródłem wektora gęstości prądu jest zmienny w czasie ładunek elektryczny o gęstości objętościowej .

6. Rodzaje ośrodków  ośrodek liniowy -  nie zależy od gdy - ośrodek nieliniowy  ośrodek jednorodny -  nie zależy od(x, y, z) gdy  = f (x, y, z) – ośrodek niejednorodny  ośrodek izotropowy -  jest wielkością skalarną, wtedy gdy (na ogół) -  jest wtedy tensorem nie jest równoległe do ośrodek anizotropowy ;

7. Równania falowe Równania falowe otrzymuje się z równań Maxwella eliminując z równań wiążących dwie różne wielkości (pole elektryczne - pole magnetyczne) jedną z nich. Zakładamy, że ośrodkiem jest dielektryk idealnym (tzn. stacjonarny, liniowy, izotropowy, o zerowej konduktywności ) nie zawierający ładunków. W ośrodku takim:  - są liczbami niezależnymi od(x,y,z,t).

8. Korzystając z tożsamości: oraz z równań Maxwella: otrzymujemy: W analogiczny sposób otrzymuje się równanie falowe dla pola magnetycznego:

9. Fala płaska są takie same w dowolnym punkcie płaszczyzny. Pola ; Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora z prędkościąv Płaszczyzna poruszająca się w kierunku jest opisana równością: Pole elektryczne i jego drugie pochodne cząstkowe, występujące w równaniu falowym wyrażają się następująco: Zrównania falowego otrzymujemy: 

10. Fala TEM , Zastąpimy przez wyrażenia zawierające , - fala poprzeczna

11. Impedancja falowa - równa jest impedancji właściwej ośrodka Impedancja falowa próżniZ0: Dla ośrodka materialnego: gdzie: w - stała magnetyczna względna, w - stała elektryczna względna W przypadku dielektryka w = 1 i impedancja wyraża się wzorem:

12. FALA w OŚRODKACH NIEOGRANICZONYCH Wektory zespolone Np: - amplituda zespolona Interpretację fizyczną mają tylko wektory rzeczywiste

13. Fala płaska w dielektryku stratnym Zakłada się, że dielektryk jest stacjonarny, liniowy, izotropowy, jednorodny, bez ładunków, ale teraz konduktywność . Zapis rzeczywisty prowadzi do komplikacji w równaniu falowym

14. Przy zapisie zespolonym, różniczkowanie po czasie jest równoważne mnożeniu przez j. Równanie Maxwella w postaci zespolonej przyjmują postać: Po podstawieniu: Otrzymujemy:

15. Odpowiednikami równań falowych są następujące wyrażenia zwane równaniami Helmholtza: - stała propagacji Z równań Maxwella otrzymujemy: jest w przypadku fali TEM równa impedancji właściwej ośrodka: Z = Zf

16. Ośrodki małostratne - tangens kąta stratności Przybliżone wyrażenia na impedancję i stałą propagacji wyprowadzono poniżej :

17. Quasi-przewodniki  , tg  >> 1

18. W quasi-przewodnikach pole elektromagnetyczne maleje bardzo szybko w miarę wnikania do dobrego przewodnika (quasi-przewodnika). Związane z polem elektrycznym prądy przewodzenia płyną praktycznie tylko przy powierzchni przewodnika. Nie wnika on w przewodnik głęboko. Efekt ten nazywa się zjawiskiem naskórkowym. Liczbowo efekt ten charakteryzuje tzw. głębokość wnikania w: Jest to odległość na której amplituda fali maleje e - krotnie

19. Fala w ośrodkach rzeczywistych Przy bardzo wysokich częstotliwościach opóźnienie polaryzacji nie jest już pomijalne w porównaniu z okresem drgań. Opóźnienie to powoduje, że wektory D i E nie są w fazie, stała staje się zespolona. Urojona część stałej  jest związana ze stratami mocy. Powoduje ona przyrost zastępczej konduktywności i tangensa kąta stratności.

20. POLARYZACJA FALI Polaryzacja liniowa Polaryzacja fali jest liniowa, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu odcinek linii prostej. Dzieje się tak, gdy albo istnieje tylko jedna składowa pola (a druga jest równa zero) albo istnieją obie składowe, które są w fazie lub przeciwfazie.

21. Polaryzacja eliptyczna Polaryzacja fali jest eliptyczna, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu elipsę. Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych (osiami Ox i Oy – jeśli fala rozchodzi się w kierunku osi Oz) gdy pola mają obie składowe, przesunięte względem siebie w fazie o . dla z = 0 Z polaryzacją eliptyczną mamy także do czynienia, gdy składowe x–owa oraz y–owa są przesunięte względem siebie o kąt nierówny . Elipsa polaryzacji jest wówczas umieszczona ukośnie w układzie współrzędnych Oxy.

22. Polaryzacja kołowa Polaryzacja kołowa jest szczególnym przepadkiem polaryzacji eliptycznej. Oprócz przesunięcia w fazie o obu składowych pól wymagana jest teraz także równość obu składowych pola i

23. ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE w POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc strat i energia magazynowana Objętościowa gęstość mocy strat: Obliczamy energię Wezgromadzoną w małym kondensatorze (obszar V), a następnie gęstość objętościową tej energii we: Średnia w czasie gęstość energii:

24. Podobne wzory można wyprowadzić dla gęstości objętościowej energii magnetycznej.

25. Twierdzenie Poyntinga Po scałkowaniu obu stron na obszarze V i zastosowaniu twierdzenia Gaussa otrzymuje się:

26. Uwzględniając, że: oraz podstawiając: S - jest to wektor Poytinga Otrzymujemy twierdzenie Poytinga: oraz jego interpretację fizyczną w postaci: Twierdzenie Poyntinga jest bilansem energetycznym w obszarze V. Mówi ono, że suma strumienia wektora Poyntinga przez powierzchnię ograniczającą ten obszar plus moc tracona w obszarze plus pochodna czasowa energii elektromagnetycznej jest równa zeru.

27. Fala w plazmie Plazma jest gazem zjonizowanym, makroskopowo obojętnym (tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych w danej objętości). Stopień zjonizowania charakteryzuje się przez podanie liczby elektronów - n - na 1m3. Zakłada się, że ośrodek jest bezstratny (zderzenia cząstek sprężyste). Parametrami ośrodka na początek rozważań są 0, 0,  = 0. Rozpatruje się drgania harmoniczne, zapis zespolony. Należy uwzględnić prąd unoszenia o gęstości: związany z ruchem elektronów. e0 – ładunek elektronu m0 – masa spoczynkowa elektronu

29. Równania Maxwella w plazmie gdzie: jest zastępczą stałą dielektryczna plazmy Parametry  i Z obliczane są tak jak dla dielektryka : , Różnica w stosunku do dielektryka polega na tym, że teraz p zachowuje się różnie w różnych zakresach częstotliwości.

30. Wnioski: • Fale o  < p są tłumione w plazmie. W przypadku padania fali o takiej  z próżni na warstwę jonosfery ulegnie ona całkowitemu odbiciu. • 2. Fale o  > p rozchodzą się w plazmie. W przypadku padania fali ukośnie z próżni na jonosferę fala załamana odchyla się od normalnej (gdyż przechodzi do ośrodka rzadszego). Może też ulec całkowitemu odbiciu. • 3. Fale o  >> p rozchodzą się w plazmie tak jak w próżni, ponieważ p0. Tylko takie fale (w praktyce- mikrofale) swobodnie przechodzą przez jonosferę i mogą być użyte w telekomunikacji satelitarnej.

31. Prędkość fazowa i grupowa Poniżej pokazano zmodulowaną w amplitudzie falę o wysokiej częstotliwości. Na rysunku prędkość fazowa vf jest związana z przesuwaniem się stałego punktu sinusoidy w. cz., a prędkość grupowa vg– z przesuwaniem się stałego punktu na obwiedni. E, H z W plazmie vf . vg = c2 W ośrodkach nie dyspersyjnych vf = vgc