Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais

1. Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais CESET, Limeira Março, 2005

2. ... da matemática de considerações ambientais • Poluição de corpos aquáticos: lagos, represas, rios, estuários, mares costeiros. • Poluição do ar: efeitos aerossóis de usinas, de concentrações de indústrias, de centros urbanos. • Poluição do solo: lixões, lençóis freáticos, vazamentos em depósitos de produtos tóxicos. • Combinações dos anteriores.

3. Matemática e vida: isso combina? • ... foi assim que começou • É para isso que existe o campo da matemática aplicada/aplicável • Na escola, hoje, tem até nome: “temas transversais”! • e como acontece?

4. Problema Real Hipóteses de Simplificação Problema Matemático Resolução (aproximada!) do Problema Matemático Validação Social da solução Validação Matemática da solução Processos decisórios

5. Muito trabalho por fazer Estudando modelos prontos, Usando-os em testes e simulações, Modificando/melhorando modelos existentes, Criando modelagens novas: Desafios enormes! ... e imediatos

6. Um exemplo desta roda viva: a poluição, ou um acidente... as prefeituras Rios, lagos e Represas.

7. –d.C(n) C(n) F F V A figura é homeomorfa a uma represa qualquer (esta é uma hipótese aceitável?)... Degradação: d o volume da represa: V unidades de volume o fluxo do rio que entra (e sai):F unidades de volume

8. q(n) –d.C(n) C(n) F F V Ainda: além da degradação do poluente, suposta proporcional à quantidade pode haver um aporte semanal: q(n).

9. Avaliar a contaminação Meio homogêneo, Instantaneamente, e tudo regular Progressão Matemática Resolução do Problema Matemático (nem que seja No Excel!) Validação Social: Essa resposta serve? Validação Matemática da solução Processos decisórios

10. O (na verdade “um”) modelo: A quantidade de poluente na semana que vem = = a quantidade de poluente desta semana – – a quantidade que sai com o fluxo do rio – – a quantidade que se degrada + + ( se houver) algum aporte semanal.

11. Literalmente, em outras palavras: C( n+1 ) = = C( n ) – – F. C( n ) /V– – d. C( n ) + + q( n )

12. ... alguns casos • Não há rio  F = 0 • Não há aporte semanal q(n) = 0 • Não há degradações d = 0

13. Não há rio, nem degradação  F = 0 e d = 0 C( n+1 ) = = C( n ) + + q( n ) ou seja, C( n+1 ) = C( n ) + q( n ) é uma Progressão Aritmética!

14. Outro caso, q(n) = 0: não há aporte semanal C( n+1 ) = = C( n ) .( 1 – F/V– d ) ou para  = 1 – F/V– d, C( n+1 ) = .C( n ) ou seja, é uma Progressão Geométrica

15. Como é uma P.G., Tudo depende da razão, • = 1 – F/V– d • > 1  C( n ) cresce, • < 1  C( n ) decresce, e • = 1  C( n ) permanece.

16. Um caso, com V=1e+5, F=5e+2, d=0.0001aporte semanal de 10 unidades sem aporte semanal

17. E quando há de tudo acontecendo: aporte, fluxo, degradação etc? ... Nem P.Aritm. nem P.Geom., mas uma mistura das duas coisas! Modelagem matemática ... E usa-se a equação de diferenças linear de primeira ordem vista antes.

18. O modelo, então, é: C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V– – d. C( n ) + q( n ) ou C( n+1 ) = C( n ) .( 1 – F/V – d ) + + q( n )

19. Modelo com aporte semanal, com degradação e com fluxo constante. c o n t a m i n a n t e Tempo – em unidades escolhidas

20. Além desta aula, isto serve para alguma coisa? Tentativas: como se comporta o acúmulo de contaminante se o aporte se der semana sim, semana não? ... Matlab ou alguma planilha.

22. E se fosse duas semanas não, a outra semana sim? Em outras palavras, teríamos nessa simulação: C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V– – d. C( n ) + q( n ) Sendo q( n ) = q com n múltiplo de três e q = 0 caso contrário

23. Aporte a cada três semanas

24. Nos ensaios, F<<V. O que aconteceria se isto não fosse assim? É o caso de um rio... C(n) D(n) E(n) A(n) B(n)

25. O que temos, então, é um sistema, em que o que sai de um compartimento entra no seguinte:A(n+1) = A(n).(1 – F/V1 - d1) + q1B(n+1) = A(n). F/V1 + B(n).(1 – F/V2 - d2) + q2C(n+1) = B(n). F/V2 + C(n).(1 – F/V3 - d3) + q3D(n+1) = C(n). F/V3 + D(n).(1 – F/V4 - d4) + q4E(n+1) = D(n). F/V4 + E(n).(1 – F/V5 - d5) + q5

27. E, se em vez de um córrego, fosse um rio de ‘verdade’?

30. Outra possibilidade: um contaminante que “demora” para começar a degradar-se: 1 semana C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V– – d. C( n-1 ) + q( n ) uma equação de diferenças ainda linear de segunda ordem: envolve duas semanas.

31. Uma equação linear de diferenças de segunda ordem O que se pode fazer é testar para ver se a solução geral da PG serve aqui. E serve! Fazendo Cn = A.n, e substituindo na equação original, obtem-se: Cn = A1. (1)n + A2. (2)n + q.V/(F+d.V)

33. Estudo de impacto: • por estudar? • Efeitos nas dinâmicas de populações • Nas possibilidades epidemiológicas • E as contribuições para efeitos globais • Além da economia!

34. Ainda, poderíamos ter avaliação instantânea dos fenômenos: ... daí, teríamos Equações Diferenciais, sistemas de equações diferenciais (ordinárias), com variação no tempo: d.../dt