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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. ESCUELA :. Ciencias de la Computación. Ing. Ricardo Blacio. NOMBRES:. ABRIL - AGOSTO 2010. FECHA :. 4. Funciones polinomiales y racionales Una función polinomial tiene la forma:

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  1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA: CienciasdelaComputación Ing. Ricardo Blacio NOMBRES: ABRIL - AGOSTO 2010 FECHA:

  2. 4. Funciones polinomiales y racionales • Una función polinomial tiene la forma: • Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio. • Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.

  3. Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación: • Calcule (x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría. • Calcule el intersecto(0) en y. • Factorice el polinomio. • Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación (x)  0. • Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde (x)  0 y donde (x)  0. • Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.

  4. En los casos en los que (x) son positivos ((x)0), la gráfica de la función está por encima del eje x. • La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de (x) son negativos ((x) 0).

  5. Funciones racionales • Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí: • g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x)  0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.

  6. Asíntotas • Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas. • Asíntotas verticales • Se dice que una recta x  a es una asíntota vertical para la gráfica de una función  sí.

  7. Asíntotas horizontales • Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma: Teoremas: 1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal. 3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

  8. Gráfica de funciones racionales Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas: Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0. Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0. Encontrar las intersecciones con y, obteniendo F(0), trazamos la intersección (0,F(0)). Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c. Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c. Trazar la gráfica en cada región.

  9. Ejercicios. Trace la gráfica de f a.- 1. Intersección con x hacer y = 0 0 = - 2 No hay intersección con x 2. Asíntota vertical x + 1 = 0 x = - 1 3. Intersección con y hacer x = 0 = - 2

  10. 4. Asíntota horizontal Teorema 1 1 1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal 5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior. 6. Trazar la gráfica

  11. Asíntota vertical Asíntota horizontal Intersección con y

  12. b.- 1. Intersección con x hacer y = 0 0 = 3x2 x = 0 2. Asíntota vertical 16 – x2 = 0 – x2 = - 16 x2 = 16 x = ± 4 3. Intersección con y hacer x = 0 = 0

  13. 4. Asíntota horizontal Teorema 2 La recta y=am/bn es la asíntota horizontal 2 = 2 y=3 /-1 y= -3 5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica f(x) = c 3x2 = - 48 + 3x2 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real. 0 = - 48

  14. Asíntota vertical 6. Trazar la gráfica Intersección con x, y Asíntota horizontal

  15. c.- 1. Intersección con x hacer y = 0 x = 4 x2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0 x = - 2 2. Asíntota vertical - x + 2= 0 - x = - 2 x = 2 3. Intersección con y hacer x = 0 = - 4

  16. 4. Asíntota horizontal Teorema 3 No hay asíntota horizontal 2 > 1 1 5. No aplica 6. Asíntota oblicua Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. 1

  17. Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua. x2 - 2x – 8 - x + 2 - x2 + 2x - x Este cociente es la ecuación de la asíntota. - 8 y = - x

  18. 6. Trazar la gráfica Asíntota vertical Asíntota oblicua Intersección con x Intersección con y

  19. Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec

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