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Introduzione. Oggetto della statistica: studio dei fenomeni collettivi. Popolazione: insieme degli individui oggetto di una indagine statistica. Unità statistica: ciascun elemento di una popolazione. Campione: sottoinsieme della popolazione. ESEMPIO. PROIEZIONI DI VOTO (elezioni).

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Presentation Transcript

Introduzione

  • Oggetto della statistica: studio dei fenomeni collettivi

  • Popolazione: insieme degli individui oggetto di una indagine statistica

  • Unità statistica: ciascun elemento di una popolazione

  • Campione: sottoinsieme della popolazione

ESEMPIO

PROIEZIONI DI VOTO (elezioni)

Popolazione: tutti gli aventi diritto al voto

Campione: solo gli aventi diritto interrogati


Introduzione

  • Carattere: ogni aspetto del fenomeno da individuare

  • Modalità: ciascuno dei diversi modi con cui un carattere può presentarsi

ESEMPIO

RELATIVAMENTE AL FENOMENO COLLETTIVO “GIOVANI”

Il carattere Titolo di studio si può presentare nelle seguenti modalità: licenza media, qualifica professionale, diploma di scuola media superiore, laurea triennale, laurea specialistica, dottorato.

Il carattere Utilizzo del tempo libero si può presentare nelle seguenti modalità: riposo, letture varie, cinema e teatro, discoteche, bar e pub, attività sportive, visite a musei o mostre, ecc.


Caratteri qualitativi e quantitativi

Qualitativo: le sue modalità non sono espresse da numeri e vengono dette mutabili statistiche.

CARATTERE

Discreto (numeri naturali): ad esempio in una popolazione il numero di figli.

Quantitativo: le sue modalità sono espresse da numeri e vengono dette variabili statistiche.

Continuo (intervalli di numeri reali): ad esempio in una popolazione l’altezza.


Le distribuzioni di frequenze

fi

  • I dati di un’indagine statistica possono essere raccolti in una distribuzione di frequenze (assolute o relative) nella quale ogni modalità xi del carattere è associata a un numero fi, la sua frequenza assoluta, che indica quante volte quel carattere compare.

T

  • Frequenza relativa: pi = (T : totale delle osservazioni)

In forma percentuale: pi (percentuale) = pi  100%

  • Rappresentazione della distribuzione di frequenze

x

Freq. ass.

Freq. rel.

Dove:

x: carattere

xi: modalità del carattere

fi: frequenze assolute

pi: frequenze relative

x1

x2

xn

f1

f2

fn

p1

p2

pn


Rappresentazione grafica

Una distribuzione di frequenze può essere rappresentata graficamente mediante:

  • Un diagramma a rettangoli o ortogrammi


Rappresentazione grafica

  • Un diagramma circolare o areogramma


Rappresentazione grafica

  • Un diagramma cartesiano (per dati quantitativi di natura discreta)


Rappresentazione grafica

  • Un istogramma (per dati quantitativi di natura continua)

L’altezza dei rettangoli si ottiene dividendo la frequenza per l’ampiezza della relativa classe.


Sintesi dei dati

Medie ferme: aritmetica, geometrica, armonica

Indici di posizione

Medie lasche: moda, mediana

Sintesi dei dati

Scarto quadratico medio o deviazione standard σ

Indici di variabilità

Varianza σ


Le medie ferme

Si dice media aritmetica semplice fra n numeri x1, x2, ……., xn il rapporto M fra la loro somma ed n;

n

Σ

xi

x1 + x2 + ……., + xn

i = 1

M = =

n

n

ESEMPIO

176211

M = = 14684,25

Un’azienda ha raccolto i dati relativi al numero di ore di lavoro mensili complessive dei dipendenti.

12

7

8

9

10

11

12

mese

1

2

3

4

5

6

16075

16124

15635

4520

15942

16214

16120

15658

N. ore

12360

15865

15940

15758

Calcoliamo il numero medio di ore lavoro mensili.

La media aritmetica può essere calcolata solo per dati di tipo quantitativo.


Le medie ferme

Se i dati di una variabile statistica si presentano con una certa frequenza per calcolare il valor medio si usa la media ponderata.

n

n

Σ

Σ

xifi

fi

Una media in cui ogni dato ha un suo peso (rappresentato dalla sua frequenza) si dice ponderata.

Se f1, f2, …… fn sono le frequenze delle modalità x1, x2, …… xn, la media aritmeticaM(x) è data dalla formula

x1f1 + x2f2 + ……., + xnf

i = 1

i = 1

M(x) = =

f1 + f2 + … fn


Le medie ferme

ESEMPIO

Num. Dei maschi nelle famigliex

Freq. assoluta f

Prodotto x  f

2720

0

1

2

3

4

5

6

7

50

120

300

250

190

60

20

10

0

120

600

750

760

300

120

70

1000

TOTALE

1000

2720

Possiamo dire che in media, ogni famiglia ha un numero di maschi pari a:

M = = 2,72


Le medie ferme

Nel caso di una distribuzione per classi, il calcolo della media viene fatto sostituendo ciascuna classe con il suo termine centrale, ottenuto calcolando la semisomma dei valori estremi.

176 240

168 270

Maschi

Altezze

Valori centrali

Maschi

1000

1000

Freq.

Prodotti

Freq.

Prodotti

12

125

336

260

196

62

6

0

0

120  15 = 1 800

150  125 = 18 750

165  336 = 55 440

172,5  260 = 44 850

177,5  196 = 34 790

185  62 = 11 470

195  6 = 1 170

205  0 = 0

230  0 = 0

[100-140)

[140-160)

[160-170)

[170-175)

[175-180)

[180-190)

[190-200)

[200-210)

[210-250)

120

150

165

172,5

177,5

185

195

205

230

8

32

120

250

330

196

50

10

4

120  8 = 960

150  32 = 4 800

165  120 = 19 800

172,5  250 = 43 125

177,5  330 = 58 575

185  196 = 36 260

195  50 = 9 750

205  10 = 2 050

230  4 = 920

TOTALE

1000

168 270

1000

176 240

Altezza media dei maschi:

M = = 168,27 (cm)

M = = 176,24 (cm)

Altezza media delle femmine:


Le medie ferme

Si chiama scarto della media la differenza fra il valore osservato e la media stessa.

Dati cioè gli n valori x1, x2, …… xn, gli scarti dalla loro media M sono i valori

x1 – M, x2 – M, ……., xn – M

n

Σ

Proprietà della media aritmetica.

i = 1

  • La somma degli scarti della media è sempre nulla: (x1 – M) = 0

  • Se si considerano i quadrati degli scarti, cioè (x1 – M)2, (x2 – M)2 ….., (xn – M)2, la somma dei quadrati degli scarti della media aritmetica è minima (rispetto a una qualunque altra media).


Le medie ferme

  • Media geometrica semplice MG fra n numeri positivi x1, x2, ….., xn: radice n-esima del loro prodotto.

MG = √x1 x2, ….., xn

MG = √3 6  9  15  24  36 ≈ 11,32

ESEMPIO

Dati i numeri 3, 6, 9, 15, 24, 36

6


Le medie ferme

  • Nel caso di una media geometrica ponderata:

x

f

F

MG = √(x1)f1(x2)f2, ….., (xn) fn

MG = √5369 812 106 ≈ 7,32

5

6

8

10

3

9

12

6

Dovefi: pesi e F = f1 + f2 + ….. fn

TOTALE (F)

30

ESEMPIO

30

Nel caso di distribuzioni per classi si trova prima il valore centrale della classe e poi si effettua il calcolo della media ponderata.


Le medie ferme

  • Media quadratica semplice MQfra n numeri i x1, x2, x3 ….., xn: radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei dati.

x1 + x2 +…+ xn

32 + 52 + 72 + 92 + 122

MQ =

=

n

n

n

Σ

xi2

ESEMPIO

i = 1

Dati i numeri 3, 5, 7, 9, 12

≈ 7,85

MQ =

5


Le medie ferme

  • Nel caso di una media ponderata:

x

f

Nel caso di distribuzioni per classi si usa il termine centrale di ogni classe.

523 + 62 9 + 82 12 + 102 6

x12 f1 + x22f2 +….., xn2fn

5

6

8

10

3

9

12

6

MQ =

ESEMPIO

f1 + f2 +…… fn

TOTALE (F)

30

1767

≈ 7,67

=

MQ =

30

30


Le medie ferme

  • Media armonica semplice MA fra due numeri x1, x2, ….., xn: reciproco della media aritmetica dei reciproci dei dati.

1

n

f1 + f2+ ….. + fn

1

1

f1

f2

1

1

fn

1

1

MA =

MA =

=

x1

x2

x1

x2

xn

xn

x2

x1

xn

+ + …. +

+ + …. +

n

  • Nel caso di una media ponderata:

+ + …. +


Le medie ferme

Nel caso di distribuzioni per classi si utilizza il termine centrale.

x

f

30

ESEMPIO

5

6

8

10

3

9

12

6

9

3

12

6

MA =

10

6

5

8

TOTALE (F)

30

≈ 7,14

+ + +

Tutte le medie finora definite si possono calcolare solo per dati di tipo quantitativo.


Le medie lasche

Si dice moda (valore modale) di una distribuzione di frequenze, il termine, se esiste, cui corrisponde la massima frequenza nella distribuzione.

  • Località marine è la moda per i turisti italiani.

  • Città di interesse storico/artistico è la moda per i turisti stranieri.

  • Una distribuzione può avere più di un termine modale o può non averne (distribuzione in cui ogni modalità ha la stessa frequenza).


Le medie lasche

Nel caso in cui una distribuzione sia per classi, si parla di classe modale.

  • Se le classi della distribuzione hanno tutte uguale ampiezza, allora la classe modale è quella che presenta frequenza più alta.

  • Se le classi hanno ampiezze diverse si valuta il rapporto tra frequenza e ampiezza della classe. La classe cui corrisponde l’altezza maggiore è la classe modale.


Le medie lasche

  • Mediana MC di una distribuzione: il termine che, disposti i dati in ordine crescente o decrescente, occupa il posto centrale.

  • Se i termini fra cui calcolare il valore mediano sono n e n è dispari, la mediana è il valore che occupa il posto ; se n è pari, tutti i punti dell’intervallo [x , x ] sono valori mediani; di solito si prende il termine centrale di questo intervallo.

n + 1

7 + 1

n

n+1

2

2

2

2

ESEMPIO

Date le distribuzioni di 7 termini e di 8 termini

  • 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 34

  • 1, 2, 3, 5, 7, 11, 20

Il termine mediano è quello di posto = 4 cioè Me = 5

Il termine mediano è il termine centrale dell’intervallo [7, 9] cioè Me = 8


Le medie lasche

Se i valori della distribuzione hanno un loro peso, bisogna calcolare le frequenze cumulate (frequenze relative a una data modalità uguali alla somma delle frequenze di tutte le modalità minori o uguali a esse).

Numero voti

Frequenza

Freq. cumulate

ESEMPIO

1

2

3

4

5

2

8

12

6

2

2

10

22

28

30

TOTALE (F)

30

Consideriamo adesso la metà del totale delle frequenze (30 : 2 = 15); poiché n = 30, quindi è pari, il valore mediano è il termine centrale dell’intervallo [x15, x16] ed è quindi necessario trovare quali sono questi elementi.

continua


Le medie lasche

Allora, 2 posti sono occupati dalla modalità 1, 8 posti sono occupati dalla modalità 2 (in totale abbiamo 10 posti, cioè il valore della colonna delle frequenze cumulate in corrispondenza della seconda modalità), 12 sono i posti occupati dalla modalità 3 (in totale abbiamo contato 22 posti, cioè abbiamo superato la metà); quindi il quindicesimo e il sedicesimo posto sono occupati entrambi dalla modalità 3.

La mediana della distribuzione è quindi il valore centrale dell’intervallo [3, 3], cioè Me = 3.

n + 1

2

Nel caso in cui n è dispari, la mediana corrisponde all’elemento di posto ; per trovarlo basta cercare nella colonna delle frequenze cumulate il primo numero che è maggiore o uguale di tale valore e leggere l’elemento corrispondente.


Le medie lasche

Se la distribuzione è per classi bisogna calcolare la frequenza cumulata.

ESEMPIO

Ricoveri

Freq. Assol.

Freq. cumulate

[0-4]

[5-9]

[10-14]

[15-19]

[20-24]

[25-30]

732

928

264

56

12

8

732

1660

1924

1980

1992

2000

La metà delle osservazioni è 1000 e quindi per arrivare alla mediana dobbiamo contare le prime 1000 persone disposte in ordine crescente di numero di ricoveri subiti; poiché il valore 1000 e il valore 1001 delle frequenze cumulate cadono nella seconda classe, possiamo dire che la classe mediana è la [5 – 9].

A ( )

N

2

TOTALE (F)

2000

Possiamo allora calcolare:

N: numero totale osservazioni

F: frequenza cumulata fino alla mediana esclusa

f: frequenza della classe mediana

A: ampiezza della classe mediana

i: estremo inferiore della classe mediana

− F

Me = i +

f


Le misure di sisperione

Per avere informazioni su come i dati di una indagine statistica si distribuiscono attorno ai valori di sintesi e quindi poter confrontare distribuzioni, si studiano gli indici di variabilità.

  • Campo di variabilità di un insieme di n dati numerici x1, x2, ….. xn: differenza tra il valore massimo e il valore minimo degli xi.

ESEMPIO

Supponiamo che i rilevamenti compiuti su un campione di individui sulla pressione minima sanguigna abbia dato i seguenti risultati:

80 80 85 90 85 60 90 95 95 80 85 115

Il campo di variabilità di questi dati è dato da 115 – 60 = 55; se basassimo le nostre considerazioni solo su questo valore, saremmo portati a dire che in quel gruppo di persone vi è un’alta variabilità fra i dati, mentre in realtà, osservando meglio, si nota che la maggior parte di essi (tranne due) si distribuiscono in un ambito più ristretto compreso fra 80 e 95.


Le misure di dispersione

  • Scarto quadratico medio o deviazione standard σ: media quadratica degli scarti dalla media aritmetica M.

Nel caso di dati semplici

σ =

σ =

n

n

n

Σ

Σ

{(xi– M)2fi }

(xi– M)2

i = 1

i = 1

n

Σ

fi

i = 1

Nel caso di dati ponderati con pesi fi

  • Varianza (σ)2: quadrato dello scarto quadratico medio.

Per il calcolo di σ (e quindi di σ2) si può anche usare la formula:

σ = √media dei quadrati degli xi − quadrato della media


Le misure di dispersione

ESEMPIO

Ad otto gruppi di persone è stato chiesto di provare due tipi particolari di shampoo che indicheremo con A e B, e di sceglierne quindi uno. Gli esiti di questa scelta sono riportati nella seguente tabella.

104

8

Mediamente = 13 voti da ciascun gruppo

Sommando le preferenze accordate ai due prodotti, sia A che B ne hanno totalizzate 104.

20

10

A

15

12

10

8

11

18

14

2

10

18

B

15

12

24

12

continua


Le misure di dispersione

ESEMPIO

Calcoliamo lo scarto quadratico medio della distribuzione di A e di B.

(Scarti)2

Preferenze di B

Scarti

Preferenze di A

Scarti

(Scarti)2

σB =

σA =

=

=

= 3,969

= 5,916

-1

-1

11

-1

1

-11

-3

5

1

1

121

1

1

121

9

25

15

112

10

8

11

18

20

10

2

-1

-3

-5

-2

5

7

-3

4

1

9

25

4

25

49

9

12

12

24

12

14

2

10

18

8

8

8

8

Σ

Σ

(xi– 13)2

(xi– 13)2

i = 1

i = 1

126

280

TOTALE

TOTALE

280

126

8

8


ad