Kombinatorial peluang diskrit kombinasi
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 36

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI PowerPoint PPT Presentation


  • 281 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI. MATEMATIKA DISKRIT. Kaleng 1. Kaleng 2. Kaleng 3. sama. sama. sama. Kelereng. 3 cara. m. h. Kaleng. 1. 2. 3. Ilustrasi.

Download Presentation

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Kombinatorial peluang diskrit kombinasi

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :KOMBINASI

MATEMATIKA DISKRIT


Ilustrasi

Kaleng 1

Kaleng 2

Kaleng 3

sama

sama

sama

Kelereng

3 cara

m

h

Kaleng

1

2

3

Ilustrasi

Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.


Ilustrasi cont

Ilustrasi (Cont.)

Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng


Definisi

Definisi

  • Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :

    • jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

  • Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi

  • Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

    • Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan

    • Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan

  • Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

  • C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objek diambil dari n buah objek


Interpretasi kombinasi

Interpretasi Kombinasi

  • Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda

    Contoh :

    Misal A = {1,2,3}

    Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

    {1,2} = {2,1}

    {1,3} = {3,1}3 buah

    {2,3} = {3,2}


Interpretasi kombinasi cont

Interpretasi Kombinasi (Cont.)

  • Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting

    Contoh :

    Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).

    Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :


Contoh 1

Contoh 1

  • Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?


Solusi

Solusi

  • Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

    {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}

    Sehingga :


Contoh 2

Contoh 2

  • Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?


Solusi1

Solusi

  • Diketahui:

    • Nasi goreng = r = 3 kali

    • Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari

      Maka :


Contoh 3

Contoh 3

  • Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)

    • Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?

    • Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?

    • Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?


Solusi2

Solusi

  • 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)

  • 1 bit terdiri dari “1” atau “0”

  • Maka :

    • Posisi bit dalam 1 byte :

      7 6 5 4 3 2 1 0

      Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

      Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

      :

      :

      Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

      Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

      (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

      b)Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :


Kombinatorial peluang diskrit kombinasi

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =

1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128


Contoh 4

Contoh 4

  • Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita.

    Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?


Solusi3

Solusi

  • Pria = 7 orang

  • Wanita = 5 orang

  • Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita

  • Maka :

    • Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita

       C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

    • Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita

       C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

  • Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya :

    C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara


Contoh 5

Contoh 5

  • Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang.

    Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?


Solusi4

Solusi

  • Diketahui :

    • Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)

    • Penghuni = n = 10 orang

  • Misalkan :

    • Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.

      Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)

    • Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.

      Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)

    • Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.

      Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)

  • Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :

    C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

    210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

    atau

    C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

    3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600


Permutasi dan kombinasi bentuk umum

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

  • Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)

    n1 bola diantaranya berwarna 1

    n2 bola diantaranya berwarna 2

    nk bola diantaranya berwarna k

    Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola.

    Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?


Kombinatorial peluang diskrit kombinasi

  • Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !

  • Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

    n1! cara memasukkan bola berwarna 1

    n2! cara memasukkan bola berwarna 2

    nk! cara memasukkan bola berwarna k

  • Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum :


Kombinatorial peluang diskrit kombinasi

  • Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak

     ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1

  • Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak

     ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2

  • Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak

     ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3

  • Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak

  • Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :


Kombinatorial peluang diskrit kombinasi

  • Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :


Contoh 6

Contoh 6

  • Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?


Solusi5

Solusi

  • S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}

    Huruf M = 1 buah

    Huruf I = 4 buah

    Huruf S = 4 buah

    Huruf P = 2 buah

    Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah  jumlah elemen himpunan S

  • Ada 2 cara :

    • Permutasi :

      Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

    • Kombinasi :

      Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah


Contoh 7

Contoh 7

  • Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?


Solusi6

Solusi

  • Diketahui :

    n1 = 3

    n2 = 2

    n3 = 2

    n4 = 5

  • Jumlah cara pewarnaan :

n = 12


Kombinasi pengulangan

Kombinasi Pengulangan

  • Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak

    • Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

      C(n,r)

    • Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

      C(n+r-1, r)

  • C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen  n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan


Contoh 8

Contoh 8

  • Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.

    Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?


Solusi7

Solusi

  • Diketahui :

    n = 5 orang anak

    r1 = 20 buah  apel

    r1 = 15 buah  jeruk

  • 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak

     C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

  • 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak

     C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

  • Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :

    C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3

    = 41.186.376 cara


Contoh 9

Contoh 9

  • Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti.

    Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)


Solusi8

Solusi

  • Diketahui :

    n = 8 macam roti

    r = 1 lusin = 12 buah roti

  • Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

  • Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

    C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)


Contoh 10

Contoh 10

  • Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama.

    Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?


Solusi9

Solusi

  • Diketahui :

    n = 6  6 buah mata dadu

    r = 3  3 dadu dilemparkan bersamaan

  • Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah :

    C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

    = C(8,3) = 56 cara


Latihan

Latihan

  • Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :

    • Tidak ada batasan jurusan

    • Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Informatika

    • Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro

    • Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama

    • 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

  • Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)

  • Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?


Latihan cont

Latihan (cont.)

  • Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?

  • Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.

    • Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ?

    • Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita

    • Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita

  • Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?


Latihan cont1

Latihan (Cont.)

  • Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ?

  • Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?

  • Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

    • Tidak ada huruf pengulangan

    • Boleh ada huruf pengulangan

    • Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada

    • Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada


Latihan cont2

Latihan (Cont.)

  • Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?


  • Login