Informa o qu ntica e teoria da relatividade
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Informação Quântica e Teoria da Relatividade. Seminário de Teoria Quântica de Campos I Miguel Quartin Junho 2005. Resumo. Conceitos Preliminares Aquisição de Informação Descoerência Matrizes de Kraus e POVMs O Processo Relativístico de Medida Não Localidade Quântica? Analogias Clássicas

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Presentation Transcript


Informa o qu ntica e teoria da relatividade

Informação Quântica e Teoria da Relatividade

Seminário de Teoria Quântica de Campos I

Miguel Quartin

Junho 2005


Resumo

Resumo

  • Conceitos Preliminares

  • Aquisição de Informação

    • Descoerência

    • Matrizes de Kraus e POVMs

  • O Processo Relativístico de Medida

    • Não Localidade Quântica?

    • Analogias Clássicas

  • Entropia Quântica e Relatividade Restrita

  • TQC e Relatividade Geral

  • Conclusões

  • Problemas em Aberto

  • Referências


Conceitos preliminares

Se o estado for puro:

Conceitos Preliminares

O operador densidade ρ:

  • Permite a descrição de estados de mistura

  • Possui vantagens na descrição de estados puros:

    • | ; e i | resultam no mesmo ρ

    • As fórmulas acima são lineares em ρ, mas quadráticas em |.


Conceitos preliminares 2

Conceitos Preliminares (2)

Operador densidade reduzido e traços parciais:

Sejam { |u(1)} e { |v(2)} bases de H(1) e H(2)


Conceitos preliminares 3

Conceitos Preliminares (3)

  • O operador ρ[1] nos permite calcular todos os valores esperados como se o sistema 1 estivesse isolado e seu operador de densidade fosse ρ[1];

  • Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1 quando o sist. total não estiver em um estado produto direto. O operador ρ[1], no entanto, sempre existe.

  • Dificuldade: a evolução temporal de ρ[1] em geral depende do operador ρ completo;


Conceitos preliminares 4

Conceitos Preliminares (4)

  • Um estado quântico não é uma grandeza física, cujo valor (embora desconhecido) seja bem determinado;

    • A noção contrária não possui nenhuma evidência experimental e nos leva a aparentes paradoxos;

    • Estes paradoxos são frutos de uma interpretação incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória;

    • | e ρ meras expressões matemáticas que codificam informação sobre potenciais resultados de nossas intervenções;

    • Uma situação física contendo vários observadores não pode ser descrita por (t) com lei relativística de transformação.

  • Ex.: “Paradoxo” EPRB  se A mede Z = +1, quando o estado do spin de B muda p/ aquele onde Z = -1 com prob. = 1?


Aquisi o de informa o

Aquisição de Informação

  • A preparação e a medida são realizadas por dispositivos macroscópicos  descritos em termos clássicos;

    • O aparato obedece à MQ durante a interação

    • Ao término, ele é “desquantizado” e descrito por uma densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase);

  • “Uma medida força o sistema a um salto para o auto-estado associado à variável medida”.

    • Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa descrição do sistema, e não no próprio sistema.

  • Se o resultado de uma medida é a ausência de detecção, não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado. O sistema quântico não permanece inalterado!


Aquisi o de informa o 2

Estamos supondo que o estado inicial é puro

Aquisição de Informação (2)

  • Intervenções se iniciam por uma interação do sistema com o aparato de medida, chamada pré-medida.

  • A escolha de USλ determina qual propriedade do sistema está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida;

  • Detectores são descritos por operadores positivos E.

    • A prob. do detector  ser excitado é Tr(ρE);

    • Um conj. completo de Econstitui uma POVM (Positive Operator-Valued Measure);

    • Em geral: POVM ≠ medida de observável.


Aquisi o de informa o 3

Isoladas do ambiente

Interagemcom o ambiente

Aquisição de Informação (3)

  • A medida envolve: sistema estudado + aparato de medida + ambiente (possui graus de liberdade não-especificados);

  • Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes;

  • Descrição completa do sistema composto C envolve: variáveis microscópicas + var. macroscópicas.

  • Propriedade essencial de C: seus estados formam um número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo observador.

    • Cada sub-espaço  um resultado da intervenção, que define um elemento de POVM E.


Aq de info descoer ncia 4

Desaparece o emaranhamento entre estados com  distintos

Aq. de Info. - Descoerência (4)

  • Seja {| , } uma base para o sist. composto C

    •   Sub-espaço macroscópico (associado a um E)

    •   Estados microscópicos nesse sub-espaço

  • Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços  distintos de C são aproximadamente ortogonais;

    • Ortogonalidade  matriz de densidade diagonal em blocos

    • Resultado  predições estatísticas idênticas àquelas obtidas em uma mistura de estados puros (não-normalizados) |:

Descoerência


Aq de info matrizes de kraus 5

Matrizes de Kraus

O “salto quântico” não é um processo dinâmico que ocorre no sistema propriamente dito

Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5)

  • O passo final da intervenção é descartar parte de C. A parte descartada pode depender de .

    • {| , }  novo sistema

    • {| , m}  parte descartada


Aq de info matrizes de kraus 6

pois U S   m é unitária

Elemento de uma POVM

  • Condição suficiente para não poder haver transferência instantânea de informação:

Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6)

  • Probabilidade de ocorrência do resultado :


O processo relativ stico de medida

O Processo Relativístico de Medida

  • Medidas quânticas são quase-instantâneas.

  • Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente exofísico consistente com a teoria da relatividade?

    • O importante não é como diferentes detectores se movem em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos mesmos são descritos em um referencial ou em outro.

    • Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma série de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica dos operadores muda).

    • Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!


O processo relativ de medida 2

O Processo Relativ. de Medida (2)

  • Consideremos o “paradoxo” EPR à la Bohm (EPRB): um par de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se afastam e são detectas por 2 observadores;

    • Cada um mede uma componente de spin em uma direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço);

    • A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais;

    • Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas todos os resultados observáveis são os mesmos;

    • Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre os vários operadores usados;

    • É suficiente para a consistência que os E comutem em tempos iguais (análogo à TQC).


O processo relativ de medida 3

  • Temos:

Invariância de Lorentz garante:

Donde concluímos que:

O Processo Relativ. de Medida (3)

  • Há uma T.L. conectando ρ0 e ρ’0 , assim como há uma para ρf e ρ’f , mas não há T.L. p/ os estados intermediários;

  • Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução não é um processo físico!!!


O p r m n o localidade 4

O P.R.M. – Não-Localidade? (4)

  • Fenômenos como aquele encontrado no “paradoxo” EPRB são comumente associados à não-localidade quântica  possibilidade de comunicação superluminal;

  • O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ por “variáveis ocultas”  qualquer imitação clássica da MQ é necessariamente não-local;

  • Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é manifestamente local;

  • Informação tem que ser carregada por partículas materiais, quantizadas ou não;

  • T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é uma simetria válida)  causalidade não pode ser violada por medidas quânticas


O p r m analogias cl ssicas 5

O P.R.M. – Analogias Clássicas (5)

  • A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso?

  • Experimento clássico análogo ao EPRB  bomba explode em 2 partes, carregando momentos angulares opostos:

    • Alice e Bob medem componentes arbitrárias de J1 e J2;

    • A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é que ela fez algo!);

    • Bob sabe apenas o que Alice iria obter caso medisse a mesma componente que ele;

  • A analogia é completa se usarmos mecânica estatística:

    • A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville no espaço de fase. Uma medida de J1 por Alice altera instan-taneamente a fç. de J2, não importa quão longe Bob esteja.

    • Fç de Liouville  apenas uma ferramenta estatística


Entropia qu ntica e relatividade

Entropia:

Matriz de densidade do sistema em estudo:

Entropia Quântica e Relatividade

  • Descoerência  graus de liberdade do ambiente desconhecidos (ambiente é um exosistema);

  • V m componentes do vetor de estado;

  • Conseqüência da relatividade:

    • Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de )

      • Ex.: componentes de momento

    • Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de p)

      • Ex.: spin e polarização


Entropia qu ntica e relatividade 2

Matriz densidade reduzida:

Entropia:

No referencial de Bob:

Entropia Quântica e Relatividade (2)

  • Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0:

  • Considere ainda que Bob se afasta de Alice com v const..

  • Ex.: Alice prepara Z  a2(p) = 0  S = 0

    • No referencial de Bob, mostra-se que: a2(p) 0  S  0

    • Conclusão: S não tem significado invariante, pois  não se transforma covariantemente!


Entropia qu ntica e relatividade 3

Entropia Quântica e Relatividade (3)

  • Não existe uma mecânica estatística relativística para um sistema de N partículas com espaço de fase de dimensão 6N definido pelos pn e qn.

    • Interações relativísticas são mediadas por campos;

    • Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos;

      • A partir desta, podemos definir uma fç. de Liouville reduzida, que dependa só dos pn e qn.

      • No entanto, a evolução temporal da fç. reduzida depende dos campos.

  • Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob distinguí-los?


Entropia qu ntica e relatividade 4

Implicações sobre propriedades do canal de comunicação quântico

Entropia Quântica e Relatividade (4)

  • Consideremos agora fótons.

    • Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos receptores levam a regras de superseleção impossível definir uma matriz densidade reduzida para a polarização.

      • Mas podemos definir matrizes densidade efetivas;

      • E construir POVMs. Porém se nos restringirmos a medidas de polarização por estas POVMs  não mais existem estados de polarização ortogonais.

      • O teorema de não-clonagem se aplica!

  • Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se que:


Tqc e relatividade geral

TQC e Relatividade Geral

  • Alguns resultados da TQC são importantes na generalização de conceitos como POVMs e emaranhamento;

    • Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um detector por um operador localizado, este detector apresenta “contagens escuras”.

    • Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma POVM construída por operad. locais satisfaz Ω|E(x)|Ω = 0.

  • Intervenções clássicas em sistemas quânticos são aproximadamente localizadas no espaço e no tempo

    • “O conceito de ‘posição’ em um dado tempo não é um atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o elétron e um dispositivo de detecção adequado.”

      -- R. Haag (1996)


Tqc e relatividade geral 2

TQC e Relatividade Geral (2)

  • Quão localizados podem ser os detectores?

    • A idealização de “um detector por ponto espaço-temporal” é claramente impossível;

    • Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero de se sobrepor?

    • Aparentemente há um compromisso fundamental entre confiabilidade e localizabilidade.

    • Problema em aberto...

  • Estados com um número definido de partículas  conceitos teóricos úteis.

  • Estados experimentalmente acessíveis  não são, em geral, auto-estados de operadores número de partículas.

  • A realização física de um único qubit é uma idealização.


Tqc e relatividade geral 3

II

Bob

III

I

IV

TQC e Relatividade Geral (3)

  • Um “Bobservador” acelerado descreve uma trajetória hiperbólica.

  • Bob nunca não tem acesso à região I.

  • Onde Alice vê um estado puro, Bob vê um estado de mistura... alguma informação se perdeu.

    • Situação análoga a presença de um buraco negro

  • Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece?

  • Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas com matéria que permanece fora, essas correlações são observáveis? O estado é descrito pela MQ?


Conclus es

Conclusões

  • O estado quântico e as funções de onda devem ser encarados como meras ferramentas matemáticas para o cálculo de probabilidades em um dado referencial;

  • “Colapsos” decorrentes de medidas ocorrem apenas na nossa descrição do sistema em questão;

  • Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas;

  • Evolução de estados puros para estados de mistura é a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica;

  • Entropia não é um conceito covariante de Lorentz;

  • TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e localizabilidade de detectores.


Problemas em aberto

Problemas em Aberto

  • Discussão quantitativa do “compromisso” imposto pela TQC aos detectores;

  • Passando da relatividade restrita para a geral, qual o sentido de transporte paralelo de spin?

    • Em um espaço curvo, isto depende do caminho.

    • O que significa então dizer que um par de partículas distantes está num estado singleto?

    • Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma simetria, a classificação e o próprio conceito de partícula torna-se duvidoso.

  • Método para a detecção de emaranhamento relativístico que envolva as propriedades espaço-temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização).


Refer ncias

Referências

Referência básica:

  • A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004)

    Referências adicionais:

  • C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1

  • J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.)

  • L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.)

  • J. Preskill, Quantum Information and Computation, notas de aula (1998)

  • R. D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity

  • C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, p.1216


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