第 2 章插值法

第2章插值法 拉格朗日插值牛顿插值埃尔米特插值分段低次插值

1、问题背景 §1 引言应用：例如程控加工机械零件等。

2、一般概念 简单函数P(x)，满足条件 P(xi)=yi (i=0,1,…,n) 则称P(x)为f(x)的插值函数，点x0, x1,…,xn为插值节点包含插值节点的区间[a, b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。

若P(x)是一个次数不超过n的代数多项式： 则称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式，就成为三角插值。

3、插值多项式存在唯一性定理 在区间[a,b]上给定n+1个点的函数值yi=f(xi) (i=0,1,…,xn) 定理：满足条件： P(xi)=yi, i=0,1,…,n 的次数不超过n的插值多项式P(x)存在唯一。

1、线性插值和抛物插值 对给定插值点,求出形如先考察n=1的情形，假定给定区间[xk, xk+1]及端点的函数值yk=f(xk), yk+1=f(xk+1)，要求线性插值多项式L1(x)，满足： L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1 §2 拉格朗日插值

点斜式 两点式

其中lk(x)和lk+1(x)也是线性插值多项式，满足： 称为线性插值基函数

2、拉格朗日插值多项式 仍采用基函数法，求一个n次插值基函数lk(x)，满足：

Ln(x)——拉格朗日插值多项式

练习给定数据表 求三次拉格朗日插值多项式L3(x).

3、插值余项与误差估计

特别性质

例1已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.

1、问题的引入 拉格朗日插值优缺点……？优点：结构紧凑便于理论分析缺点：节点增减时，计算不方便 §3 差商与牛顿插值满足如下插值条件：的次数不超过n的插值多项式存在且唯一

2、差商定义 称为函数f(x)关于点x0, xk的一阶差商称为f(x) 的二阶差商一般地，称为f(x) 的k阶差商

3、差商的基本性质 由数学归纳法可以证明此性质表明差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性。

a0 a1 a2 a3 ak=f[x0,x1,x2,…,xk]

4、牛顿插值多项式

【例】f(x)的函数表如下，求4次牛顿差值多项式，并由此求f(0.596)的近似值【例】f(x)的函数表如下，求4次牛顿差值多项式，并由此求f(0.596)的近似值

§4 埃尔米特插值 如果插值多项式不仅要求插值节点上的函数值相等，而且要求在节点上的导数值甚至高阶导数值相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。 P(xi)=f(xi), (i=0,1,2), P′(x1)=f(x1) 两点三次埃尔米特插值 H3(xk)=yk, H3(xk+1)=yk+1 H′3(xk)=mk, H′3(xk+1)=mk+1

P(xi)=f(xi), (i=0,1,2), P′(x1)=f(x1) 余项R(x)

在(a,b)内有5个零点，反复使用罗尔定理： 在(a,b)内至少有1个零点ξ，因此：

H3(xk)=yk, H3(xk+1)=yk+1 H′3(xk)=mk, H′3(xk+1)=mk+1

定义重节点差商： 类似地，重节点二阶差商定义为：

P36-例6

§5 分段低次插值 1、高次插值的病态性质在[-5, 5]上取n+1个等距节点xk=-5+10k/n (k=0,1,…,n)

计算结果及误差

y=L10(x) 及y=1/(1+x2)在[-5,5]的对比图形

2、分段线性插值

在[a, b]上一致成立，Ih(x)在[a, b]上一致收敛到f(x)

3、分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足

复习要点 拉格朗日插值（基函数）牛顿插值（差商表）埃尔米特插值（节点值及导数值，亦可用差商表）分段线性插值（基函数）分段埃尔米特插值（基函数）

作业 P48-ex2, ex4, ex7 P49-ex16, ex17 P48-ex8

第 2 章 插值法