Nachtrag zur Vorlesung vom 8.12.2005, allgemeine IxJ-Kontingenztafel
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Nachtrag zur Vorlesung vom 8.12.2005, allgemeine IxJ-Kontingenztafel. Korrelation zweier stetiger Merkmale X und Y. Grafische Darstellung zweier Merkmale als Punktewolke / Scatterplot / Streudiagramm / X-Y-Diagramm

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Presentation Transcript


Nachtrag zur vorlesung vom 8 12 2005 allgemeine ixj kontingenztafel

Nachtrag zur Vorlesung vom 8.12.2005, allgemeine IxJ-Kontingenztafel

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation zweier stetiger merkmale x und y

Korrelation zweier stetiger Merkmale X und Y

  • Grafische Darstellung zweier Merkmale als Punktewolke / Scatterplot / Streudiagramm / X-Y-Diagramm

  • Geht man davon aus, dass X auf Y wirkt im Sinne einer Ursache-Wirkungs-Beziehung, so ist es sinnvoll, X auf der x-Achse und Y auf der y-Achse der Grafik abzutragen (wie bei einer mathematischen Funktion)

  • Beispiel: siehe Vorlesung vom 20.10.2005, EKG bei Leguanen

  • X: Temperatur, Y: Elek. Herzachse

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Scatterplot streudiagramm

Scatterplot / Streudiagramm

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation nach bravais pearson

Korrelation nach Bravais-Pearson

  • Die Korrelation nach Bravais-Pearson ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von X und Y

  • Exakter linearer Zusammenhang: y = a + bx (Gerade)

  • Exakte lineare Zusammenhänge sind bei empirischen Daten nicht zu erwarten. Bestenfalls erhält man eine Punktewolke, die einen approximativen linearen Zusammenhang nahe legt

  • Beispiel (nächste Folie): Linearer Zusammenhang in rechter Grafik „stärker“ als in linker Grafik

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation nach bravais pearson ii

Korrelation nach Bravais-Pearson II

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation nach bravais pearson iii

Korrelation nach Bravais-Pearson III

  • Visuelle Beurteilung genügt nicht. Wir brauchen eine Maßzahl

  • Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson ist eine solche normierte Maßzahl

  • Definition:

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation nach bravais pearson iv

Korrelation nach Bravais-Pearson IV

  • Der Korrelationskoeffizient nimmt Werte im Bereich

    -1 ≤ rXY ≤ +1

    an.

  • rXY = +1 : Perfekter positiver linearer Zusammenhang, d.h. alle Punkte liegen exakt auf einer Geraden y = a+bx mit b>0

  • rXY = -1 : Perfekter negativer linearer Zusammenhang, d.h. alle Punkte liegen exakt auf einer Geraden y = a+bx mit b<0

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Korrelation nach bravais pearson v

Korrelation nach Bravais-Pearson V

  • rXY=0: Die Merkmale sind linear unabhängig

  • Hypothetische Datenbeispiele zur Veranschaulichung

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Beispiel 1 r xy 1 exakter positiver linearer zusammenhang

Beispiel 1: rXY=+1, exakter positiver linearer Zusammenhang

  • Daten:

  • xy

  • 12

  • 14

  • 16

  • 18

  • 20

  • 22

  • y=10+2 x

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Beispiel 2 r xy 1 exakter negativer linearer zusammenhang

Beispiel 2: rXY=-1, exakter negativer linearer Zusammenhang

  • Daten:

  • xy

  • 8

  • 6

  • 4

  • 2

  • 0

  • -2

  • y=10-2 x

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Beispiel 3 r xy 0 72 starker positiver linearer zusammenhang

Beispiel 3: rXY=0.72, starker positiver linearer Zusammenhang

  • Daten:

  • xy

  • 12

  • 15

  • 13

  • 18

  • 17

  • 16

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Beispiel 4 r xy 0 kein linearer zusammenhang

Beispiel 4: rXY≈ 0, kein linearer Zusammenhang

  • Daten:

  • xy

  • 10

  • 12

  • 9

  • 10

  • 8.33

  • 12

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Beispiel 5 r xy 0 kein linearer zusammenhang

Beispiel 5: rXY= 0, kein linearer Zusammenhang

  • Daten:

  • xy

  • 3.125

  • 1.125

  • 0.125

  • 0.125

  • 1.125

  • 3.125

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Alternative rangkorrelationskoeffizient nach spearman r sp

Alternative: Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman rSp

  • Alternative zum Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, wenn

    • X metrisch, Y ordinal

    • Y metrisch, X ordinal

    • X ordinal, Y ordinal

    • der Fokus nicht auf der Linearität des Zusammenhangs liegt, sondern nur interessiert, ob der Zusammenhang monoton ist

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Definition von r sp

Definition von rSp

  • Vorarbeit: Die Originaldaten werden durch Rangzahlen ersetzt

  • Die Berechnung erfolgt wie beim Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, indem statt den Originaldaten ihre Ränge verwendet werden:

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Fortsetzung beispiel 3 seite 11

Fortsetzung Beispiel 3 (Seite 11)

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Fortsetzung beispiel 3 ii

Fortsetzung Beispiel 3 (II)

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Hinweise

Hinweise

  • -1 ≤ rSp ≤ +1

  • Sind alle (Original-)Werte von X und Y verschieden, so sind die Rangzahlen eindeutig zu vergeben. Man sagt: es treten keine Bindungen (no ties) auf

  • Kommen (Original-)Werte von X und/oder Y doppelt oder mehrmals vor, so wird folgender „Trick“ angewendet (Verwendung von Durchschnittsrängen):

    Datenreihe y: 12 13 13 14 15 15 15 16

    Rangzahlen : 1 2.5 2.5 4 6 6 6 8

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Hinweise ii

Hinweise (II)

  • Kommen keine Bindungen vor, so kann rSp einfacher berechnet werden:

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Fortsetzung ii beispiel 3 seite 11

Fortsetzung (II) Beispiel 3 (Seite 11)

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Noch ein beispiel

Noch ein Beispiel

  • Datenreihe x: 1 2 3 4 5 6

  • Datenreihe y: 1 4 9 16 25 36

  • y=x2

  • Zusammenhang ist monoton (quadratisch), aber nicht linear

  • Rang(xi)=Rang(yi)

  • rSp=1 (da di=0 für alle Paare i)

  • r nach Bravais-Pearson ist 0.98

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Scheinkorrelationen nonsens korr

Scheinkorrelationen (Nonsens-Korr.)

  • Klassiker: Positive Korrelation zwischen der Anzahl beobachteter Störche und der Anzahl der Geburten in Regionen in Deutschland (Korrelation ≠ Kausalität)

  • Confounder-Problematik (u.a.)

  • Im Storchenbeispiel: es gibt andere Variablen (Urbanität, Sozialverhalten), die ihrerseits assoziert sein können und mit den untersuchten Variablen (Anzahl Störche, Anzahl Geburten) in Verbindung stehen

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Weitere anmerkungen

Weitere Anmerkungen

  • Auch das Gegenteil von Scheinkorrelation kann auftreten: Tatschlich vorhandene Korrelationen werden nicht erkannt

  • Vorzeichenumkehr: in der Gesamtpopulation wird eine (z.B.) positive Korrelation beobachtet. Zerlegt man die Gesamtpopulationen in Teilpopulationen, so kann der Fall eintreten, dass in jeder Teilpopulation eine negative Korrelation beobachtet wird

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Zusammenfassung i was sie wissen sollten

Zusammenfassung I (was Sie wissen sollten)

  • Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von zwei stetigen Merkmalen (grafisch: Streudiagramm). Wert in [-1;1]

  • Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman ist ein Maß für den monotonen Zusammenhang. Die beiden Merkmale können stetig und ordinal sein (alle Kombinationen erlaubt: stetig/stetig, stetig/ordinal, ordinal/ordinal). Er verwendet Ränge statt Originalwerte (Berechnungsformel wie bei Bravais-Pearson bzw. vereinfachte Formel, wenn keine Bindungen vorkommen)

  • Problematik: Schein-/verdeckte Korr., Vorzeichen

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 15.12.2005


Zusammenfassung ii was sie k nnen sollten

Zusammenfassung II (was Sie können sollten)

  • Streudiagramm zeichnen

  • Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson berechnen

  • Ränge bilden (auch: bei Bindungen)

  • Korrelationskoeffizient nach Spearman berechnen

  • Interpretation: linearer Zusammenhang, monotoner Zusammenhang, positiver/negativer Zusammenhang

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