Théorie de Lyapunov sur la stabilité

1. Théorie de Lyapunov sur la stabilité Référence: Notes de cours de D. Alazard de SupAéro. Notes de Hannah Michalska, McGill University

2. Système non-linéaire • Considérons un système continu et non-linéaire représenté par: • Exemple:

3. Point d’équilibre • Un vecteur est un point d’équilibre si: • Si xe est différent de 0, il peut être ramené à 0 par un changement de variable:

4. Point d’équilibre • Considérons donc à partir de maintenant que: • Sans perte de généralité…

5. Stabilité locale simple et asymptotique • L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est: • Stable, si pour tout ε>0, il existe un r=r(ε), tel que: • Instable si non-stable;

6. Stabilité locale simple et asymptotique • L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est: • Asymptotiquement stable, s’il est stable et si r peut être choisi tel que: • Marginalement stable, s’il est stable sans être asymptotiquement stable.

7. Stabilité asymptotique globale • Si le système est asymptotiquement stable quelque soit la condition initiale x(0), alors le point d’équilibre est globalement asymptotiquement stable.

8. Comment vérifier la stabilité d’un système non-linéaire ? Fonction de Lyapunov

9. Idée de base (assumant xe = 0) • Supposez que l’on puisse définir une mesure de l’énergie dans un système: • par exemple: • Tel que:

10. Idée de base (assumant xe = 0) • Tel que (suite): • augmente doucement tandis que x augmente (pour un t donné). • L’énergie ne s’accroit pas le long de toute trajectoire, donc:

11. Intuitivement… • … il est raisonnable de penser que pour x0 près de xe (= 0): • L’énergie initiale est petite. • L’énergie reste toujours petite. • puisque: • reste près de xe pour toujours. •  xe est stable.

12. Hypothèse de base sur V(x,t) • : toutes les dérivées partielles de V existent et sont continues dans (x,t). • Conséquence:

13. Pour un ensemble • …nous devons être en mesure d’écrire qu’il existe des fonctions et tel que: • et sont des fonctions de classe K.

14. Fonction de classe K • est une fonction de classe K si: • , et est continu; • ; • est strictement croissant de façon monotone avec . • Exemple: est une fonction de classe K.

15. Fonction définie positive • Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie positive dans une région Ω autour de l’origine si: • V(0) = 0; • V(x) > 0 pour tout .

16. Fonction définie positive • Autrement dit: • Si Fonction de classe K

17. Fonction définie semi-positive • Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie semi-positive dans une région Ω autour de l’origine si: • V(0) = 0; • V(x) ≥ 0 pour tout .

18. Fonction quadratique définie positive • La fonction quadratique où Q est une matrice (de taille n par n) réelle symétrique, est définie positive si toutes les valeurs propres de la matrice Q sont strictement positives.

19. Exemples • #1: • Définie positive dans R2; • Définie semi-positive dans R3. • #2: • Définie semi-positive dans R2. (Pourquoi ?)

20. Stabilité de Lyapunov, méthode directe

21. Stabilité locale • L’état d’équilibre xe = 0 est stable si il existe une fonction continuelle-ment dérivable V(x) telle que: • V(0) = 0; • V(x) > 0, ;

22. Stabilité locale et asymptotique • Si la dernière condition était plutôt, alors l’état d’équilibre est asymptotiquement stable.

23. Stabilité globale • L’état d’équilibre xe = 0 est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuellement dérivable V(x) telle que: • V(0) = 0; • V(x) > 0,

24. Exemple • Soit: • Passage en équation d’état avec: • Ainsi: Dont on veut connaître la stabilité.

25. Exemple • Ce système possède un point d’équilibre à (x1,x2)=(0,0). • Analysons la stabilité de ce système avec cette fonction de Lyapunov:

26. Exemple • Dérivant V(x), on trouve: • Ensuite:

27. Exemple • Donc • Ainsi, V(x) est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires possibles si ε<0.

28. Exemple • En vertu de la théorie de Lyapunov, le système est globalement stable si ε=0. • Il est globalement asymptotiquement stable si ε<0. • Sinon, il est globalement instable.

29. Exemple #2 • Soit: • Dont le point d’équilibre est à (0,0). • Vérifions la stabilité avec cette fonction de Lyapunov:

30. Exemple #2 • En dérivant: • Donc

31. Exemple #2 • Cette condition peut être réécrite comme suit:

32. Exemple #2 • Essayons ce second candidat: • Dérivant: • Ce qui mène à conclure que le système est globalement asymptotiquement stable.

33. Exemple #3 • Soit: • Dont le point d’équilibre est à (0,0). • Vérifions la stabilité avec cette fonction de Lyapunov suivante:

34. Exemple #3 • En dérivant: • Stable car:

35. Bilan • Le choix de la fonction de Lyapunov a un effet sur l’évaluation de la zone de stabilité d’un système non-linéaire.

36. Stabilité de Lyapunov des systèmes linéaires • Le système linéaire est asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute matrice symétrique définie positive Q, il existe une matrice P définie positive et symétrique satisfaisant l’équation de Lyapunov:

37. Démonstration (condition suffisante) • Considérons ce candidat: • Dérivant:

38. Démonstration (condition suffisante) • Soit Q une matrice définie positive, si P est une solution positive de l’équation de Lyapunov. • Alors • et • Donc système asymptotiquement stable.

39. Démonstration (condition nécessaire) • Pour un couple quelconque (A,Q) l’équation de Lyapunov peut admettre plus d’une solution pour P. • Mais, si A est stable, la solution P est unique:

40. Démonstration (condition nécessaire) • Avec cette solution:

41. Exemple Instable

42. Exemple • Q = I. =0

43. Exemple • Posons Q = I. p2=-1/2 p5=-1/2 p4=- p3

44. Exemple • Posons Q = I. p3=1/2-3p6 p1=-3+6p6

45. Exemple • 6p6+6=0  p6=-1 • Finalement P est: • Pas définit positif, car: Instable

46. Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire • Soit le système: • A globalement asymptotiquement stable (g.a.s.); • … et

47. Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire • Problème: • Concevoir un contrôleur avec rétroaction possiblement non-linéaire qui fait en sorte que x retourne rapidement à 0.

48. Étape #1 • Choix de la fonction de Lyapunov pour le système en boucle ouverte: • Choisissons Q symétrique et définie positive. Exemple: Q = I.

49. Étape #1 • Ensuite, définir • Avec P symétrique et définie positive, solution de l’équation de Lyapunov. • Comme A est g.a.s. P>0.

50. Étape #1 • Conséquence, la fonction de Lyapunov V(x,t) est positive définie et décroissante et radialement illimitée pour le système.