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제 4 장 관계. 목차. 4.1 관 계 4.2 관계의 표현 4.3 관계의 합성 4.4 동치 관계 4.5 관계의 폐쇄 성질 4.6 부분 순서와 속. 4.1 관 계. 순서쌍의 집합 관계를 표현하는 가장 기본적인 표기법 R Ø = 이면 R : 영 관계 (empty relation), R = A 1 ×A 2 ×…×A n 이면 R : 전체 관계 (universal relation) . 정의 4-1 n- 항 관계 (n-ary relation)

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제 4 장 관계

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Presentation Transcript


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제 4 장 관계


4

목차

  • 4.1 관 계

  • 4.2 관계의 표현

  • 4.3 관계의 합성

  • 4.4 동치 관계

  • 4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 4.6 부분 순서와 속


4

4.1 관 계

  • 순서쌍의 집합

    • 관계를 표현하는 가장 기본적인 표기법

    • RØ= 이면 R : 영 관계(empty relation),

    • R=A1×A2×…×An이면 R : 전체 관계(universal relation)

  • 정의 4-1 n-항 관계(n-ary relation)

    • 곱 집합 A1×A2× …×An의 부분집합 R

      : 집합 A1, A2, …, An 에서의 n-항 관계

    • R={(a1, a2, …, an) | ai∈Ai} (n - 투플의 집합)


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4.1 관 계

  • 정의 4-2 2-항 관계(binary relation)

    • n = 2, R⊆A1×A2일 때, R : A1에서 A2로의

      이항 관계(a, b) ∈ R이면 aRb, (a, b) ∈ R이면 aRb

    • 정의역(domain): 순서쌍에서 모든 첫 번째

      원소의 집합

    • 치역(range): 순서쌍에서 모든 두 번째 원소의

      집합

    • 집합 A에 대한(on a set A) 관계

      : A1=A2=A일 때 A에서 A로 가는 이항 관계


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4.1 관 계

【예제 4.1】 두 집합 A={1, 2}, B={3, 4}일 때, A 에서 B 로의 모든 관계를 나타내어라.

[풀이] A×B={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

∴ 모든 관계의 개수 ː 24=16

Ф {(1,3)} {(1,4)}

{(2,3)} {(2,4)} {(1,3), (1,4)}

{(2,3), (2,4)} {(1,3), (2,3)} {(1,4), (2,4)}

{(1,3), (2,4)} {(1,4), (2,3)} {(1,3), (1,4), (2,3)}

{(1,3), (1,4), (2,4)} {(1,3), (2,3), (2,4)}{(1,4), (2,3), (2,4)}

{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}


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4.1 관 계

【예제 4.2】 집합 A={1, 2, 3, 4}에 대한 관계 R을

R={(a, b) ∈ A×A | b가 a로 나누어진다}라고 할 때,

R의 모든 순서쌍을 나열하라.

[풀이]

  • R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}


4

4.1 관 계

【예제 4.3】 정수 집합에 대한 관계들이 다음과 같을 때,

R1={(a, b) | a < b} R2={(a, b) | a>b }

R3={(a, b) | a=b 또는 a=-b} R4={(a, b) | a=b}

R5={(a, b) | a=b+1} R6={(a, b) | a+b < 3}

각각의 순서쌍 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, -1), (2, 2)를 포함하는 관계들을 모두 구하라.

[풀이]

(1, 1): R1, R3, R4, R6

(1, 2): R1, R6

(2, 1): R2, R5, R6

(1, -1): R2, R3, R6

(2, 2): R1, R3, R4


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4.1 관 계

  • 정의 4-3 역관계(inverse relation)

    • R이 관계일 때 R의 역관계 : R-1

    • R-1={(b, a)|(a, b)∈R}


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4.1 관 계

  • 【예제 4.4】R={(1, 1), (1, 6), (5, 1), (5, 8),

    (7, 2)} 일 때, R-1를 구하라.

    [풀이]

  • R-1={(1, 1), (6, 1), (1, 5), (8, 5), (2, 7)}


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4.2 관계의 표현

  • (1) 화살표(arrow diagram)

    • 집합 A, B가 있을 때 a∈A와 b∈B가 aRb이면 이 관계를 a 에서 b로 가는 화살표로 표현


4

4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.5】 A={1, 2, 3, 4,} B={a, b, c, d}이고 관계 R={(1, c), (1, d), (2, b), (3, a),

    (3, c), (4, a)}일 때, R을 화살표를 사용해서 나타내어라.


4

4.2 관계의 표현

[풀이]


4

4.2 관계의 표현

  • (2) 관계 행렬(relation matrix)

    • R : A={a1, a2, …, am} 에서 B={b1, b2, …, bn} 로의 관계.

    • 관계 R은 행렬 MR=(mij)

      (단, 1≤i≤m, 1≤j≤n) 로 표현


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4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.6】 집합 A={1, 2, 3}, B={1, 2}에 대하여, A에서 B로의 관계 R이 "a∈A, b∈B일 때 a>b이다"로 주어진 경우 R을 관계 행렬(relation matrix)로 표현하라.

    [풀이]

  • R={(2, 1), (3, 1), (3, 2)}이므로, R의 관계 행렬은


4

4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.7】 A={a1, a2, a3}, B={b1, b2, b3, b4}이고, 관계 R에 대한 관계 행렬이 다음과 같이 표현될 때, R에 대한 순서쌍을 구하라


4

4.2 관계의 표현

[풀이]

  • 관계 R은 mij=1인 순서쌍(ai, bj)의 집합이므로

    R={(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3)}


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4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.8】 집합 A={1, 2, 3}일 때, 관계

    R={(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}이고,

    S={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}이다.

    이 때 MRS와 MRS를 각각 구하라.


4

4.2 관계의 표현

[풀이]


4

4.2 관계의 표현

  • (3) 방향 그래프(directed graph)

  • 정의 4-4 방향 그래프

    • 정점(vertex)들의 집합 V와, V의 각 원소들로

      구성된 순서쌍인 간선(edge)의 집합 E로 구성


4

4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.9】 정점: a, b, c, d와 연결선: (a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)로 구성된 방향 그래프는 ?

    [풀이]


4

4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.10】방향 그래프로 표시된 관계 R의 순서쌍 ?

    ◀ 책 그림 참조 ▶

    [풀이]

  • R={(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 3) }


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4.2 관계의 표현

  • 【예제 4.11】 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, }

    관계 {R=(m, n)∈A×A|mod(m, n)=0, m≠ n, 단, mod

    연산은 n/m의 나머지를 구하는 연산자}

    관계 R에 대한 방향 그래프 ?

    [풀이]


4

4.3 관계의 합성

  • 정의 4-5 합성 관계(composite relation)

    • 집합 A, B, C,

    • Rː A→B관계, S : B→C관계

    • 합성 관계 R ◦ S 의 정의

    • R ◦ S={(a, c)∈A×C | (a, b)∈R이고 (b, c)∈S인,

      b∈B 가 존재한다}


4

4.3 관계의 합성

  • 【예제 4.12】 A={2, 3, 8, 9}, B={4, 6, 18},

    C={1, 4, 7, 9}이다. Rː A→B관계, S : B→C관계,

    R ◦ S를 구하라.

  • R={(a, b) | a∈A, b∈B, mod(b, a)=0}

  • S={(b, c) | b∈B, c∈C, b≤c}


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4.3 관계의 합성

[풀이]

  • R={(2, 4), (2, 6), (2, 18), (3, 6), (3, 18), (9, 18)},

  • S={(4, 4), (4, 7), (4, 9), (6, 7), (6, 9)}

  • ∴ R ◦ S={(2, 4), (2, 7), (2, 9), (3, 7), (3, 9)}


4

4.3 관계의 합성

  • 【예제 4.13】 A={1, 2}, B={3, 4}, C={5, 6}이고, 관계 R={(1, 3), (1, 4)}, S={(3, 5), (4, 5)}이다. 이 때 R ◦ S을 구하라.

    [풀이]

  • R ◦ S={(1, 5)}


4

4.3 관계의 합성

  • 【예제 4.14】 합성 관계 R ◦ S를 구하여 관계 행렬로 표현하라.


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4.3 관계의 합성

[풀이]


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4.3 관계의 합성

  • ☞정리 4-1

    • 집합 A, B, C, D, R⊆A×B, S⊆B×C, T⊆C×D 일때, R ◦ (S ◦ T)=(R ◦ S) ◦ T 이다.


4

4.3 관계의 합성

[증명]

  • R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T와 (R ◦ S) ◦ T⊆R ◦ (S ◦ T)를 동시에 만족함을 보인다.

    (1) R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T 증명

    (x, y) ∈ R ◦ (S ◦ T)라 가정. (x, z) ∈ R, (z, y) ∈ S ◦ T,

    z ∈ B가 존재.

    (z, y)∈S ◦ T이므로, (z, w)∈S, (w, y)∈T, w∈C가 존재

    (x, z)∈R, (z, w)∈S이므로 (x, w)∈R ◦ S

    (x, w)∈R ◦ S이고 (w, y)∈T이므로, (x, y)∈(R ◦ S) ◦ T

    ∴ R ◦ (S ◦ T)⊆(R ◦ S) ◦ T

    (2) (R ◦ S) ◦ T⊆R ◦ (S ◦ T)도 같은 방법으로 증명.


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4.3 관계의 합성

  • ☞ 정리 4-2

    • A, B, C가 집합이고, R⊆A×B와 S⊆B×C일 때, (R ◦ S) -1=S-1◦ R-1이다.


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4.3 관계의 합성

[증명]

  • (R ◦ S) -1⊆S-1 R-1와 S-1 R-1⊆(R ◦ S) -1를 동시에 만족함을 보인다.

    (1) (R ◦ S)-1 ⊆S-1 R-1

    증명 : (y, x)∈(R ◦ S) -1가정, (x, y)∈R ◦ S이므로

    (x, z)∈R, (z, y)∈S인 z∈B가 존재 (x, z)∈R이므로

    (z, x)∈R-1, (z, y)∈S이므로 (y, z)∈S-1 (y, z)∈S-1,

    (z, x)∈R-1이므로, (y, x)∈S-1 R-1

    ∴ (R ◦ S) -1⊆S-1 R-1

    (2) S-1 R-1⊆(R ◦ S) -1 : 같은 방법으로 증명


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4.3 관계의 합성

  • 【예제 4.15】 집합 {1, 2, 3}에 대한 관계 R이 다음과 같을 때 R2을 관계 행렬과 방향 그래프로 표시하여라.


4

4.3 관계의 합성

[풀이]

  • R2={(1, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}


4

4.3 관계의 합성

  • 【예제 4.16】 R={(1, 1), (3, 1), (2, 3), (4, 2)}일 때, R2, R3, R4을 구하라.

    [풀이]

  • R2=R ◦ R={(1, 1), (2, 1), (4, 3), (3, 1)}

  • R3=R2◦ R={(1, 1), (3, 1), (2, 1), (4, 1)}

  • R4=R3◦ R={(1, 1), (3, 1), (2, 1), (4, 1)}


4

4.3 관계의 합성


4

4.3 관계의 합성

  • ☞ 정리 4-3

    • R이 A에 대한 관계이고, m, n이 자연수일 때

      다음 식이 성립한다.

      (1) Rm ◦ Rn=R m+n

      (2) Rm ◦ Rn=Rn ◦Rm

      (3) (Rm)n=Rmn


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4.4 동치 관계

  • 4.4.1 관계의 성질

  • (1) 반사 관계(reflexive relation)

  • 정의 4-6 반사 관계

    • A의 모든 원소 a가, (a, a)∈R이면,

      R은 반사적 또는 반사 관계

      (R 은 집합 A에 대한 관계)


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.17】 집합 {1, 2, 3, 4}에 대한 다음의 방향 그래프로 표시된 관계들은 반사적인가?

  • [풀이] (1) 반사적, (2) 반사적이 아니다.


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.18】 다음의 관계들은 집합 {1, 2, 3, 4}에 대해 반사적인가?

    • R1={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

    • R2={(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

    • R3={(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

    • R4= ø

    • R5={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

    • R6={(3, 2), (4, 4), (2, 1), (1, 1), (4, 2), (3, 3), (3, 1), (2, 2)}

  • [풀이] R2, R5, R6 : 반사적,

    R1, R3, R4 : 반사적이 아니다


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.19】 양의 정수들의 집합에서 관계 "나누기"는 반사적인가?

    [풀이]

  • 반사적


4

4.4 동치 관계

  • (2) 대칭관계

  • 정의 4-7 대칭 관계

    • R은 집합 A에 대한 관계,

    • 모든 a, b∈A에 대해 (a, b)∈R일 때 반드시

      (b, a)∈R인 관계가 존재하면, R은 대칭적 또는

      대칭 관계


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.20】 [예제 4.18]의 관계는 집합 {1, 2, 3, 4} 에 대해 대칭적인가?

    [풀이]

  • R3, R4, R5 : 대칭적,

  • R1, R2, R6: 대칭이 아니다


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.21】 대칭 관계는 관계 행렬로 표현하면 쉽게 파악할 수 있다. 다음과 같이 관계 행렬로 표현된 관계는 대칭적인가?

    [풀이]

  • (1), (2), (3) : 대칭적


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.22】 다음의 관계들은 대칭적인가? 단, Z는 정수의 집합이다.

    (1) R1={(m, n)∈Z×Z : m=n}

    (2) R2={(m, n)∈Z×Z : m ≥ n}

    (3) R3={(m, n)∈Z×Z : m=n 또는 m=-n}

    (4) R4={(m, n)∈Z×Z : n=m+1}

    (5) R5={(m, n)∈Z×Z : m < n}

    (6) R6={(m, n)∈Z×Z : m+n ≤ 0}

    [풀이] R1, R3, R6 : 대칭적

    R2, R4, R5 : 대칭이 아니다.


4

4.4 동치 관계

  • (3) 반대칭 관계 (antisymmetruc relation)

  • 정의 4-8 반대칭 관계

    • R은 집합 A에 대한 관계, 모든 a, b∈A에 대해,

      다음의 조건을 만족하면 반대칭적 또는

      반대칭 관계

    • (a, b)∈R (b, a)∈R ⇒ a=b


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.23】 다음 관계들은 반대칭적인가?


4

4.4 동치 관계

[풀이]

(1) 반대칭적,

(2) 대칭적, 반대칭적이 아니다.

(3) 영관계이므로 반대칭적, 대칭적이다. 반사적은 아니다


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.24】 다음의 관계들은 집합 1, 2, 3, 4에 대해 반대칭적인가?

    • R1={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3),

      (4, 4)}

    • R2={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

    • R3={(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3),

      (4, 1), (4, 4)}

    • R4={(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

    • R5={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3),

      (2, 4),(3, 3), (3, 4), (4, 4)}

    • R6={(3, 4)}


4

4.4 동치 관계

[풀이]

  • R4, R5, R6: 반대칭적

  • R2 : 반대칭적, 동시에 대칭적

    ( 대칭적과 반대칭적은 서로 반대가 아님)

  • R1, R3: 반대칭적이 아니다


4

4.4 동치 관계

  • (4) 이행 관계(transitive relation)

  • 정의 4-9 이행 관계

    • R은 집합 A에 대한 관계,

      모든 a, b, c∈A, (a, b)∈R이고, (b, c)∈R이면

      (a, c)∈R일 때, R을 이행적 또는 이행 관계


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.25】 다음의 방향 그래프로 표시된 관계들은 이행적인가?

  • [풀이] (1) 이행적 (2) 이행적이 아니다


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.26】 다음의 관계들은 이행적인가?

    • R1={(1, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

    • R2={(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}

    • R3={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

    • R4={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

    • R5={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

    • R6={(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 4)}

    • R7={(1, 2)}

      [풀이] R1, R5, R7 : 이행적

      R2, R3, R4, R6 : 이행적이지 않다


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.27】 다음의 방향 그래프(directed graph)로 주어진 관계가 반사적, 대칭적, 반대칭적, 이행적인지를 판별하고, 관계 행렬(relation matrix)로 나타내어라.


4

4.4 동치 관계


4

4.4 동치 관계

[풀이]

(1) 반사적, 대칭적, 이행적이다.

(2) 반사, 반대칭적, 이행적이다.

(3) 대칭적, 반대칭적, 이행적이다.

(4) 반사적, 대칭적이다.


4

4.4 동치 관계

  • ☞정리 4-4

    • R을 집합 A에 대한 관계라 할 때

      (1) R은 반사 관계 ⇔IA⊆R

      (2) R은 이행 관계 ⇔R ◦ R⊆R

      (3) R은 반사 관계이고, 이행 관계 IA⊆R=R ◦ R

      (4) R이 이행 관계라면 자연수 n에 대해 Rn⊆R이 된다.

      단, IA는 항등 관계로서 {(a, a) | a∈A} 이다.


4

4.4 동치 관계

  • 정의 4-10 동치 관계(equivalence relation)

    • 집합 A에 대한 관계가 반사적, 대칭적, 이행적

      이면 이를 동치 관계라 한다.


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.28】 Z가 정수의 집합이고

    R={(m, n)∈Z×Z | m=n 또는 m=-n}일 때,

    R이 Z에 대한 동치 관계임을 보여라.

    [풀이]

    (1) n∈Z라면, (m, n)∈R인 m=n이 존재:반사적

    (2) (m, n)∈R라면, m=n일 때 n=m이고, m=-n일 때, n=-m이므로 (n, m)∈R : 대칭적


4

4.4 동치 관계

(3) (m, n)∈R이고 (n, p)∈R이면,

네 가지 경우

  • m=n, n=p인 경우 m=p

  • m=n, n=-p인 경우 m=-p

  • m=-n, n=p인 경우 m=-p

  • m=-n, n=-p인 경우 m=p

  • 모든 경우에서, (m, p)∈R이므로 : 이행적

    ∴ 관계 R은 동치 관계


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.29】 R이 실수 집합이고

    R={(a,b)∈R×R | a-b는 정수}일 때, R은 동치

    관계인가?

    [풀이]

    (1) 모든 실수 a에 대해 a-a = 0은 정수,

    aRa를 만족 : 반사적


4

4.4 동치 관계

(2) aRb가 존재할 때 a-b가 정수이면 b-a 또한 정수 bRa가 존재 : 대칭적

(3) aRb, bRc가 존재할 때 a-b와 b-c는 정수, a-c=(a-b)+(b-c)는 정수로 aRc만족 : 이행적

∴ R은 동치 관계


4

4.4 동치 관계

  • 정의 4-11 동치류(equivalence class)

    • R은 집합 A에 대한 동치 관계

    • R에 대한 a의 동치류 : [a]로 표기

      • [a]={x (a, x)∈R}


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.30】 집합 A={1, 2, 3, 4}에 대한 관계 R이 다음과 같이 주어졌을 때 동치류를 구하라.

  • R={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}

    [풀이]

  • [1]=[2]={1, 2}, [3]=[4]={3, 4}


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.31】 [예제 4.28]에서 정의한 R에 대한 동치류를 구하라.

    [풀이]

  • [a]={-a, a}, 각각 두 개의 원소 (a=0 제외)


4

4.4 동치 관계

  • ☞정리 4-5

    • R을 집합 A에 대한 동치 관계라 할 때,

      다음 문장들은 동치이다.

      (1) aRb

      (2) [a]=[b]

      (3) [a]∩[b] ≠ ø


4

4.4 동치 관계

[증명]

<1> (1) ⇒ (2)

  • aRb라 가정,[a]=[b] : [a]⊆[b]와 [b]⊆[a]임을 보임

  • c∈[a] → aRc

  • R : 대칭적, aRb→ bRa

  • R : 이행적, bRa, aRc→bRc

  • ∴ c∈[b] → [a]⊆[b]

  • * [b]⊆[a]도 같은 방법으로 증명


4

4.4 동치 관계

<2> (2) ⇒ (3)

  • [a]=[b]가정, R : 반사적 → a∈[a], [a] ≠ ø

  • ∴ [a]∩[b]=[a]∩[a]=[a] ≠ ø

  • <3> (3) ⇒ (1)

  • [a]∩[b] ≠ ø 가정, c∈[a], c∈[b]가 존재 → aRc , bRc

  • R은 대칭적 → cRb

  • ∴ 이행적 성질에 의해 aRc, cRb→ aRb


4

4.4 동치 관계

  • 정의 4-12 분할(partition)

    • 집합 A의 분할은 다음의 조건을 만족하는 A의 부분 집합 A1, A2, …, An의 모임이다.

      • 이 때, Ai를 A의 분할 원소라 한다.


4

4.4 동치 관계

  • 【예제 4.32】 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}이라 할 때 A1={1, 2}, A2={3, 4, 6}, A3={5}는 A의 분할인가?

    [풀이] 분할이다


4

4.4 동치 관계

  • ☞정리 4-6

    • R이 A에 대한 동치 관계일 때 동치류의 모임은 A의 분할이다.

      [증명]

    • A의 모든 원소 a에 대해 a∈[a] 즉, ∪[a]=A

      a∈A

    • [a] ≠ [b] 이면 [a]∩[b]= ø (정리 4-5)

    • ∴{[a] | a∈A} : A의 분할


4

4.4 동치 관계

  • ☞정리 4-7

    • 집합 A의 분할이 {A1, A2, …, Ak}일 때 A에 대한 동치 관계 R이 존재하고, R에 대한 각 동치류는 A의 분할 원소 Ai이다.

      [증명]

    • A에 대한 관계 R 정의 : aRb( a, b∈Ai )

    • R이 동치 관계임을 보인다.

      (1)aRa는 명백, R : 반사적


4

4.4 동치 관계

(2) aRb→ bRa (∵a, b가 같은 분할 원소 Ai에 속함)

R : 대칭적

(3) aRb, bRc→ a, b∈Ai이고, b, c∈Aj

b∈Ai∩Aj, 분할의 정의에 의해 Ai=Aj

즉, a와 c는 같은 분할 원소에 속해 있고 aRc이다

R : 이행적

∴ 반사적, 대칭적, 이행적이므로 R은 동치 관계이다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • P : 관계가 갖는 성질(반사적·대칭적·이행적 성질)

  • R : 집합 A에 대한 관계(R은 P를 만족 또는 만족하지 않음)

  • S : P에 관한 R의 폐쇄(closure)

    : R을 포함하면서 성질 P를 갖는 최소 관계


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.33】 집합 A={1, 2, 3, 4}이고

    R={(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}일 때, R의 반사

    폐쇄를 구하라.

    [풀이]

  • S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • ☞정리 4-8

    • R이 집합 A에 대한 관계이면 R의 반사 폐쇄는 R∪{(a, a) | a∈A}이다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.34】 집합 A={1, 2, 3}이고

    R={(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}일 때, R의 대칭

    폐쇄를 구하라.

    [풀이]

  • S={(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.35】 양의 정수의 집합에 대한 관계

    R={(a, b) a>b}의 대칭 폐쇄를 구하라.

    [풀이]

  • R∪R-1={(a, b) | a>b} ∪{ (b, a) | a>b}

    ={(a, b) | a ≠ b}


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • ☞정리 4-9

    • R이 집합 A에 대한 관계이면 R의 대칭 폐쇄는 R∪{(b, a)∈A×A | (a, b)∈R}=R∪R-1이다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 정의 4-13 경로(path)

    • 방향 그래프 G의 a에서 b로의 경로는 G에서

      한 개 이상 간선 (x0, x1), (x1, x2), …, (x n-1, xn)

      으로 구성(단, x0=a, xn=b)된 순서를 갖는다.

      길이가 n인 경로에서 시작점과 끝점이 같은

      경우를 사이클(순환; cycle)이라 한다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.36】 다음의 방향 그래프에서 <a, b, e, d>, <a, e, c, d, b>, <b, a, c, b, a, a, b>, <d, c>는 경로가 존재하는가? 또한 경로의 길이와 경로의 순회 여부를 결정하라.

    ◀ 책 그림 참조 ▶


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

[풀이]

  • <a, b, e, d> : 길이 3인 경로 존재

  • <a, e, c, d, b> : 경로가 존재하지 않는다.

  • <b, a, c, b, a, a, b> : 길이는 6인 경로, 순환

  • <d, c> : 길이가 1인 경로 존재


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • ☞정리 4-10

    • 집합 A에 대한 관계 R은 a에서 b로의 길이가 n인 경로가 존재하면 (a, b)∈Rn이다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 정의 4-14 접속 관계(connectivity relation)

    • 집합 A에 대한 관계 R의 접속 관계 R*

    • R*={(a, b) | a에서 b로의 경로가 존재}


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.37】 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, 관계 R={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}라 할 때 다음을 구하라.

    (1) R2 (2) R*

    (1) R2 ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,5)}

    (2) R* ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),

    (2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 정의 4-15 이행 폐쇄(transitive closure)

    • R을 집합 A에 대한 관계라면, R*는

      R의 이행 폐쇄이다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.38】 집합 A={1, 2, 3, 4}이고, 관계 R이 다음의 방향 그래프로 구성될 때 R의 이행 폐쇄 R*를 구하라.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

[풀이]

  • R*={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

  • 【예제 4.39】 집합 {1, 2, 3, 4}에서 관계 R이 다음과 같은 관계 행렬로 주어졌을 때 방향 그래프, 반사 폐쇄, 대칭 폐쇄, 이행 폐쇄를 구하라.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

[풀이]

(1) 방향 그래프는 다음과 같이 구성된다.


4

4.5 관계의 폐쇄 성질

(2) 반사 폐쇄 : 순서쌍 (1, 1), (4, 4) 추가

(3) 대칭 폐쇄 : 순서쌍 (3, 1) 추가

(4) 이행 폐쇄 (R*) : 경로에 존재하는 모든 순서쌍을 구한다

R*={(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 3),

(4, 4)}


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의 4-16 부분 순서 관계

    • 집합 A에 대한 관계 R이 반사적, 반대칭적,

      이행적이면 이를 부분 순서 관계라 하며, (A, R)

      을 부분 순서 집합(partially ordered set ; poset)

      이라 한다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.40】 정수(Z)의 집합에 대한 관계 ≥

    가 부분 순서 관계임을 보여라.

    [풀이]

  • 모든 정수 a에 대해, a ≥ a만족 : 반사 관계

  • a ≥ b, b ≥ a이면 a=b : 반대칭 관계

  • a ≥ b, b ≥ c 이면 a ≥ c : 이행 관계

  • ∴ 정수(Z)의 집합에서 관계 ≥ 가 부분 순서 관계임


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.41】 다음의 방향 그래프(directed graph)가 부분 순서 관계인지를 판별하라.

    [풀이]

  • (1), (2), (3) ː 부분 순서 관계


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의 4-17 선형 순서 관계(linear order relation)

    • 부분 순서 집합 (A, )에서 A의 원소 a, b가

      a b 또는 b a이면 a와 b를 비교 가능

      (comparable)하다고 하고, A의 모든 두 원소들이

      비교 가능하면 A를 선형 순서 집합이라 하며,

      관계 를 선형 순서 관계라고 한다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.42】 부분 순서 집합 (Z, |)에서 정수 3과

    9가 비교 가능한가? 또한 5와 7은 비교 가능한가?

    단, 관계 | 는 mod(a, b)=0을 의미한다.

    [풀이]

  • 9 | 3 : 9와 3은 비교 가능, 5 | 7, 7 | 5 : 비교 가능하지 않다.

    ∴ | 는 선형 순서 관계가 아니다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.43】 부분 순서 집합 (Z, ≤ )는 비교 가능한가?

    [풀이]

  • a, b가 정수, a ≤ b 또는 b ≤ a 만족, 선형 순서

    관계


4

4.6 부분 순서와 속

■ 유사 순서(quasi-order)

:반사적이 아니고 이행적인 관계

  • “a b이고 b c이면 a c”

  • (는 반대칭이고 이행적이다: a b이고

    a ≠ b이면, a b)


4

4.6 부분 순서와 속

  • : 부분 순서 집합 (A, )의 방향 그래프

  • : A의 원소인 정점과 b가 a를 커버할 때 a에서 b로의 간선으로 구성됨

    원소 b는 원소 a를 커버(cover)

  • : a b이고 A 내에 a c b인 c가 존재하지

    않을 때


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.44】 A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}이고, n | m은 mod(m, n) = 0 이라 하자. 부분 순서 집합 (A, |)를 하세 도표를 작성하라. 단, mod(m, n) = 0 은 m이 n으로 나누어 나머지가 0임을 뜻한다.


4

4.6 부분 순서와 속

[풀이]

  • 하세 도표를 작성하면 다음과 같다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.45】 P({a, b, c})를 멱집합이라고 할 때, 부분 순서 집합 (P, ⊆)를 하세 도표로 작성하라.

    [풀이]

  • 하세 도표로 작성하면 다음 그림과 같다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.46】 다음 도표가 하세 도표인지를 판별하라.


4

4.6 부분 순서와 속

[풀이]

(1) : 하세 도표가 아니다.

(2) : 하세 도표

(3) : 하세 도표가 아니다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • ☞정리 4-11

    • 모든 유한 부분 순서 집합은 하나의 하세 도표로 표시할 수 있다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의 4-18 극대 원소(maximal) 와

    극소 원소(minimal)

    • (P, )를 부분 순서 집합이라 하자. P 내의

      원소 x에 대하여 x y인 y가 존재하지 않을 때

      원소 x를 P의 극대 원소라 하고, y x인 y가

      존재하지 않을 때 원소 x를 P의 극소 원소라고

      한다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • ■ 부부분 순서 집합(subposet)

    • 부분 순서 집합 P의 부분 집합 S는 P의 부분 순서를 계승받고, 그 자체가 부분 순서 집합이 된다. 왜냐하면 반사적 ·반대칭적 · 이행적 특성은 P의 모든 원소에 적용되기 때문이다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.47】 [예제 4.44]의 부분 순서 집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부부분 순서 집합인 (1) {2, 3, 4, 5, 6}과 (2) {1, 2, 3, 6}을 하세 도표로 작성하라.

    [풀이]


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.48】 집합 {a, b, c}의 공집합을 제외한 모든 진부분 집합은 부분 순서 ⊆ 를 갖는 멱집합 P({a, b, c})의 부부분 순서 집합이다. 이를 하세 도표로 작성하라.


4

4.6 부분 순서와 속

[풀이]


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의 4-19 최대 원소(largest element;maximum)

    와 최소 원소(smallest element;minimum)

    • S : 부분 순서 집합 (P, )의 부부분 순서 집합,

    • 최대 원소 : ∀s∈S, s M인 원소 M이 S 내에 존재

      M = max(S)

    • 최소 원소 : ∀s∈S, m s인 원소 m이 S 내에 존재

      m = min(S)


4

4.6 부분 순서와 속

  • [예제 4.44] 최대 원소 : 존재하지 않는다

    (극대 원소간의 의 관계가 없기 때문)

    최소 원소 : 1

  • [예제 4.45]최대 원소 : {a, b, c},

    최소 원소 : { }


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의4-20 상한(upper bound)과 최소 상한

    (least upper bound), 하한(lower bound)과

    최대 하한(greatest lower bound)

    • S : 부분 순서 집합 (P, )의 부부분 순서 집합

      (1)∀s∈S, s x인 ∃x∈P, x : P 내에서 S에

      대한 상한


4

4.6 부분 순서와 속

(2) x : P 내에서 S에 대한 상한

y : P 내에 있는 S에 대한 모든 상한에 대하여,

x y일 때 x를 P 내에 있는 S의 최소 상한

x = lub(S)

(3) ∀s∈S, z s인 ∃z∈P, z : P 내에서 S에 대한 하한

(4) z : P 내에서 S에 대한 하한

w : P 내에 있는 S에 대한 모든 하한에 대하여,

w z일 때 z를 P 내에 있는 S의 최대 하한

z = glb(S)


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.49】 [예제 4.44]와 같이 부분 순서 집합({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |)이 있을 때, 다음과 같은 부부분 순서 집합에 대하여 상한, 최소 상한, 하한, 최대 하한을 각각 구하라.

    (1) {2, 3} (2) {4, 6} (3) {3, 6}


4

4.6 부분 순서와 속

[풀이]

(1) 상한: 6, 최소 상한: 6, 하한: 1, 최대 하한: 1

(2) 상한: 없음, 하한 : 2, 1, glb({4, 6}) = 2

(3) 상한: 6, lub({3, 6}) = 6 하한 : 3, 1,

glb({3, 6 }) = 3


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.50】 다음 하세 도표에 해당하는 부분 순서 집합 P에 대하여, 다음과 같은 부부분 순서 집합이 있을 때, 상한, 최소 상한, 하한, 최대 하한을 각각 구하라.

    (1) {b, c}(2) {d, f}

    (3) {d, e, f}(4) {b, d, e, f}


4

4.6 부분 순서와 속


4

4.6 부분 순서와 속

[풀이]

(1) 상한: d, e, g, h. 최소 상한 : 없음. 하한 : 없음

(2) 상한: h. lub({d, f})=h. 하한: a, c,

최대 하한: 없음

(3) 상한, 최소 상한: h, 하한: a, c, 최대 하한 : 없음

(4) 상한, 최소 상한: h, 하한, 최대 하한 : a


4

4.6 부분 순서와 속

  • 정의 4-21 속(lattice)

    • 부분 순서 집합 (P, )에서 P의 임의의 원소

      x, y에 대하여 {x, y}의 glb와 lub가 각각 하나씩

      존재한다고 하면, (P, )을 속이라고 한다.

      이 때, lub({x, y}) x∨y, glb({x, y})=x∧y로 나타내며,

      (∨또는 : 합 연산자, ∧ 또는 *: 곱 연산자)


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.51】 P({a, b, c})를 멱집합이라 할 때, 부분 순서 집합 (P, ⊆)이 속인지 판별하라.

    [풀이]

    [예제 4.45]의 하세 도표를 참고하면,

    • lub({{a}, {c}})={a}∨{c}={a, c}

    • lub({{a, b}, {a, c}})={a, b}∨{a, c}={a, b, c}

    • glb({{a, b}, {c}})={a, b}∧{c}= ø

    • glb({{a, b}, {b, c}})={a, b}∧{b, c}={b}

  • 결국, 부분 순서 집합 (P, ⊆)은 속이다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • ■일반적으로 임의의 집합 S에 대하여 (P(S), ⊆): 속

    • lub({A, B, …, Z})=A∪B…∪Z

    • glb({A, B, …, Z})=A∩B…∩Z


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.52】 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}이고, n | m은 mod(m, n)=0이라 하자. 부분 순서 집합 (A, |)이 속인지 판별하라. 단, mod(m, n)=0은 m이 n으로 나누어짐을 말한다.

    [풀이]

  • {3, 4}는 상한이 존재하지 않으므로 속이 아니다.


4

4.6 부분 순서와 속

  • 【예제 4.53】 P를 양의 정수라 하고 n | m은 mod(m, n)=0이라 할 때, 부분 순서 집합 (P, |)이 속인지 판별하라.

    [풀이]

  • lub({m, n}) : m, n의 최소 공배수

  • glb({m, n}) : m, n의 최대 공약수

  • (예), lub({12, 10})=60, glb({12, 10})=2

  • ∴ ( P, | ) : 속


4 7 n

4.7 n-항 관계의 응용

  • 정의 4-25

    도메인, 카티션 프로덕트, 릴레이션

    • 도메인(domain) : D1, D2, … , Dn으로 표기하며

      값들의 집합

    • 카티션 프로덕트(Cartesian product)

      : D1 x D2 x … x Dn으로 표기하며 n-튜플의 집합

    • 릴레이션(relation) : R로 표기, R ⊆ D1xD2x … xDn

    • P171 – p177 참조


4 7 n1

4.7 n-항 관계의 응용

[예] 학번, 성명, 전공, 평균점수 : 도메인

* 카티션 프로덕트(4-튜플)


4 7 n2

4.7 n-항 관계의 응용

[예] 학생 릴레이션


4 7 n3

4.7 n-항 관계의 응용

[예] 학생 릴레이션 : 학생 테이블

  • 릴레이션 스킴(내포) : 학번, 성명, 전공, 평균평점(애트리뷰트)

  • * 테이블의 논리적 구조를 기술한 것으로 정적

  • 릴레이션 인스턴스(외포) : 1, 이영호, CS, 3.83 (n-튜플들의 집합)

  • * 현실세계의 어느 한 시점에서의 릴레이션의 내용 기술, 동적


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