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第 2 章 插值法 PowerPoint PPT Presentation


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第 2 章 插值法. 拉格朗日插值. 牛顿插值. 埃尔米特插值. 分段低次插值. 1 、问题背景. §1 引 言. 应用:例如程控加工机械零件等。. 2 、 一般概念. 简单函数 P ( x ) ,满足条件 P ( x i )= y i ( i =0,1,…, n ) 则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的 插值函数 ,点 x 0 , x 1 ,…, x n 为 插值节点. 包含插值节点的区间 [a, b] 称为 插值区间 ,求插值函数 P ( x ) 的方法称为 插值法 。. 若 P ( x ) 是一个次数不超过 n 的代数多项式:.

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第 2 章 插值法

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Presentation Transcript


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第2章 插值法

拉格朗日插值

牛顿插值

埃尔米特插值

分段低次插值


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1、问题背景

§1 引 言

应用:例如程控加工机械零件等。


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2、一般概念

简单函数P(x),满足条件

P(xi)=yi (i=0,1,…,n)

则称P(x)为f(x)的插值函数,点x0, x1,…,xn为插值节点

包含插值节点的区间[a, b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法称为插值法。


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若P(x)是一个次数不超过n的代数多项式:

则称P(x)为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值。若P(x)为分段的多项式,就称为分段插值,若P(x)为三角多项式,就成为三角插值。


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3、插值多项式存在唯一性定理

在区间[a,b]上给定n+1个点

的函数值yi=f(xi) (i=0,1,…,xn)

定理:

满足条件:

P(xi)=yi, i=0,1,…,n

的次数不超过n的插值多项式P(x)存在唯一。


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1、线性插值和抛物插值

对给定插值点,求出形如

先考察n=1的情形,假定给定区间[xk, xk+1]及端点的函数值yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式L1(x),满足:

L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1

§2 拉格朗日插值


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点斜式

两点式


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其中lk(x)和lk+1(x)也是线性插值多项式,满足:

称为线性插值基函数


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2、拉格朗日插值多项式

仍采用基函数法,求一个n次插值基函数lk(x),满足:


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Ln(x)——拉格朗日插值多项式


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练习 给定数据表

求三次拉格朗日插值多项式L3(x).


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3、插值余项与误差估计


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特别性质


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例1已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=

0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值,

并估计误差.


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1、问题的引入

拉格朗日插值优缺点……?

优点:

结构紧凑

便于理论分析

缺点:

节点增减时,计算不方便

§3 差商与牛顿插值

满足如下插值条件:

的次数不超过n的插值多项式存在且唯一


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2、差商定义

称 为函数f(x)关于点x0, xk的一阶差商

称为f(x) 的二阶差商

一般地,

称为f(x) 的k阶差商


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3、差商的基本性质

由数学归纳法可以证明

此性质表明差商与节点的排列次序无关,称为差商的对称性。


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a0

a1

a2

a3

ak=f[x0,x1,x2,…,xk]


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4、牛顿插值多项式


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【例】f(x)的函数表如下,求4次牛顿差值多项式,并由此求f(0.596)的近似值


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§4 埃尔米特插值

如果插值多项式不仅要求插值节点上的函数值相等,而且要求在节点上的导数值甚至高阶导数值相等,满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。

P(xi)=f(xi), (i=0,1,2), P′(x1)=f(x1)

两点三次埃尔米特插值

H3(xk)=yk, H3(xk+1)=yk+1

H′3(xk)=mk, H′3(xk+1)=mk+1


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P(xi)=f(xi), (i=0,1,2), P′(x1)=f(x1)

余项R(x)


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在(a,b)内有5个零点,反复使用罗尔定理:

在(a,b)内至少有1个零点ξ,因此:


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H3(xk)=yk, H3(xk+1)=yk+1

H′3(xk)=mk, H′3(xk+1)=mk+1


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H3(xk)=yk, H3(xk+1)=yk+1

H′3(xk)=mk, H′3(xk+1)=mk+1


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定义重节点差商:

类似地,重节点二阶差商定义为:


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P36-例6


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§5 分段低次插值

1、高次插值的病态性质

在[-5, 5]上取n+1个等距节点xk=-5+10k/n (k=0,1,…,n)


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计算结果及误差


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y=L10(x) 及y=1/(1+x2)在[-5,5]的对比图形


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2、分段线性插值


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在[a, b]上一致成立,Ih(x)在[a, b]上一致收敛到f(x)


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3、分段三次埃尔米特插值

分段线性插值函数导数间断,若已知节点上函数值和导数,可构造一个导数连续的插值函数Ih(x),满足


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复习要点

拉格朗日插值(基函数)

牛顿插值(差商表)

埃尔米特插值(节点值及导数值,亦可用差商表)

分段线性插值(基函数)

分段埃尔米特插值(基函数)


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作业

P48-ex2, ex4, ex7

P49-ex16, ex17

P48-ex8


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