kombinatorial peluang diskrit kombinasi
Download
Skip this Video
Download Presentation
KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 36

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI - PowerPoint PPT Presentation


  • 359 Views
  • Uploaded on

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI. MATEMATIKA DISKRIT. Kaleng 1. Kaleng 2. Kaleng 3. sama. sama. sama. Kelereng. 3 cara. m. h. Kaleng. 1. 2. 3. Ilustrasi.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI ' - questa


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
ilustrasi

Kaleng 1

Kaleng 2

Kaleng 3

sama

sama

sama

Kelereng

3 cara

m

h

Kaleng

1

2

3

Ilustrasi

Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

ilustrasi cont
Ilustrasi (Cont.)

Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng

definisi
Definisi
  • Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :
    • jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen
  • Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi
  • Perbedaan permutasi dengan kombinasi :
    • Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan
    • Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan
  • Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :
  • C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objek diambil dari n buah objek
interpretasi kombinasi
Interpretasi Kombinasi
  • Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda

Contoh :

Misal A = {1,2,3}

Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

{1,2} = {2,1}

{1,3} = {3,1} 3 buah

{2,3} = {3,2}

interpretasi kombinasi cont
Interpretasi Kombinasi (Cont.)
  • Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting

Contoh :

Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).

Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :

contoh 1
Contoh 1
  • Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?
solusi
Solusi
  • Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}

Sehingga :

contoh 2
Contoh 2
  • Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?
solusi1
Solusi
  • Diketahui:
    • Nasi goreng = r = 3 kali
    • Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari

Maka :

contoh 3
Contoh 3
  • Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)
    • Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?
    • Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?
    • Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?
solusi2
Solusi
  • 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)
  • 1 bit terdiri dari “1” atau “0”
  • Maka :
    • Posisi bit dalam 1 byte :

7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

:

:

Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

slide13
c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =

1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

contoh 4
Contoh 4
  • Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita.

Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?

solusi3
Solusi
  • Pria = 7 orang
  • Wanita = 5 orang
  • Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita
  • Maka :
    • Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita

 C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

    • Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita

 C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

  • Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya :

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara

contoh 5
Contoh 5
  • Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang.

Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?

solusi4
Solusi
  • Diketahui :
    • Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)
    • Penghuni = n = 10 orang
  • Misalkan :
    • Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)

    • Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)

    • Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)

  • Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atau

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

permutasi dan kombinasi bentuk umum
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
  • Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)

n1 bola diantaranya berwarna 1

n2 bola diantaranya berwarna 2

nk bola diantaranya berwarna k

Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola.

Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

slide19
Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !
  • Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1

n2! cara memasukkan bola berwarna 2

nk! cara memasukkan bola berwarna k

  • Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum :
slide20
Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak

 ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1

  • Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak

 ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2

  • Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak

 ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3

  • Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak
  • Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :
slide21
Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :
contoh 6
Contoh 6
  • Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?
solusi5
Solusi
  • S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}

Huruf M = 1 buah

Huruf I = 4 buah

Huruf S = 4 buah

Huruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah  jumlah elemen himpunan S

  • Ada 2 cara :
    • Permutasi :

Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

    • Kombinasi :

Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah

contoh 7
Contoh 7
  • Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?
solusi6
Solusi
  • Diketahui :

n1 = 3

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 5

  • Jumlah cara pewarnaan :

n = 12

kombinasi pengulangan
Kombinasi Pengulangan
  • Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak
    • Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r)

    • Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r)

  • C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen  n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan
contoh 8
Contoh 8
  • Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.

Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

solusi7
Solusi
  • Diketahui :

n = 5 orang anak

r1 = 20 buah  apel

r1 = 15 buah  jeruk

  • 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak

 C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

  • 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak

 C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

  • Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :

C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3

= 41.186.376 cara

contoh 9
Contoh 9
  • Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti.

Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)

solusi8
Solusi
  • Diketahui :

n = 8 macam roti

r = 1 lusin = 12 buah roti

  • Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.
  • Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

contoh 10
Contoh 10
  • Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama.

Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?

solusi9
Solusi
  • Diketahui :

n = 6  6 buah mata dadu

r = 3  3 dadu dilemparkan bersamaan

  • Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah :

C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

= C(8,3) = 56 cara

latihan
Latihan
  • Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :
    • Tidak ada batasan jurusan
    • Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Informatika
    • Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro
    • Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama
    • 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili
  • Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)
  • Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?
latihan cont
Latihan (cont.)
  • Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?
  • Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.
    • Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ?
    • Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita
    • Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita
  • Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?
latihan cont1
Latihan (Cont.)
  • Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ?
  • Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?
  • Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :
    • Tidak ada huruf pengulangan
    • Boleh ada huruf pengulangan
    • Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada
    • Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada
latihan cont2
Latihan (Cont.)
  • Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?
ad