N ÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

1. Unidad imaginaria i Números complejos conjugados Tienen la misma parte real y la parte imaginaria de signo contrario z = a + bi, su conjugado z = a - bi NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Número complejo en forma binómica a + bi a y b reales, i unidad imaginaria a es la parte real bi es la parte imaginaria Número complejo a + bi • Si b = 0 → a + bi = a es real • Si a = 0 → a + bi = bi es imaginario puro • Si a = 0 y b = 0 → a + bi = 0 + 0i es el número complejo cero

2. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (I) Suma de números complejos Se suman por separado las partes real e imaginaria (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Propiedades de la suma de números complejos • Asociativa • Conmutativa • Elemento neutro 0 + 0i • Elemento opuesto –(a + bi) = -a -bi Producto de números complejos (a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad – bc)i Propiedades del producto de números complejos • Asociativa • Conmutativa • Elemento neutro 1 + 0i • Elemento inverso (excepto el cero) • Distributiva respecto de la suma (a + bi)· [(c + di) + (e + fi)] = (a + bi)·(c + di) + (a + bi)·(e + fi)

3. El producto de un número complejo z y su conjugado zes un número real z · z = (a + bi) · (a – bi) = (a2 – b2i2) + (ab – ab)i = a2 + b2 Cociente de números complejos Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador a + b i a + b i c - d i ( ac + bd ) + ( bc - ad ) i ( ac + b d ) ( bc - a d ) = · = = + i 2 2 2 2 2 2 c + d i c + d i c - d i c + d c + d c + d OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (II) Potencias de i i0 = 1 i4 = i3·i = 1 i1 = i i5 = i4·i = i i2 = -1 i6 = i5·i = -1 i3 = i2·i = -i i7 = i6·i = -i ………… ……........... Las potencias de i se repiten de cuatro en cuatro. Para hallar una potencia de i se divide el exponente entre 4 y se calcula la potencia de i cuyo exponente sea el resto de la división Potencias de números complejos (a + bi)n = (a + bi)· (a + bi)· ………………… (a + bi) n veces

4. z= a + bi P (a, b) • Módulo de z: m = |z| = • Argumento α de z : tg α = b a FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Forma polar de z Un número complejo z= a + bi se expresa en su forma polar o módulo argumental z = mα donde m es el módulo y el argumento de z, respectivamente. Características de números complejos en forma polar • mα = m’β m = m’ y α = β + k · 360° k entero • El complejo conjugado de mα es m-α = m360°- α • El complejo opuesto de mα es mα + 180° • Números reales positivos: argumento 0° • Números reales negativos: argumento 180° • Números imaginarios puros bi: OSi b > 0: argumento 90° OSi b < 0: argumento 270°

5. Forma trigonométrica de z cos α = a = m cos α sen α = b = m sen α z = a + bi = (m cos α) + (m sen α) i = m (cos α + i sen α) FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ¡OJO! Paso de forma trigonométrica a forma polar de: z = m (cos α - i sen α) = m [cos (- α) + i sen (- α)] = m-α ya que cos α = cos (–α) y sen α = - sen (- α)

6. Cociente de números complejos = mα m ( ) m’β m’ α-β Inverso de un número complejo ( ) 1 10 1 1 1 ( ) ( ) = = = = mαmα m 0-α m-a m 360°-a Radicación de números complejos Buscamos la raíz n-ésima rθ de mα que cumple: (rθ)n = mα rnnθ = mα • Módulo rθ : rn = m r = • Argumento rθ : nθ – α = k·360° θ = Por tanto, todas las raíces n-ésimas de un número complejo son: α + k·360 n n n m α= ( m) α+k ·360 con k = 0,1,…,n-1 n OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Producto de números complejos mα · m’β = (m · m’) α+β Potencias de números complejos (mα)n = mnnα En forma trigonométrica se cumple: (mα)n = [m (cos α + i sen α)]n mnnα = mn [cos (nα) + i sen (nα)] De donde se deduce la fórmula de De Moivre: (cos α + i sen α)n = [cos (nα) + i sen (nα)]