CONFORMITE d’une distribution expérimentale à une distribution théorique

1. CONFORMITE d’une distribution expérimentale à une distribution théorique Professeur Pascale FRIANT-MICHEL>Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@cbt.uhp-nancy.fr

2. I - GENERALITES (1) CONFORMITE d’une DISTRIBUTION EXPERIMENTALE à une DISTRIBUTION THEORIQUE Problème de conformité Répartition théorique est-elle conforme à la répartition expérimentale ? Remarque : Même si une série empirique suit effectivement une loi de distribution théorique donnée, les fréquences expérimentales différeront forcément, en raison des fluctuations fortuites d’échantillonnage, des fréquences que l’on devrait théoriquement observer, compte tenu de l’effectif de la série P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

3. I - GENERALITES (2) On se demande donc si les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution supposée restent dans les limites des fluctuations fortuites d’échantillonnage (auquel cas l’assimilation de la distribution expérimentale à la distribution théorique est légitime) Principe du test : • Comparer deux distributions dans leur ensemble • Caractériser la divergence, pour chacune des valeurs de la distribution, entre les effectifs observés (O1, O2, . . ., On) et les effectifs théoriques (T1, T2, . . ., Tn) que l’on aurait dû observer dans une distribution théorique de même effectif total que la distribution expérimentale étudiée • Vérification de la conformité par le test du c2de K. PEARSON . c2 d’ajustement . test d’hypothèse P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

4. II - TEST de x2 (1) II - TEST de c2 1. Principe du test . divergence définie par l’écart (Oi – Ti) . carrés des écarts appelés écarts quadratiques . écart quadratique relatif : 2. Nombre de degrés de liberté Soient T1, T2, . . ., Tn les effectifs théoriques Si n - 1 d’entre eux sont fixés, le nième est défini par Ti = N => n = n - 1 P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

5. II - TEST de x2 (2) II - TEST de c2 2. Nombre de degrés de liberté (2) Toute relation supplémentaire imposée aux effectifs théoriques conduit à réduire d’une unité le nombre de degrés de liberté => n = n - 1 - r r étant le nombre de relations supplémentaires - Pour une distribution binomiale : r = 1 (p) => n = n - 2 - Pour une distribution de POISSON : r = 1 (m) => n = n - 2 - Pour une distribution de LAPLACE-GAUSS : r = 2 (m, s) => n = n - 3 P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

6. III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de x2 III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de c2 1. Le c2 s’applique exclusivement aux effectifs 2. Le c2 est suivi lorsque : * N ≥ 50 * n ≥ 5 • Si 30 ≤ N < 50, le test est utilisable mais avec prudence, • => exclusivement applicable lorsque c2franchement différent de celui des tables • Si N < 30, le test n’est plus applicable • Si n < 5, groupements de classe • => n diminue => sensibilité du test est abaissée 3. Effectifs théoriques calculés avec précision P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

7. IV - EXEMPLES (1) Ho : Les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution théorique ne sont dues qu’aux fluctuations d’échantillonnage • Conformité d’une distribution expérimentale à une • DISTRIBUTION BINOMIALE Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

8. IV - EXEMPLE (2) • Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION BINOMIALE (2) n = n - 2 = 4 - 2 = 2 P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

9. IV - EXEMPLE (3) • Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION BINOMIALE (3) a = 5 % => co2 = 5,99 c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse d’une distribution binomiale avec p = = 0,435 n’a pas été infirmée par les constatations expérimentales 2. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de POISSON Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

10. IV - EXEMPLE (4) 2. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de POISSON (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

11. IV - EXEMPLE (5) 2. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de POISSON (3) n = n - 2 = 4 - 2 = 2 a = 5 % => co2 = 5,99 c2 << co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse d’une distribution suivant une loi de POISSON de moyenne m = 1,77 n’est pas démentie par les constatations expérimentales 3. Conformité d’une distribution expérimentale à une DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

12. IV - EXEMPLE (6) 3. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

13. IV - EXEMPLE (7) 3. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (3)

14. IV - EXEMPLE (8) 3. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS (3) n = n - 3 = 10 - 3 = 7 a = 5 % => co2 = 14,07 c2 < co2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque Conclusion : l’hypothèse que la distribution suive une loi normale de moyenne m = 3,33 kg et d’écart-type s = 0,45 kg n’a pas été démentie par les constatations expérimentales P. FRIANT-MICHEL Chapitre – Conformité

15. L1 SANTE