Fisica 2 1° lezione, parte a

1. Fisica 21° lezione, parte a

2. Programma della lezione • Campi scalari e vettoriali • Operatori differenziali sui campi • Vettore area • Operazioni integrali sui campi • Teoremi integrali

3. Campi • Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche • Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi) • Se non dipendono dal tempo sono detti statici • Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

4. Campi • Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura) • Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)

5. Operazioni differenziali sui campi • Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi. • Gradiente • Divergenza • Rotazione (o rotore) • Laplaciano • Siccome le componenti sono funzioni di piu` variabili, avremo derivate parziali

6. Gradiente di un campo • In coordinate cartesiane: • Formalmente, l’operatore gradiente si scrive: • Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale • Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:

7. In coordinate cilindriche (r,f,z): In coordinate sferiche (r,q,f): Gradiente di un campo

8. Divergenza di un campo vettoriale • In coordinate cartesiane: • Formalmente si puo` considerare come il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: • E` un campo scalare

9. In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche: Divergenza di un campo vettoriale

10. Rotazione di un campo vettoriale • In coordinate cartesiane: • Formalmente si puo` considerare come il prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: • Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale

11. In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche: Rotazione di un campo vettoriale

12. Laplaciano di un campo • In coordinate cartesiane: • Il laplaciano di un campo scalare e` un campo scalare • E` la divergenza del gradiente: • Formalmente: • Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

13. a a b b Vettore area • Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano • L’area del parallelogramma che si puo` costruire coi due vettori e`: • Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno: • Quindi: dati due vettori indipendenti l’area del parallelogramma associato e` dato dal loro prodotto vettoriale. A

14. z a b y x Area dei parallelogrammi proiezione • Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana • Per ciascun piano xixjotteniamo una coppia di vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b (ovvero un parallelogramma proiezione del parallelogramma associato alla coppia) • Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy: • Determiniamo l’area del parallelogramma associato: • Che altro non e` se non la componente z del vettore area A. • Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella direzione normale al piano del vettore area associato all’elemento.

15. V S C Operazioni integrali sui campi • Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim) • Flusso: integrale su una superficie (2-dim) • Integrale nello spazio (di volume): 3-dim

16. Teoremi integrali • Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differenziali: • Teorema della divergenza • Teorema di Stokes

17. Teorema della divergenza • Lega il flusso di un campo vettorale all’integrale di volume delladivergenza del campo stesso • (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie) V S

18. Teorema di Stokes • Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso • (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie che poggia su tale linea) S C