โดย อ. นัฐพงศ์ ส่งเนียม siam2dev xnattapong@hotmail xnattapong2002@yahoo

1. การเขียนโปรแกรมภาษาคอมพิวเตอร์ 1Lec07 :[ข้อมูลชนิด Array การทำงานกับ เมตริกซ์ ]Last Update :: 06/11/2551 โดย อ. นัฐพงศ์ ส่งเนียม http://www.siam2dev.com xnattapong@hotmail.com xnattapong2002@yahoo.com

2. อาเรย์ (Array) • คือกลุ่มของจำนวนที่ถูกเก็บอย่างมีโครงสร้าง เวกเตอร์แถว (Row Vector) เวกเตอร์คอลัมน์ (Column Vector) อาเรย์สองมิติ หรือ เมตริกซ์ (Matrix)

3. การคำนวณระหว่างอาเรย์กับอาเรย์การคำนวณระหว่างอาเรย์กับอาเรย์ • การคำนวณระหว่างอาเรย์กับอาเรย์ ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณหรือหาร • จำนวน Element ของอาเรย์จะต้องมีขนาดเท่ากัน • การคำนวณระหว่างอาเรย์จะกระทำระหว่าง Element ต่อ Element • การคูณ การหาร การยกกำลัง แบบอาเรย์นั้นจะนำเอา Element ณ ตำแหน่งเดียวกันของสองอาเรย์มาทำการคูณ หาร หรือ ยกกำลังกัน • ต้องใช้ .* ./.\ .^เพื่อให้ต่างไปจากการคูณหารแบบเมตริกซ์

4. เมตริกซ์ • คืออาเรย์ข้อมูลสองมิติ • การบวกและการลบเมตริกซ์มีลักษณะเช่นเดียวกันกับการบวกและลบของอาเรย์ • เมตริกซ์ที่นำมาบวกหรือลบกันต้องเป็นเมตริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน • การคูณและการหารของเมตริกซ์แตกต่างจากการคูณและหารของอาเรย์

5. การคูณเมตริกซ์ • ใช้เครื่องหมาย * • การคูณกันของเมตริกซ์ A และ เมตริกซ์ B จำนวนคอลัมน์ของ A จะต้องเท่ากับจำนวนแถวของ B • ถ้าเมตริกซ์ A มีขนาด m  p และเมตริกซ์ B มีขนาด p  n ผลลัพธ์ของการคูณระหว่างเมตริกซ์ A และ B จะมีขนาด m  n • โดยปกติ AB จะมีค่าไม่เท่ากับ BA

6. เมทริกซ์ (matrix) (pl. matrices) เมทริกซ์เป็นรูปแบบหนึ่งของคณิตศาสตร์ ซึ่งมันถูก เขียนอยู่ในรูป หรือ

7. mแถว (row) nหลัก(หรือสดมภ์) (column) เราใช้สัญลักษณ์ aij แทนส่วนประกอบ (component) ในหลัก i แถว j โดย aijอาจจะเป็นจำนวนนับ จำนวนเต็ม หรือจำนวนจริง ก็ได้

8. เราเรียกเมทริกซ์ที่มีจำนวนหลัก m หลักและแถว n แถว ว่าเมทริกซ์ขนาด mxn (m by n matrix) เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด เป็นเมทริกซ์ขนาด

9. การเท่ากันของเมทริกซ์การเท่ากันของเมทริกซ์ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ 1. เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน 2. แต่ละส่วนประกอบที่ประจำหลักและแถวเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน

11. การบวกและลบกันของเมทริกซ์การบวกและลบกันของเมทริกซ์ การบวกและลบกันของเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะทำได้ ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์ทั้ง 2 มีขนาดเดียวกัน และผลลัพท์ที่ได้เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่าเดิม และ แต่ละส่วนประกอบมีค่าเท่ากันกับ ผลรวม (หรือผลต่าง) ของส่วนประกอบของเมทริกซ์ทั้งสองที่อยู่แถวและหลัก เดียวกัน

14. คุณสมบัติบางประการของเมทริกซ์คุณสมบัติบางประการของเมทริกซ์ ถ้าให้ A,Bและ Cแทนเมทริกซ์ที่มีขนาด mxnแล้ว (สลับที่การบวก) 1. (เปลี่ยนกลุ่มการบวก) 2. (เอกลักษณ์การบวก) 3. เมื่อ mแถว nหลัก

15. (ผกผันการบวก) 4. นั้นคือถ้า แล้ว

16. การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง 5. นั้นคือถ้า แล้ว

17. การคูณเมทริกซ์ ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ขนาด mxn Bเป็นเมทริกซ์ขนาด pxq เราจะหาผลคูณของเมทริกซ์ A และ B ได้โดย ABจะหาได้ก็ต่อเมื่อ n=p BAจะหาได้ก็ต่อเมื่อ m=q

18. ข้อสังเกต

19. สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์ไม่สามารถสลับที่ได้สังเกตว่าในการคูณเมทริกซ์ไม่สามารถสลับที่ได้ แต่ว่าในการคูณ เมทริกซ์ยังคงสามารถเปลี่ยนกลุ่มได้

20. สรุปการคูณเมทริกซ์ 1. 2. 3. A(B+C) =AB+AC และ 4. (B+C)A= BA+CA

21. เมทริกซ์จัตุรัส (square matrix) เมทริกซ์คือเมทริกซ์ที่มีจำนวนของหลัก เท่ากันกับ จำนวนแถว เมทริกซ์ดังกล่าวนี้ จะมีบทบาทมากในการหาผล เฉลยของสมการ

22. เมทริกซ์ทแยงมุม (diagonal matrix) เมทริกซ์คือเมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j หรือ aijมีค่าเป็น 0 เมื่อ

23. พิจารณาว่าเมทริกซ์ใดต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์จัตุรัส หรือ เมทริกซ์ทแยงมุม

25. เราเรียกเมทริกซ์ทแยงมุม ที่มีสมาชิกในแนวทแยงเป็น 1 ทั้งหมดว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix)

26. สังเกตว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด nxn คูณกับเมทริกซ์ ขนาด nxn ใดๆ จะได้เมทริกซ์นั้นเสมอ ทำไม?

27. จงหาค่า A2 เมื่อ และ A2 =AA

28. หมายเหตุ

29. จงหาค่า A4 เมื่อ

30. ทฤษฎีบท ถ้า Aเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม แล้ว

31. จงหาค่า A10 เมื่อ

32. เราพบว่าสามารถบวก ลบ เมทริกซ์ได้ ซึ่งมีรูปแบบคล้าย คลึงกับการบวก และ ลบ ของจำนวนจริง สำหรับการคูณเมทริกซ์ มีความแตกต่างกันกับการคูณ จำนวนจริง ซึ่งไม่จำนวนว่าเมทริกซ์ 2 ค่าจะคูณกันได้ เสมอไป และการคูณเมทริกซ์ไม่สามารถสลับที่ได้ และเราไม่มีการหารเมทริกซ์

33. ผกผันการคูณของเมทริกซ์ผกผันการคูณของเมทริกซ์ สังเกตได้ว่าสำหรับเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อนำไปคูณกับเมทริกซ์ เอกลักษณ์ก็จะได้เมทริกซ์นั้นเสมอ และสำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ นั้น เราต้องการหาเมทริกซ์ซึ่ง ถ้าเราหาเมทริกซ์นั้นเจอ เราจะเรียกเมทริกซ์ดังกล่าวว่า ผกผันการคูณของเมทริกซ์ A หรือA-1

34. การที่จะบอกว่าจะสามารถหาผกผันการคูณของเมทริกซ์การที่จะบอกว่าจะสามารถหาผกผันการคูณของเมทริกซ์ ได้หรือไม่นั้น เราจะพิจารณาผ่านตัวกำหนดของเมทริกซ์ (determinant of a matrix) และเราใช้สัญลักษณ์ หรือ แทนตัวกำหนดของเมทริกซ์นั้น

35. ตัวกำหนดของเมทริกซ์ขนาด 2x2

36. จงหาค่า det(A)เมื่อ

37. สังเกตว่าเมทริกซ์ทแยงมุมมีค่ากำหนด (determinant) คือ ผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุม

38. ทฤษฎีบท เมทริกซ์จัตุรัสใดๆ จะมีเมทริกซ์ผกผัน ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์นั้น มีค่ากำหนด (determinant) ไม่เป็นศูนย์

39. ผกผันการคูณของเมทริกซ์ 2x2 ผกผันการคูณของเมทริกซ์ คือ หรือ

40. จงหาผกผันการคูณของเมทริกซ์จงหาผกผันการคูณของเมทริกซ์ ผกผันการคูณของเมทริกซ์คือ

41. จงหาผกผันการคูณของเมทริกซ์จงหาผกผันการคูณของเมทริกซ์

42. การหาผลเฉลยของระบบสมการการหาผลเฉลยของระบบสมการ โดยผกผันการคูณของเมทริกซ์ ระบบสมการ สามารถถูกเขียน ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

43. เราสามารถพิจารณาระบบสมการในรูปเมทริกซ์ได้เป็นเราสามารถพิจารณาระบบสมการในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

44. เราพบว่า

45. จงหาผลเฉลยของระบบสมการจงหาผลเฉลยของระบบสมการ

46. จงหาผลเฉลยของระบบสมการจงหาผลเฉลยของระบบสมการ

47. กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) เครเมอร์ได้นำเสนอวิธีการหาผลเฉลยของระบบสมการ อย่างมีระบบคือสำหรับระบบสมการเชิงเส้น

49. จงหาผลเฉลยของระบบสมการจงหาผลเฉลยของระบบสมการ

50. โปรแกรม TestArray ออกแบบหน้าจอ ดังรูป TxtRow LbRow BtnOK LbCol BtnCancel TxtCol LbArray