Máquina celular de computación universal con evoluciones de Post

1. Máquina celular de computación universal con evoluciones de Post Abdiel E. Cáceres González Sergio V. Chapa Vergara Harold V. McIntosh México D.F. 25-septiembre-2003.

2. Antecedentes • Desde el inicio de la teoría de autómatas celulares, creada a fines de la década de 1940 por John von Neumman, fue pensada con el propósito de modelar matemáticamente la auto-reproducción en algunos sistemas biológicos. Así von Neumman desarrolló un modelo matemático que consistía de un arreglo bidimensional de unas 200,000 computadoras interconectadas (ahora conocidas como células) capaces de estar en uno de 29 posibles estados. J. von Neumman S. Ulam Seminario de doctorado - Sep/03

3. Enfoques reportados por otros autores • John von Neumann • John H. Conway • Alvi Ray Smith III • Matthew Cook Seminario de doctorado - Sep/03

4. Enfoque de John von Neumann • Uno de los conceptos que von Neumann definió y que es una parte fundamental es lo que él llamó constructor universal, que es una máquina que es capaz de construir cualquier otra máquina a partir de su descripción. La idea principal de von Neumman es dar la propia descripción de la máquina constructor universal para crear otra máquina constructor universal de las mismas características. Este proceso requiere que la descripción del constructor universal incluya su propia descripción, idea que fué tomada de modelos celulares vivos que contienen información de cómo construir otras células del mismo tipo: • La descripción muestra las características básicas de la máquina, al estilo de un genoma, que es interpretado para construir una copia del constructor universal. • La descripción es literalmente copiada, una vez que ha sido detectada y leída. Seminario de doctorado - Sep/03

5. J. H. Conway Enfoque de John H. Conway Seminario de doctorado - Sep/03

6. Enfoque de Alvi Ray Smith III Seminario de doctorado - Sep/03

7. Enfoque de Matthew Cook. El trabajo de Wolfram • En 1984, Wolfram publicó un estudio acerca de las evoluciones de los autómatas celulares en 1D (1,2). Las evoluciones las clasificó en 4 clases. En el artículo, Wolfram sugirió que los autómatas que generaban evoluciones de ``clase 4'' (complejos) eran capaces de hacer computación universal, aunque mencionaba que los autómatas (1,2) eran demasiado simples para ser de clase 4. • En 1985, en el artículo Undecidability and Intractibility in theoretical Physics, notó que algunas evoluciones aun cuando eran muy simples, producian patrones complejos, de manera que decidió incluir estas reglas en la clase de comportamientos complejos. • En 1986 en Theory and applications of Cellular Automata, dijo: ``El autómata celular con regla de evolución 110 (1,2) tiene un comportamiento suficientemente sofisticado como para soportar computación universal''. • En el libro ANKOS, se describe ligeramente una manera en que se puede hacer la demostración de todas estas conjeturas acerca de la universalidad de la regla 110. S. Wolfram Seminario de doctorado - Sep/03

8. Enfoque de Matthew Cook • Describe las evoluciones de R110 como un sistema TAG cíclico • Un sistema TAG cíclico puede emular las actividades de una máquina universal de Turing • El modelo de Cook será tener la cinta representada por gliders estacionarios, este tipo de datos será útil para representar los datos de la cinta. • La cinta está orientada con la parte frontal a la derecha y el final de la cinta al lado izquierdo. • La lista de datos agregables, también son gliders que representan los símbolos Y y N. Estos símbolos se moverán desde la derecha y van a chocar con el primer elemento de la cinta. Si el glider estacionario representa un N, entonces el dato de la tabla de agragables se destruye, sin embargo, cuando el glider choca con un glider estacionario que representa un Y, entonces se cruzan y el glider continúa su viaje a la izquierda M. Cook Seminario de doctorado - Sep/03

9. Planteamiento del problema Hay dos posibilidades para hacer que un autómata celular haga algún tipo de computación: Crear el autómata con el propósito de que haga esa computación. Averiguar si la evolución del autómata celular hace esa computación. Hasta ahora se puede hacer computación con la regla 110 dando una configuración inicial extremadamente larga y precisa, de manera que en su evolución se generen los adecuados gliders y ocurran en el lugar y momento adecuado. La intención de este trabajo es proporcionar un nuevo punto de vista que sugiera una manera más sencilla, pero robusta, de hacer computaciones con los triángulos que aparecen en el diagrama espacio-temporal. • En este trabajo se estudia la manera de hacer procesos computacionales con los patrones gráficos que se generan en diagrama espacio-temporal de los autómatas celulares lineales de dos estados y radio de vacindad uno, particularmente con la regla de evolución 110. Seminario de doctorado - Sep/03

10. Objetivos • Con esta dirección de pensamiento se pretenden alcanzar los objetivos que se citan enseguida. • Construir las bases teóricas necesarias para aportar herramientas que sirvan para comprender el comportamiento emergente de las células en las evoluciones de los autómatas celulares lineales con reglas de evolución equivalentes a la regla 110. • Con la teoría documentada, determinar las capacidades de cómputo de las reglas de evolución equivalentes a la regla 110. Seminario de doctorado - Sep/03

11. Enfoque utilizado. Definiciones • Los autómatas celulares son sistemas dinámicos discretos que involucran cuatro elementos de construcción: • El espacio celular • La configuración de vecindades • Los estados de las celulas • La regla de evolución local Seminario de doctorado - Sep/03

12. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Se construye una base algebraica para manipular estos tipos de triángulos, definiendo tanto los elementos que lo constituyen, como los operadores que permiten construir nuevos patrones gráficos más elaborados con características particulares que determinarán la diferencia entre los patrones que son válidos y los que no lo son. Seminario de doctorado - Sep/03

13. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Subgrupo aditivo de parches Seminario de doctorado - Sep/03

14. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Métrica básica Seminario de doctorado - Sep/03

15. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Parches prohibidos • No se permite alinear triángulos por su parte superior. • Cualquier parche debe ser avalado por verificaciones con diagramas de D´Bruijn Seminario de doctorado - Sep/03

16. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Retículas generadas con los mosaicos El grammiano de la matriz definida por la base de la malla es equivalente al número de células que conforman el mosaico. Seminario de doctorado - Sep/03

17. Enfoque utilizado. Estructuras algebraicas • Homomorfismos de translaciones y construcciones Opraciones de corrimiento y corrimiento especial Seminario de doctorado - Sep/03

18. Extra bonus: crecimiento gnomónico de los triángulos • Figuras gnomónicas en el acl(2,1)110 • Los gnomones para los triángulos en la R110, se puede escribir como Seminario de doctorado - Sep/03

19. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Llamamos un "proceso constructivo" a las maneras ordenadas de acomodar los triángulos, que serán considerados como símbolos permitidos, incluyendo los mosaicos; de manera que representen configuraciones válidas dentro del marco de validez que ha sido definido de antemano (la regla de evolución) • La cantidad de elementos y el orden de estos, es determinado por un triángulo, el cual es tomado como base de la construcción. Estas ordenaciones de triángulos en secuencias finitas las describiremos e identificaremos por secuencias de símbolos que llamaremos palabras, y el proceso constructivo se organizará en dos partes • la manera de construir las palabras y posteriormente • cómo se pueden obtener palabras a partir de otras palabras, incluyendo la manera de terminar el proceso cosntructivo. Seminario de doctorado - Sep/03

20. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Alfabetos de triángulos • Los alfabetos válidos deben contener los símbolos de los triángulos que son más frecuentes, en adelante tomaremos T={t0,t1,t2,t3,t4} como alfabeto de símbolos, por ser los que más frecuentemente ocurren y por hacer los ejemplos más accesibles. • Las palabras • Son contatenaciones de símbolos del alfabeto. Donde la operación de concatenación es utilizada de la manera usual en teoría de lenguajes. Seminario de doctorado - Sep/03

21. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Represetnación gráfica de las palabras • Palabras creadas en la diagonal • Palabras creadas en la frontera izquierda • Palabras creadas en la frontera superior Seminario de doctorado - Sep/03

22. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Sistemas de palabras • Llamamos un sistema de palabras a la manera de relacionar el grupo de triángulos relacionados con el triángulo central y preservando el orden en que gráficamente aparecen. Seminario de doctorado - Sep/03

23. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Reglas de agregación • Un esquema es una regla de sustitución que asocia un triángulo con tres palabras asociadas con cada uno de los lados del triángulo. • Un esquema está definido por tres elementos constructivos: • El elemento izquierdo o sustituible, es un triángulo. • El elemento central o símbolo de relación. Puede ser un símbolo de sustitución normal o de sustitución terminal. • El elemento derecho o sustituto, es un sistema de palabras Puede haber más de un esquema para un lado izquierdo Seminario de doctorado - Sep/03

24. Enfoque utilizado. Procesos constructivos • Reglas de agregación. representación gáfica Gráficamente las evoluciones de Post se ven como triángulos a los que se le han concatenado algunos otros triángulos, formando parches que servirán para crear parches más complejos. Seminario de doctorado - Sep/03

25. Enfoque utilizado. Procesos constructivos Seminario de doctorado - Sep/03

26. Enfoque utilizado. Algoritmos • El plan para encontrar algun significado computacional con el proceso constructivo es el siguiente: • Considerar el conjunto de elementos formados por: • El alfabeto • Un conjunto de simbolos separadores • El esquema como un algoritmo, aun mas, como un algoritmo normal, siguiendo las bases descritas por A. A. Markov Jr. Describiendo como un algoritmo una tripleta en la forma: • Definir formalmente una máquina celular de computación basada en triángulos de la R110. A.A. Markov Jr. Seminario de doctorado - Sep/03

27. Enfoque utilizado. Evoluciones de Post • Son transformaciones del espacio de parches al espacio de parches. • La regla de evolución es elegir una de las reglas de agregación del esquema de palabras y transformar el parche, generando un nuevo parche de tamaño igual a la suma del tamaño de cada parche involucrado. • El proceso termina cuando se ha elegido una agregación terminal o se ha obtenido el cubrimiento deseado. Seminario de doctorado - Sep/03

28. Enfoque utilizado. Máquina celular de computación basada en triángulos de R110 • Una MCCTR110 es una tupla • donde: Algoritmo Símbolo inicial Conjunto de señaladores Alfabeto Conjunto de separadores Reglas de agregación Seminario de doctorado - Sep/03

29. Enfoque utilizado. Máquina celular de computación basada en triángulos de R110 • Decimos que un triángulo tn calcula un cubrimiento X usando la MCCTR110 si después de suficientes agregaciones, el cubrimiento obtenido difiere de X en una medida por debajo de un umbral determinado por el conjunto V o cero dependiendo del criterio de comparación. si • Cuando el criterio es de semejanza, el proceso constructivo continúa mientras que la medida de semejanza entre el parche construido y el parche objetivo X aumente hasta llegar a un máximo, que es dado por el conjunto V, más o menos algún rango de permisibilidad . • Si el criterio es de diferencias, el proceso constructivo continúa hasta hacer que la medida de diferencias llegue a ser cero más o menos algún rango de permisibilidad . Seminario de doctorado - Sep/03

30. Enfoque utilizado. Máquina celular de computación basada en triángulos de R110. Ejemplo • Si la máquina está definida como: Seminario de doctorado - Sep/03

31. Enfoque utilizado. Máquina celular de computación basada en triángulos de R110. Ejemplo • El cubrimiento objetivo es 4 0 • Y el conjunto de señaladores es {(4,13),(2,4),(13,8),(7,-3),(-9,-2),(-13,4),(-4,3),(-11,13),(-2,16)} Seminario de doctorado - Sep/03

32. Resultados más importantes • Se ha creado una base algebraica para manipular patrones gráficos, de manera que las construcciones garanticen la validez local de los patrones construidos con respecto a la regla de evolución original. • La validez de esa base algebraica se mantiene dentro del grupo de simetría de la regla 110, bajo las transformaciones de reflejo y negación de las reglas. • Se proporcionan maneras ordenadas de clasificar gliders en familias y de determinar su extensión espacial. • Se puede describir un algoritmo de duración finita que determina la posibilidad de cubrir el plano con un conjunto de triángulos dado. • Se puede describir un algoritmo de duración finita que determina la existencia de gliders con un conjunto finito de triángulos. • Se ha dado una descripción formal de algoritmo en el ámbito de los triángulos de la regla 110 Seminario de doctorado - Sep/03

33. Publicaciones generadas Artículos • Homomorphisms in lca(2,1)110 tiles. • Artículo enviado a Theoretical Computer Science en Mayo de 2003 Conferencias • Gramáticas y lenguajes producidos con mosaicos de acl(2,1)110 • III simposium Internacional en Tecnologías Inteligentes. Octubre 2002 • Dinámica de mosaicos en la evolución de los autómatas celulares lineales de 2 estados y radio de vecindad 1 con la regla de evolución 110. • XXXV Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Octubre 2002 (sesión de ciencias de la computación) • Estructuras algebraicas de los patrones generados con el acl(2,1)110 • XXXVI Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Octubre 2003 (sesión de algebra) Seminario de doctorado - Sep/03

34. Trabajos futuros • Dar solidez al proyecto en los siguientes puntos: • Cualquier solución encontrada debe tener una representación en la configuración global inicial. • Considerar el caso general de contar con el alfabeto de triángulos que conste de todos los triángulos posibles. • Mostrar una posible relación de las "Evoluciones de Post" con las "Gramáticas de Lindenmayer" • Revisar documento final Seminario de doctorado - Sep/03

35. Abdiel E. Cáceres González acaceres@Xserver02.cs.cinvestav.mx Centro de Investigación y de Estudios Avanzados -IPN Av. IPN 2508 Col. San Pedro Zacatenco Delegación Gustavo A. Madero, C.P. 07350 México D.F. México Seminario de doctorado - Sep/03