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第 4 讲 幂函数 PowerPoint PPT Presentation


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第 4 讲 幂函数. 1. 了解幂函数的概念. 2 . 结合函数 y = x , y = x 2 , y = x 3 , y =, y = x 的图象,了解它们的变化情况. 1 .幂函数定义. y = x α. 一般地,形如 _______( α ∈ R ) 的函数称为幂函数,其中 x 是自 变量, α 是常数. 2 .幂函数的图象:五个常用幂函数. 象,如图 3 - 4 - 1. 图 3 - 4 - 1. 3 . 幂函数 y = x α 的图象,在第一象限内 直线 x = 1 的右侧,图象由下至上,指数 α___________ ;

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第 4 讲 幂函数

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Presentation Transcript


4

第4讲 幂函数

1.了解幂函数的概念.

2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,了解它们的变化情况.


4

1.幂函数定义

y=xα

一般地,形如_______(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自

变量,α是常数.

2.幂函数的图象:五个常用幂函数

象,如图 3-4-1.

图 3-4-1


4

3.幂函数y=xα的图象,在第一象限内

直线 x=1 的右侧,图象由下至上,指数α___________;

y 轴和直线 x=1 之间,图象由上至下,指数α________.

由小到大

由小到大


4

1.所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是(

)

C

A.(0,0)

B.(0,1)

C.(1,1)

D.(-1,-1)

A


4

数为(

B

)

A.0

B.1

C.2

D.3

4.如图 3-4-2,曲线是幂函数 y=xα在第一象限内的图象,

c4,c2,c3,c1

解析:作直线x=m(m>1)与四条曲线的交点,从下到上,曲线的指数由小到大,故有c1>c2>c3>c4.

图 3-4-2


4

C

考点1

幂函数的概念

上是增函数,判断函数 f(x)的奇偶性.


4

(1)幂函数y=xα的特点:

  ①系数必须为1;②指数必须为常数.

(2)幂函数的单调性:①α>0时,y=xα在(0,+∞)上为增函数;②α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.


4

【互动探究】

(1)幂函数;(2)正比例函数;(3)反比例函数;(4)二次函数.


4

考点2

幂函数的图象

1

3

例 2:(2011 年陕西)函数y=x— 的图象是(

)

答案:B


4

【互动探究】

2.图 3-4-3 给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致

对应是(

)

B

图 3-4-3


4

考点3 比较大小

例3:下列各不等式中正确的是(

)

答案:D


4

比较两个幂的大小,①如果指数相同而底数不同

(即底数为变量),此时利用幂函数的单调性来比较大小;②如果底

数相同而指数不同(即指数为变量),此时利用指数函数的单调性来

比较大小;③如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间

变量,常用的中间变量有0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数

组成的幂.

【互动探究】

3.已知a>b>0,那么2a,2b,3a的大小关系是( )

A.2a>2b>3a B.2b<2a<3a

C.2b<3a<2a D.2a<3a<2b

B


4

思想与方法

3.转化与化归思想在幂函数中的应用

为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.

(1)求函数 f(x)的解析式;

  若函数 g(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围.


4

解析:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,

∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0.

∴-1<m<3,又m∈Z,∴m=0,1,2

而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数.

m=1时,f(x)=x4是偶函数,∴f(x)=x4.

(2)g′(x)=x(x2+3ax+9),

显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.

为使g(x)仅在x=0处有极值,必须x2+3ax+9≥0恒成立,

即有Δ=9a2-36≤0,解不等式,得a∈[-2,2].

这时,g(0)=-b是唯一极值.∴a∈[-2,2].


4

(1)幂函数在区间(0,+∞)上是单调增函数得幂

指数-m2+2m+3>0,幂函数为偶函数,得幂指数-m2+2m+3

为偶数.

(2)若函数g(x)仅在 x=0 处有极值,抓住关键字“仅”,意味

着函数没有其他极值点,g′(x)=x(x2+3ax+9),则x2+3ax+9≥0

恒成立,这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立

的常规问题.


4

1.幂函数 y=xα的性质是分α>0 和α<0 两种情况来讨论的.

2.要注意幂函数与指数函数的区别,它们的解析式有如下区

别:幂函数——底数是自变量,指数是常数;指数函数——指数

是自变量,底数是常数.

3.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第

四象限,至于是否出现在第二、三象限,要看函数的奇偶性,作

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,

只要作出幂函数在第一象限的图象,然后根据它的奇偶性就可作

出幂函数在定义域内完整的图象.


4

1.幂函数 y=xα(α∈R)的幂指数α为常数,底数 x 是自变量,

而指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的底数 a 为常数,指数 x 是自变量.

2.在比较大小时要特别注意是利用指数函数的单调性还是利

用幂函数的单调性,指数函数 a>1 时单调递增,0<a<1 时单调递

减;而幂函数α>0 时在第一象限单调递增,α<0 时在第一象限

单调递减.


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