第八章 弹性体的应力和应变
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第八章 弹性体的应力和应变. 这一章将考虑物体的形变,弹性体是研究形变 的一个理想模型,它假设物体受外力发生的形变在 外力撤消后能够消失。研究弹性体的力学称弹性力 学,弹性力学将弹性体看作是连续介质,所以也叫 连续介质力学。 弹性体的形变有四种:拉伸压缩、剪切、扭转 和弯曲,其中最基本的是拉伸压缩和剪切。. §8.1 弹性体的拉伸和压缩. § 8 .2 弹性体的剪切形变. §8.3 弯曲和扭转. 式中 F n 表示内力在外法向方向上的 投影, S 表示横截面积。 >0 为拉 伸应力, <0 为压缩应力。. 单位:. 称为“帕斯卡”.

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第八章 弹性体的应力和应变

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第八章 弹性体的应力和应变

这一章将考虑物体的形变,弹性体是研究形变

的一个理想模型,它假设物体受外力发生的形变在

外力撤消后能够消失。研究弹性体的力学称弹性力

学,弹性力学将弹性体看作是连续介质,所以也叫

连续介质力学。

弹性体的形变有四种:拉伸压缩、剪切、扭转

和弯曲,其中最基本的是拉伸压缩和剪切。


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§8.1 弹性体的拉伸和压缩

§8.2 弹性体的剪切形变

§8.3 弯曲和扭转


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式中Fn表示内力在外法向方向上的

投影,S表示横截面积。 >0为拉

伸应力, <0为压缩应力。

单位:

称为“帕斯卡”

简称“帕”,符号“Pa”。

量纲:L-1MT-2

§8.1 弹性体的拉伸和压缩

1. 外力、内力和应力

研究横截面远小于长度的直

杆。其假想横截面上的应力为


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[例题1]薄壁圆柱形容

器壁内的应力。

[解]按平衡条件

得到应力


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2. 直杆的线应变

设直杆原长和形变后的长度分别为l0和l,

则线应变

设直杆横截面是正方形,每边长b0,横向

形变后边长为b,则横向应变为

横向应变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数


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3. 胡克定律

胡克(R. Hook)

于1678年由实验得出

这就是胡克定律。

它也可写为

式中Y为杨氏模量。

应当注意,仅当形变很小时,应力应变才服从胡克定律。


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4.拉伸和压缩的形变势能

弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。

外力拉压杆件时,外力的功与弹性体反抗形变而施于外

界的力所做的功大小相等符号相反。因此,弹性势能等

于自势能零点开始外力做功的正值。

若取未变形时未势能零点,则外力的功等于形变达到时

的势能,即

若杆的形变是均匀的,有弹性势能密度


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§8.2 弹性体的剪切形变

1. 剪切形变·剪切应力与应变

剪切形变:物体受到力偶的作用使物体两个平行截面

发生相对平行移动。

设作用于两假想截面上的力偶为F和F‘=-F,

则剪切应力为


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式中 为切变角。

剪切应力互等定律:

作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线

的剪切应力是相等的。

剪切应变:

平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比。


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式中 为剪切模量

2. 剪切形变的胡克定律

实验表明,若形变在一定限度内,

剪切应力与剪切应变成正比

对于各向同性的、均匀的弹性体,有

这可由图8.8加以说明。

剪切形变的弹性势能密度为


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§8.3 弯曲和扭转

1. 梁的弯曲

梁弯曲的原因:图8.9 说明梁弯曲

的原因是力偶作用的结果。

梁弯曲的特点:存在一个中性层,

中性层以上受压,中性层以下受拉。

利用中性层的半径R或曲率K可以

描述纯弯曲形变

式中表示加于梁的

力偶矩,b为梁的

宽度,h为梁的高

度。


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在微小形变的条件下,狭长体元的剪切应变等于

由剪切形变的胡克定律 ,可知外层所受剪切应力

比内层大。还可以算出

式中R和l分别表示圆柱

体的半径和长度, 为

扭转角,

称为扭转系数。

2. 杆的扭转

杆扭转的原因:杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上

大小相等方向相反的力矩。

杆扭转形变的实质上是由剪切形变组成的。(见图8.12)


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